朱 玥, 顧 潔, 王春義, 牟 宏,崔國柱, 李 煜, 金之儉

(1. 上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院大數(shù)據(jù)工程技術(shù)研究中心, 上海 200240;2．國網(wǎng)山東省電力公司發(fā)展策劃部, 山東 濟南 250001;3．國網(wǎng)山東省電力公司臨沂供電公司, 山東 臨沂 276000)

線損率是衡量電網(wǎng)運行經(jīng)濟技術(shù)性的重要綜合性指標. 近年來, 隨著可再生能源的快速發(fā)展, 大量分布式電源開始接入中壓配電網(wǎng), 會對配電網(wǎng)潮流分布產(chǎn)生顯著影響, 導(dǎo)致配電網(wǎng)線損與分布式電源接入前有較大差異[1-2], 為配電網(wǎng)線損理論的計算、線損的量測與考核標準的制定等帶來困難.

極限線損計算是研究電網(wǎng)運行參數(shù)在一定條件下變化的理論線損極限值, 即線損波動的上下界. 由于在計算配電網(wǎng)線損時會面臨配電網(wǎng)分支多、元件多、計量不全等諸多不利因素[3-5], 故本工作主要關(guān)注在一段時間內(nèi)配電網(wǎng)的極限線損變化特點, 分析電網(wǎng)公司線損現(xiàn)狀,判別是否存在異常線損, 為科學(xué)制定降損目標提供理論依據(jù).

國內(nèi)學(xué)者針對傳統(tǒng)配電網(wǎng)的極限線損問題已有部分研究成果, 這些成果大多從線損的物理模型入手, 考慮負荷曲線變化對極限線損的影響. 張銀等[6]提出了一種基于迭代擬合算法的中壓配電網(wǎng)極限線損計算方法, 通過迭代計算得到分段線路的損耗; 王興華[7]結(jié)合低壓配電網(wǎng)理論線損計算特點, 通過研究臺區(qū)變壓器負荷曲線變化的極限情況來計算低壓配電網(wǎng)線損上下限; 張祥華[8]則提出利用線路首端最大電流約束, 求取最大變壓器負荷同時系數(shù)以考慮負荷同時率對線損影響. 現(xiàn)有的極限線損研究對負荷曲線波動約束的考慮較少, 對含分布式電源接入的配電網(wǎng)也尚未有針對性研究.

傳統(tǒng)的線損計算方法都是在確定性的潮流計算基礎(chǔ)上完成的, 所得的線損結(jié)果也是確定值. 而隨機潮流可計算狀態(tài)變量的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù), 這與極限線損的思路相吻合[9-11].

同時, 針對系統(tǒng)中存在的各種不確定性因素, 如果通過隨機抽樣方法對各種隨機波動進行模擬計算, 則所需的計算耗時太長, 而不適用于大規(guī)模電網(wǎng)[12-15].

因此, 本工作提出了一種基于半不變量的配電網(wǎng)極限線損計算模型, 以實現(xiàn)含可再生能源配電網(wǎng)極限線損的快速計算. 利用配電網(wǎng)負荷與分布式電源出力模型推導(dǎo)了其半不變量的計算方法, 并用線性化的潮流方程計算配電網(wǎng)狀態(tài)變量與線損的半不變量, 通過Gram-Charlier(GC)級數(shù)展開求解各狀態(tài)變量與極限線損的概率密度函數(shù)與累積分布函數(shù), 并以IEEE34 節(jié)點算例對所提出的模型進行了驗證.

1 半不變量的性質(zhì)與相關(guān)計算

分布式電源的出力間歇性、波動性及負荷的隨機變化會導(dǎo)致配電網(wǎng)的潮流出現(xiàn)很大的不確定性, 線損也會呈現(xiàn)出隨機波動的特點. 因此, 為描述極限線損的隨機波動, 采用隨機潮流方法對配電網(wǎng)運行參數(shù)及線損進行計算. 在隨機潮流的計算中, 卷積計算往往會占用大部分的計算時間, 本工作利用半不變量法進行隨機變量間的卷積運算, 能加快計算速度, 實現(xiàn)大規(guī)模配電網(wǎng)潮流與極限線損的計算分析.

