袁玉玲

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題。本期，我們從算理與算法的關(guān)系、運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)等視角，探討如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是學(xué)生需要掌握的基本能力，如何提高學(xué)生的運(yùn)算能力呢？筆者以北師大版三年級(jí)上冊(cè)《螞蟻?zhàn)霾佟匪鉀Q的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）的計(jì)算為例，談?wù)勅绾我越虒W(xué)內(nèi)容為載體，以探究算理、算法為抓手，促進(jìn)學(xué)生正確、合理、靈活地進(jìn)行運(yùn)算，提高運(yùn)算能力。

一、數(shù)形結(jié)合，感知算理與算法

哲學(xué)家康德認(rèn)為，無論一種知識(shí)以什么方式以及通過什么手段與對(duì)象發(fā)生關(guān)系，它與對(duì)象直接發(fā)生關(guān)系所憑借的以及用一切思維當(dāng)作手段所追求的，就是直觀。直觀教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)中具有重要作用。

師：如下圖，螞蟻排著整齊的隊(duì)形正在做操，你能從圖中發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：每行有12只螞蟻，有4行。

師：你還想從中知道些什么呢？

生2：我想知道一共有多少只螞蟻。

師：請(qǐng)?jiān)诓莞灞旧狭谐鏊闶剑⑾胍幌霝槭裁催@樣列。

生3：我列的算式是12×4，應(yīng)該理解為4個(gè)12或12個(gè)4。

師：你準(zhǔn)備怎樣計(jì)算？能想到哪些方法？

計(jì)算以全開放的狀態(tài)開展，學(xué)生先后采用了口算法、列表法、圈實(shí)物圖法、畫點(diǎn)子圖法。當(dāng)學(xué)生說：“我用的是點(diǎn)子圖”，筆者立刻追問：“你打算將點(diǎn)子怎樣排列？為什么這樣排列？”學(xué)生打算每行12個(gè)，排成4行，因?yàn)檫@樣排列，和螞蟻?zhàn)霾俚年?duì)形一樣。緊接著，筆者話鋒一轉(zhuǎn)：“大家就利用點(diǎn)子圖來圈一圈吧，看看你又能想到哪些不同方法呢？”在反饋環(huán)節(jié)中，學(xué)生先后用到了拆數(shù)法中的“破十法”，每行12個(gè)拆為10和2[如圖（1）];平均分法，即每行12個(gè)平均分成2份或者每列2個(gè)平均分成2份[如圖（2）、圖（3）]。

筆者通過三個(gè)層級(jí)的數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生從中感知算理與算法。第一層級(jí)：實(shí)物圖直觀模型呈現(xiàn)。學(xué)生通過直觀圖構(gòu)建“12×4”的乘法算式模型，計(jì)算時(shí)，學(xué)生借助圈實(shí)物圖的方式來進(jìn)行。第二層級(jí)：將實(shí)物圖抽象為點(diǎn)子圖直觀模型。當(dāng)學(xué)生分享到點(diǎn)子圖時(shí)，一個(gè)即時(shí)追問，只為給學(xué)生留白，使學(xué)生主動(dòng)從生活實(shí)物圖中抽象出數(shù)學(xué)圖形，此刻，筆者不是把點(diǎn)子圖呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，而是繼續(xù)追問“你打算將點(diǎn)子怎樣排列？為什么這樣排列？”這樣做不僅為學(xué)生搭建了思考與想象的平臺(tái)，而且使學(xué)生合理抽象出點(diǎn)子圖直觀模型，帶給學(xué)生運(yùn)用一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想設(shè)計(jì)點(diǎn)子圖行數(shù)和列數(shù)的時(shí)機(jī)。第三層級(jí)：圈點(diǎn)子圖直觀模型進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生借助“圈”這一操作，說清了算式中每一個(gè)數(shù)的來源和實(shí)際意義。整個(gè)過程讓學(xué)生充分經(jīng)歷、體驗(yàn)了解決“數(shù)”的問題，“形”功不可沒，從而形象、便捷地感知算理與算法。

二、比較內(nèi)化，領(lǐng)悟算理與算法

教育家烏申斯基認(rèn)為，比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。在這節(jié)課中，“比較”遍及教學(xué)前、中、后各個(gè)階段，以此幫助學(xué)生領(lǐng)悟算理與算法。

1.在直觀模型中比較

學(xué)生利用點(diǎn)子圖直觀模型，通過破十法和平均分法得到了以下三種算法：10×4=40，2×4=8，40+8=48;6×4=24，24×2=48;12×2=24，24×2=48。筆者沒有就此止步，而是接著問：“請(qǐng)仔細(xì)觀察圖中這幾種圈法和算式，你能從中發(fā)現(xiàn)什么？”學(xué)生借助圖和式的比較得到，無論是破十法，還是平均分法，從形的視角來看，它們都是化一個(gè)整體為幾個(gè)部分;從數(shù)的角度來說，都是化大為小。停頓片刻， 筆者繼續(xù)問：“在這幾種分法中，你更喜歡哪一種？為什么？”學(xué)生認(rèn)為，用拆數(shù)法把12拆成10和2更為簡(jiǎn)單，筆者緊追不舍：“簡(jiǎn)單在哪兒？”學(xué)生認(rèn)為，10是一個(gè)整十?dāng)?shù)，10×4的得數(shù)40也是整十?dāng)?shù)，這樣非常好算。學(xué)生通過所圈圖形經(jīng)歷說理、列式、計(jì)算、比較等過程，對(duì)兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理和算法有了初步感知，為探究豎式計(jì)算法設(shè)下伏筆。

