王曉霞,袁學穎

(上海大學理學院, 上海 200444)

近年來, Brychkov 等[1-4]研究了雙變量超幾何級數函數的積分表達式, 如Appell 函數的積分表達式

另外, Saad[5]建立了Gordon 積分以及相關的恒等式; Sascha 等[6]建立了一系列超幾何級數的積分表達式. 受到這些已有結果的啟發(fā), 本工作建立了一些關于雙變量超幾何函數的積分表達式, 包括Appell 函數和Humbert 函數的積分表達式.

為了論文的完整性, 本工作給出了Bailey[7]和Slater[8]提出的一般超幾何函數的定義:

這里, 所有的參數屬于復數域, 分母參數為非負正整數, 關于一般超幾何函數pFq更多的性質和應用可以參考文獻[7, 9]. 復數a的n次升階乘(a)n為

式中: Γ 函數[10]的定義為

與Γ 函數關系密切的Beta 函數[10]定義為

接下來, 給出Srivastava 等[11]提出的雙變量超幾何函數的定義為

式中: 所有的參數屬于復數域, 分母參數為非負正整數;An表示序列(A1,A2,··· ,An), 以及((Aa))n= (A1)n(A2)n ···(Aa)n[11]. 本工作所研究的雙變量超幾何函數及一般超幾何函數都是在其一致收斂的情況下討論的.

雙變量超幾何函數在超幾何函數領域中具有重要的研究意義, 其中著名的Appell 函數[12]定義為

同樣具有重要研究意義的Humbert 函數[13]包含

1 雙變量超幾何函數積分表達

借助Γ 函數和Beta 函數的定義, 本工作將給出對雙變量超幾何函數積分的表達式. 適當選擇定理中的參數, 可以得到Appell 函數和Humbert 函數的積分表達式.

定理1下面的積分表達式是正確的:

證明 這里只證明式(1), 式(2)可同理證明. 根據雙變量超幾何函數的定義, 式(1)的左邊形式可以表示為

這里, 認定上式中的雙變量求和式是一致收斂的, 則可改變上式中求和運算與積分運算的順序, 可以很容易地得到

令u/w →t, 根據Beta 函數的定義, 得到

經過整理, 可以得到式(1)的右邊形式, 證畢.

適當地選擇定理1 中的參數, 可以得到Appell 和Humbert 函數的積分表達式.

例1 (Appell 函數的積分表達式)

Brychkov 等在文獻[1-4]已經給出這4 個積分表達式.

例2 (Humbert 函數的積分表達式)

定理2下面的積分表達式是正確的:

證明 利用雙變量超幾何函數的定義, 式(3)的左邊形式為

根據Beta 函數的定義, 得到

經過整理, 即可得到式(3)的右邊形式, 同理可證式(4), 證畢.

給定定理2 中的參數, 就可以得到Appell 函數的積分表達式.

例3 (Appell 函數的積分表達式)

根據Beta 函數的定義, 還可以得到如下定理.

定理3下面的積分表達式是正確的:

證明 這里, 認定式(5)中的雙變量求和式是一致收斂的, 根據雙變量超幾何函數的定義,式(5)的左邊形式為

通過變量代換cu/w →t以及Beta 函數的定義, 可得

經過整理可以得到式(5)的右邊形式, 證畢.

從定理3 出發(fā), 得到了Appell 函數和Humbert 函數的積分表達式.

例5 (Appell 函數的積分表達式)

定理4下面的積分表達式是正確的:

證明 此處給出式(6)的證明, 式(7)同理可證. 這里, 認定上式中的雙變量求和式是一致收斂的, 根據雙變量超幾何函數的定義, 式(6)的左邊形式為

根據Γ 函數的定義, 可得

經過整理, 可以得到式(6)的左邊, 證畢.

關于定理4, 這里給出Appell 函數和Humbert 函數的積分表達式.

例7 (Appell函數的積分表達式)

在定理4 中選擇合適的參數, 還可以得到Humbert 函數的積分表達式.

例8 (Humbert 函數的積分表達式)

除了Appell 和Humbert 函數的積分表達式外, 上述4 個定理還可以得到其他結果.

2 一般超幾何級數積分表達

定理5下面的積分表達式是正確的:

證明 根據一般超幾何函數的定義, 式(8)的左邊形式為

這里, 認定式(8)中的單變量求和式是一致收斂的, 可改變上式中求和運算與積分運算的順序,并令px →t, 得到

然后, 上述式子可以簡化為

經過整理, 得出式(8)的右邊形式, 證畢.

將定理5 中的參數進行特殊化, 可以得到下面幾個積分表達式.

“凡有血氣，皆有爭心”暗示“爭”是伴隨血氣之生而來的一種本能沖動，是“六志”不得協(xié)調的結果。而“六志”經由禮樂文化的疏導和滿足才可能達致協(xié)調，當“變法”活動成為春秋后期的一股潮流之時，叔向、蔡史墨及仲尼這樣一些深諳禮樂精神的賢人已經指出，那些改變禮樂傳統(tǒng)所塑造的社會形態(tài)的改革活動，將不可避免地導向“錐刀之末，將盡爭之”的亂境。禮與爭的對立關系，或許在“受天地之中以生”的人群中有其根源。這一認識構成了荀子禮論的重要基礎。

例9 (Humbert 函數的積分表達式)

借助著名的Euler 求和定理, 本研究建立了其他雙變量超幾何函數的積分表達式.

定理6下面的積分表達式是正確的:

證明 這里僅給出式(9)的證明, 同理可證其他3 個公式. 認定上式中的單變量求和式是一致收斂的, 根據一般超幾何函數pFq的定義, 式(9)左邊形式為

上述公式中, 本工作運用了Euler 求和定理[8]

式(9)得證.

適當地選擇定理6 的參數, 給出Appell 函數與Humbert 函數的積分表達式.

例10 (Appell 函數與Humbert 函數的積分表達式)

根據Gauss 求和式(12), 本工作建立了雙變量超幾何級數的積分表達式.

定理7下面的積分表達式是正確的:

證明 根據一般超幾何函數的定義, Euler 求和定理(見式(10))和Guass 求和公式[12]

將式(11)的左邊形式簡化為

經過整理, 得到式(11)的右邊形式, 證畢.

適當選擇定理7 中的參數, 可以得到Appell 函數的積分表達式.

例11 (Appell 函數的積分表達式)

Brychkov 等[1]已經研究了這個積分表達式. 接下來, 通過泰勒展開式(15), 可以建立定理8 中的雙變量超幾何函數的積分表達式.

定理8下面的積分表達式是正確的:

證明 下面僅證明式(13), 同理可證式(14). 這里, 認定上式中的單變量求和式是一致收斂的, 根據一般超幾何函數的定義, 式(13)的左邊形式為

根據ex的泰勒展開式[10], 即

得到

經過整理, 得到式(13)的右邊形式, 證畢.

從定理8 出發(fā), 給出以Φ2和1函數為例的積分表達式.

例12 (Φ2和1函數的積分表達式)