1.1 半不變量的定義及相關(guān)性質(zhì)

半不變量為隨機變量的一種數(shù)字特征, 是數(shù)理統(tǒng)計與概率論中的一個重要概念. 其定義如下.

設(shè)F(x)為隨機變量x的分布函數(shù),t為實數(shù)且函數(shù)在(-∞, +∞)關(guān)于F(x)可積. 實變量t對應(yīng)的F(x)分布的特征函數(shù)為

取該特征函數(shù)的自然對數(shù), 并在t=0 處取小范圍鄰域內(nèi)的麥克勞林級數(shù), 則有

半不變量具有可加性, 即2 個獨立隨機變量之和的各階半不變量等于2 個變量的各階半不變量之和, 這是半不變量的重要性質(zhì), 也是半不變量法簡化計算的關(guān)鍵.

1.2 矩與中心矩

已知某隨機變量的概率分布, 即可計算該隨機變量的各階矩與中心矩. 本工作給出了連續(xù)型隨機變量的矩與中心矩的求取方法, 離散性隨機變量的矩與中心矩可利用類似方法求取.

對于連續(xù)隨機變量而言, 假設(shè)連續(xù)隨機變量x的概率密度函數(shù)為f(x), 則其v階矩為

當v=1 時, 式(3)所得為隨機變量x的1 階矩, 即隨機變量的期望值為

進一步, 依據(jù)期望值可以求解隨機變量x的各階中心矩為

1.3 半不變量的計算

與隨機變量的各階矩一樣, 半不變量也是隨機變量的一種數(shù)字特征. 各階半不變量可以由相同階次以及更低階次的各階矩求得, 隨機變量的半不變量與各階矩的關(guān)系如下所示. 一般情況下, 7 階半不變量即可滿足計算精度要求:

式中:γv為隨機變量的v階半不變量;αv為隨機變量的v階矩.

此外, 隨機變量的各階中心矩也可以由該隨機變量的半不變量計算得到. 由半不變量求得各階中心矩的轉(zhuǎn)換關(guān)系式:

式中:β1,β2,··· ,β7為隨機變量各階中心矩;γ1,γ2,··· ,γ7為隨機變量的各階半不變量.

2 基于半不變量的隨機潮流與線損計算

隨機潮流是在確定性的線性潮流方程的計算基礎(chǔ)上衍生而來的, 利用卷積計算各狀態(tài)變量的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù), 進而得到節(jié)點電壓與支路電流等參數(shù). 與傳統(tǒng)潮流計算相比, 隨機潮流與電力系統(tǒng)動態(tài)變化的特性更加吻合.

2.1 電源出力的半不變量

2.1.1 常規(guī)發(fā)電機出力的半不變量

常規(guī)發(fā)電機輸出功率的概率分布被認為是多狀態(tài)的離散分布[16]. 如果已知發(fā)電機各出力狀態(tài)的概率, 則發(fā)電機出力的各階矩為

式中:αv為發(fā)電機出力的各階矩;Cs為第s種發(fā)電機出力狀態(tài);ps為此出力狀態(tài)的出現(xiàn)概率;Ns為發(fā)電機出力狀態(tài)數(shù). 這里,ps、Ns可由發(fā)電機臺數(shù)及停運概率計算得到.