2.在豎式探究中比較

師：12×4你們列出了豎式的起始部分，接下來怎樣計(jì)算呢？

生1：先用4乘個(gè)位上的2得8， 8要寫在個(gè)位上。

師：為什么寫在個(gè)位？

生2：因?yàn)?表示2個(gè)一，4表示4個(gè)一，它們相乘得8個(gè)一。

師：下一步該算什么？

生3：4乘十位上的1得4，因?yàn)檫@里的1表示1個(gè)十，所以得數(shù)是40，4寫在十位，0寫在個(gè)位，和8對(duì)齊， 40寫在8的下面，再把積相加。

師：為什么把兩次的積相加？

生4：因?yàn)榘殉藬?shù)12拆成了10和2兩部分，乘數(shù)4只與個(gè)位上的2相乘后沒有算完，還要與十位上的1相乘，最后再把這兩部分積相加。

在這一環(huán)節(jié)中，教師只是一個(gè)引導(dǎo)者，學(xué)生不僅知道了怎樣算、怎樣寫，而且把為什么這樣算、這樣寫說得一清二楚，這和以前將數(shù)位與計(jì)數(shù)單位的比較密不可分，和本節(jié)課中對(duì)數(shù)形結(jié)合、圈圖方法的比較息息相關(guān)。

3.在多種算法中比較

學(xué)生一共分享了4種計(jì)算方法，筆者以學(xué)生分享的先后順序集中展示，如下圖從左至右所示。

然后，筆者將“你能從這些算法中領(lǐng)悟到什么？”這個(gè)問題拋給學(xué)生。在反饋過程中，學(xué)生領(lǐng)悟到這4種方法雖然呈現(xiàn)形式不同，計(jì)算順序不同，口算法、列表法、點(diǎn)子圖法，都是從高位算起，而豎式法是從低位算起，但彼此之間的計(jì)算道理和方法相同。

借此比較之機(jī)，筆者以新學(xué)的豎式計(jì)算為中心，重排順序，師生共畫思維導(dǎo)圖，如下圖所示。

上述思維導(dǎo)圖不僅使學(xué)生借助其他方法厘清了豎式法中每一步的算理與算法，而且通過追問“以后計(jì)算時(shí)，你可能會(huì)首選什么方法？為什么？”引導(dǎo)學(xué)生再次比較各種方法，將運(yùn)算思維向更抽象、更簡(jiǎn)潔的臺(tái)階邁進(jìn)，使新舊知識(shí)、數(shù)學(xué)思想與方法形成有效對(duì)接。歷經(jīng)三輪比較，使學(xué)生對(duì)算理與算法有了更深刻的領(lǐng)悟。

三、類比遷移，根植算理與算法

數(shù)學(xué)家開普勒曾指出：“我重視類比勝過任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密。”在整個(gè)課堂里，筆者共為學(xué)生創(chuàng)造了三次類比解決問題的時(shí)機(jī)。

1.第一次類比：你心目中乘法豎式的模樣

“怎樣算12×4？你還有其他不同的方法嗎？”個(gè)別學(xué)生在最后提到了豎式法，筆者問學(xué)生怎么想到的，學(xué)生認(rèn)為加減法都有豎式法，猜想乘法是不是也可以用豎式法來計(jì)算。筆者即刻統(tǒng)計(jì)哪些學(xué)生聽說過或者見到過。接下來筆者說：“沒見過的同學(xué)想一想，你心目中的乘法豎式是什么樣？在草稿紙上試著寫一寫，見過的同學(xué)請(qǐng)把這個(gè)豎式在草稿本上寫下來?！蓖瑫r(shí)，請(qǐng)一名沒見過的學(xué)生板演，他寫出了豎式中的起始抄題部分，筆者問他為什么這樣寫，學(xué)生說：“我覺得和前面的加減法豎式一樣，只是符號(hào)不同，這里是乘號(hào)?！蓖ㄟ^這次類比，為學(xué)生托起了想象的翅膀。

2.第二次類比：為什么先從低位乘起

筆者設(shè)問：“在豎式計(jì)算過程中，我們剛才是先算的4乘2，后算的4乘10，為什么這樣算？”學(xué)生回答：“如果先算了高位，算低位時(shí)會(huì)出現(xiàn)向高位進(jìn)位或借位的情況，高位還要再算，這樣很麻煩，所以從低位算起更簡(jiǎn)單?！蓖ㄟ^與前期加減法豎式計(jì)算進(jìn)行類比探究，學(xué)生都知道要從個(gè)位算起，部分學(xué)生知道從個(gè)位算起簡(jiǎn)單一些，少數(shù)學(xué)生知道從個(gè)位算起為什么簡(jiǎn)單。

3.第三次類比：三位數(shù)乘一位數(shù)

三位數(shù)乘一位數(shù)，首先讓學(xué)生用自己喜歡的方法獨(dú)立計(jì)算，然后分享時(shí)自然而然地類比遷移，說清楚每一步的意思。

三次類比，將算理與算法根植在學(xué)生心底，可謂水到渠成。

對(duì)于小學(xué)低年級(jí)學(xué)生來說，厘清算理與算法，并不是要求他們知道算理與算法概念的內(nèi)涵，而是指教師在具體的運(yùn)算教學(xué)過程中，要結(jié)合具體實(shí)例，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、比較內(nèi)化和類比遷移等數(shù)學(xué)思想與方法，讓學(xué)生知道為什么要這樣算以及如何算，厘清“為什么”以及“如何做”的關(guān)鍵性問題，才能掃除運(yùn)算教學(xué)中存在的根本性問題，從而全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

（作者單位：宜昌市秭歸縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

責(zé)任編輯 張敏