2.1.2 風(fēng)力發(fā)電機出力的半不變量

風(fēng)速自身的不確定性會導(dǎo)致風(fēng)力發(fā)電機的功率輸出具有一定的隨機性. 因此, 要確立風(fēng)力發(fā)電機的輸出功率模型, 首先要得到風(fēng)速的概率分布模型. Weibull 分布函數(shù)是目前認可度最高和應(yīng)用最為廣泛的, 用以描述某地區(qū)風(fēng)速分布規(guī)律的密度函數(shù)式:

式中:k為Weibull 分布中的形狀指數(shù), 用以顯示風(fēng)力分布特性的形狀系數(shù);c為Weibull 分布中的規(guī)模指數(shù), 顯示該地區(qū)平均風(fēng)速的規(guī)模系數(shù).

利用歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以得到風(fēng)速平均值和方差, 并在此基礎(chǔ)上計算風(fēng)速Weibull 分布的參數(shù)k和c, 以得到風(fēng)力發(fā)電機出力的隨機分布.

除最典型的Weibull 分布外, 3 參數(shù)Weibull 分布在分析高風(fēng)速區(qū)域的風(fēng)速概率分布時精度更高[17]. 3 參數(shù)Weibull 分布式為

由分布函數(shù)可推導(dǎo)得到3 參數(shù)Weibull 分布的特征函數(shù):

式中:r為段內(nèi)實際日照強度; Γ 為Gamma 函數(shù).

進一步地, 可利用特征函數(shù)計算3 參數(shù)Weibull 分布的各階矩, 基于特征函數(shù)和矩的關(guān)系推導(dǎo)得到3 參數(shù)Weibull 分布的v階矩:

在此基礎(chǔ)上, 可求得風(fēng)力發(fā)電機有功出力的各階半不變量. 當風(fēng)力發(fā)電機恒功率因數(shù)運行時, 無功輸出功率與有功功率成正比, 無功出力的各階半不變量可在有功對應(yīng)的半不變量基礎(chǔ)上計算得到.

2.1.3 光伏發(fā)電系統(tǒng)輸出功率的半不變量

由于光伏電池的輸出功率直接受日照強度變動的影響, 而日照具有很強的波動性和隨機性, 使得光伏電池輸出呈現(xiàn)出較大的隨機性, 因此研究光伏出力的半不變量需建立日照強度的概率分布模型. 歷史數(shù)據(jù)表明, 在一定時間段內(nèi)太陽光照強度可近似看作Beta 分布, 其分布函數(shù)為

式中:rmax為此段內(nèi)的最大日照強度;α和β為Beta 分布的形狀參數(shù).

對于光伏發(fā)電系統(tǒng), 由統(tǒng)計得到的日照強度平均值及方差可以計算出日照強度Beta 分布形狀的參數(shù)α和β, 得到光伏發(fā)電系統(tǒng)出力的隨機分布. Beta 分布的各階矩可以由特征函數(shù)和矩的關(guān)系推導(dǎo)出, Beta 分布v階矩的表達式為

光伏發(fā)電系統(tǒng)出力的各階半不變量可由半不變量和各階矩的關(guān)系計算得到.

2.2 負荷的半不變量

對于各節(jié)點負荷而言, 其隨機性波動是由負荷的預(yù)測與量測誤差或負荷的隨機波動引起的. 統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明, 此隨機波動可認為是正態(tài)分布的隨機變量. 對于正態(tài)分布的負荷功率,其1 階半不變量為負荷功率的期望值, 2 階半不變量為此正態(tài)分布的方差, 3～7 階半不變量為0.

節(jié)點注入功率的隨機波動主要由節(jié)點負荷和發(fā)電機出力這2 個部分隨機因素組成, 利用半不變量的可加性, 各節(jié)點注入功率的各階半不變量即為對應(yīng)節(jié)點發(fā)電機功率的半不變量和該節(jié)點負荷功率的半不變量之和.

2.3 線性化的潮流方程

為了便于半不變量的相關(guān)計算, 需要采用線性化的潮流方程. 電力系統(tǒng)中的2 組非線性方程可以表示為

式中:Y、X、Z分別為各節(jié)點注入功率、電壓和支路潮流的狀態(tài)向量;g(X)為計算節(jié)點電壓的方程組;h(X)為計算支路潮流的方程組.

在基準運行點處對潮流方程進行線性化處理, 得

式中:X0、Z0分別為節(jié)點電壓、支路潮流在基準運行點處的狀態(tài)向量;J0為牛拉法最后一次迭代得到的Jacobian 矩陣;S0和T0為靈敏度矩陣.

在得到各節(jié)點注入功率的半不變量后, 利用線性化的潮流方程與半不變量的可加性、齊次性, 可計算出系統(tǒng)節(jié)點電壓與支路潮流的半不變量.

2.4 配電網(wǎng)線損的半不變量

依據(jù)線損的定義, 配電網(wǎng)線損功率可認為是注入功率與輸出功率之差, 因此由全網(wǎng)注入/輸出功率半不變量之差可求得配電網(wǎng)線損的各階半不變量:

式中:γloss-k為配電網(wǎng)損耗的k階半不變量;γi-in-k為第i個電源出力的k階半不變量;n為配電網(wǎng)電源節(jié)點數(shù);γj-out-k為第j個節(jié)點負荷的k階半不變量;m為配電網(wǎng)負荷節(jié)點數(shù).

3 Gram-Charlier 級數(shù)展開

由于半不變量不具備物理意義, 故為了便于分析, 還需計算各狀態(tài)變量的概率密度函數(shù)或累積分布函數(shù). 在已知某隨機變量的各階矩或各階半不變量的條件下, 計算該隨機變量分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)有很多方法, 而在目前電力系統(tǒng)隨機潮流計算中,Gram-Charlier 展開級數(shù)法是最為經(jīng)典與常用的方法. Gram-Charlier 級數(shù)展開的核心思想是利用正態(tài)隨機變量的各階導(dǎo)數(shù)組成的級數(shù)對隨機變量的分布函數(shù)與累積函數(shù)進行描述.

各階中心矩可利用如式(7)所示的半不變量與中心矩轉(zhuǎn)換關(guān)系得出, Gram-Charlier 級數(shù)可以由各階中心矩計算得到:

則隨機變量的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)可以用如如下所示的Gram-Charlier 級數(shù)展開表示:

式中:F(x)為隨機變量x的累積分布函數(shù);f(x)為x的概率密度函數(shù);Φ(x)為期望為0、標準差為1 的正態(tài)分布的分布函數(shù);φ(x)為Φ(x)的概率密度函數(shù),

4 基于半不變量的配電網(wǎng)極限線損計算模型

為解決由分布式電源出力及負荷波動引起的線損存在隨機性的問題, 本工作基于隨機潮流中的半不變量法建立極限線損的計算模型. 推導(dǎo)負荷以及各類型分布式電源出力的半不變量計算公式, 得到各節(jié)點注入功率. 利用線性化的潮流方程對節(jié)點電壓、隨機潮流等狀態(tài)變量的半不變量進行求解, 并進一步計算配電網(wǎng)線損的半不變量, 利用Gram-Charlier 級數(shù)展開得到配電網(wǎng)極限線損的分布與變化情況. 計算流程如圖1 所示, 計算模型的實現(xiàn)步驟如下.

圖1 基于半不變量的配電網(wǎng)極限線損計算流程Fig.1 Calculation process of limit line loss of distribution network based on semi-invariant

步驟1 輸入配電網(wǎng)的相關(guān)數(shù)據(jù), 包括線路拓撲與參數(shù)、發(fā)電機出力、負荷功率等常規(guī)潮流計算所需的數(shù)據(jù), 以及發(fā)電機出力與負荷隨機分布的相關(guān)參數(shù), 例如對正態(tài)分布的期望值和方差等.

步驟2 用確定性潮流計算方法給出各隨機分布都處于期望值情況下的潮流分布, 以求得各狀態(tài)變量的基準值以及雅可比矩陣、靈敏度矩陣.

步驟3 計算各節(jié)點負荷以及風(fēng)機、光伏等分布式電源的各階矩, 并在此基礎(chǔ)上求出各階半不變量.

步驟4 根據(jù)半不變量的可加性, 將各節(jié)點負荷功率半不變量和分布式電源輸出功率的半不變量相加作為各節(jié)點注入功率的各階半不變量.

步驟5 由各節(jié)點的隨機注入半不變量可以求出狀態(tài)變量的各階半不變量.

步驟6 由各發(fā)電機及分布式電源出力的半不變量以及負荷的半不變量, 可計算出配電網(wǎng)損耗的半不變量.

步驟7 用Gram-Charlier 級數(shù)展開公式對各隨機變量的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)進行求解.

步驟8 得到極限線損的分布曲線之后, 設(shè)定置信區(qū)間, 得到極限線損波動的最大、最小值.

5 算例分析

5.1 算例說明

采用IEEE34 節(jié)點算例對本工作提出的基于半不變量的配電網(wǎng)極限線損計算模型進行驗證. 節(jié)點拓撲結(jié)構(gòu)如圖2 所示.

圖2 IEEE34 系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)Fig.2 Topology of system IEEE34

IEEE34 節(jié)點輻射形配電系統(tǒng)的基準電壓VB 為24.9 kV, 基準容量為1 MW, 節(jié)點1 為平衡節(jié)點, 節(jié)點電壓為1.03 p.u., 各節(jié)點負荷的波動標準差為30%. 算例系統(tǒng)的基準狀態(tài)數(shù)據(jù)及參數(shù)均參考文獻[18], 在節(jié)點34 接入額定容量為0.8 MW 的光伏電源, 共800 個光伏組件, 每個組件面積為2 m2, 光電效率為13%. 本算例設(shè)定光伏電源處已進行無功補償, 不從電網(wǎng)吸收無功.

以某城市7 月某天的光照強度作為樣本, 計算得到該地的光照強度Beta 函數(shù)的形狀參數(shù)分別為α= 0.679 9,β= 1.778 7, 分布式電源出力的半不變量如表1 所示. 光伏電源的出力一階半不變量即為出力期望0.652 0 MW.

表1 分布式電源出力的各階半不變量Table 1 Photovoltaic power output semi-invariant of different orders

5.2 結(jié)果分析

5.2.1 分布式電源接入影響分析

應(yīng)用本工作提出的基于半不變量的潮流計算對分布式電源接入前后配電網(wǎng)的各狀態(tài)變量及線損進行計算, 分析分布式電源接入對線路潮流及損耗的影響, 計算所得各狀態(tài)變量的均值與方差如表2 所示.

表2 各狀態(tài)變量均值與方差Table 2 Mean values and variances of each state variable

圖3 為分布式電源接入前后節(jié)點34 的電壓概率密度曲線(圖中, DG(distributed generation)表示為分布式發(fā)電裝置). 由圖可知, 分布式電源接入后, 節(jié)點電壓能夠有所提升, 且由于分布式電源出力的不確定性, 增大了節(jié)點電壓的不確定性, 電壓的波動范圍增大.

圖3 分布式電源接入前后節(jié)點34 電壓概率密度曲線Fig.3 Voltage probability density curves of node 34 before and after distributed power access

圖4 為分布式光伏接入前后線路32～34 的有功概率密度曲線. 由圖可知, 分布式電源接入前線路潮流方向始終由節(jié)點32 流向節(jié)點34. 而在分布式電源接入后, 由于分布式電源的出力波動, 故線路潮流方向出現(xiàn)不確定性, 當分布式電源出力大于節(jié)點34 的負荷時, 潮流出現(xiàn)反向,且潮流的變化范圍顯著增大.

圖4 分布式電源接入前后線路32～34 有功概率密度曲線Fig.4 Active probability density curves of line 32～34 before and after distributed power access

圖5 為分布式光伏接入前后線路1～2 的有功功率概率密度曲線. 由圖可知, 在分布式電源接入后, 線路潮流發(fā)生變化, 部分線路負荷由分布式電源供電, 由線路首端上級變壓器提供的功率相應(yīng)減少. 同時, 分布式電源出力的不確定性同樣會使線路首端的功率波動增大, 但是由于首端線路上的總功率較大, 故與接入點附近線路相比, 分布式電源接入帶來的影響較小.

圖5 分布式電源接入前后線路1～2 的有功概率密度曲線Fig.5 Active probability density curves of line 1～2 before and after distributed power access

圖6 為分布式光伏接入前后線路總線損功率的概率密度曲線. 由圖可知, 分布式電源接入后, 由于線路潮流發(fā)生改變, 線路的線損功率發(fā)生較大變化. 由于分布式電源出力不確定, 故配電網(wǎng)潮流同樣具有很大的不確定性, 線損的變化范圍隨之增大.

圖6 分布式光伏接入前后線路總線損功率的概率密度曲線Fig.6 Probability density curves of line loss power before and after distributed photovoltaic access

分布式電源與負荷均具有不確定性, 分布式電源接入后配電網(wǎng)線損功率的變化需由分布式電源出力與負荷的匹配度、線路拓撲及網(wǎng)架參數(shù)、分布式電源接入位置等因素共同決定. 在本算例中, 由于分布式電源接入在線路末端, 且分布式電源接入容量比配電網(wǎng)總負荷小, 因此線損功率大概率減小.

5.2.2 半不變量法與蒙特卡洛法計算結(jié)果比較

為驗證本模型的計算精度, 以及與蒙特卡洛模擬法相比在計算速度方面的差距, 利用蒙特卡洛模擬法(N=5 000)對分布式電源接入后的配電網(wǎng)潮流進行計算. 配電網(wǎng)極限線損計算結(jié)果如圖7 所示, 2 種方法極限線損計算結(jié)果及計算用時如表3 所示.

表3 2 種方法計算結(jié)果對比Table 3 Comparison of two methods

圖7 極限線損計算結(jié)果對比Fig.7 Limit line loss calculation result comparison

由圖可知, 半不變量法與蒙特卡洛模擬法計算所得的配電網(wǎng)各狀態(tài)變量及線損結(jié)果差距很小, 本工作所提出的基于半不變量的極限線損計算模型計算精度可滿足電力系統(tǒng)線損計算的需求. 在計算精度近似的條件下, 半不變量法能較大程度地減少計算所需時間, 更適用于大規(guī)模配電網(wǎng)的極限線損計算.

6 結(jié) 論

本工作利用隨機潮流中的半不變量法建立了含分布式電源配電網(wǎng)極限線損計算模型, 并采用表征節(jié)點測試算例對模型進行了驗證.

(1) 由配電網(wǎng)負荷與分布式電源出力模型推導(dǎo)了其半不變量的計算方法. 利用隨機潮流的計算思路計算配電網(wǎng)潮流, 通過Gram-Charlier 級數(shù)展開求解各狀態(tài)變量的概率密度函數(shù)與累積分布函數(shù), 并基于半不變量提出了一種適用于大規(guī)模配電網(wǎng)的極限線損計算模型.

(2) 利用IEEE34 節(jié)點標準測試系統(tǒng), 分析了分布式光伏接入配電網(wǎng)不同節(jié)點后, 對配電網(wǎng)狀態(tài)變量造成不同的影響, 由于分布式電源出力不確定, 故線損的變化范圍隨之增大.

(3) 將半不變量法與蒙特卡洛法模擬得到的極限線損結(jié)果進行比較, 本工作提出的半不變量法的計算精度提高了9%, 蒙特卡洛法模擬計算用時38.348 4 s, 而半不變量法的計算時間為0.968 4 s, 較大程度地減少了計算所需時間, 故更適用于大規(guī)模配電網(wǎng)的極限線損計算.