許銀伙

(福建省泉州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 362000)

方程lnx=bx-a兩實(shí)根和的范圍問(wèn)題，通常牽涉極值點(diǎn)偏移，是近幾年高考模擬卷中的熱點(diǎn)題型，在高考中也曾出現(xiàn).本文通過(guò)研究得出常見(jiàn)的六個(gè)相關(guān)結(jié)論，并展示結(jié)論相應(yīng)的推證方法及應(yīng)用，旨在幫助同學(xué)們掌握這類壓軸題型的解決方法.

一、結(jié)論及證明

結(jié)論一當(dāng)b=1時(shí)，若方程lnx=x-a有兩不同實(shí)根x1,x2，則x1+x2>2.

又因?yàn)閤2>1，2-x1>1，f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增，所以x2>2-x1，x1+x2>2成立.

結(jié)論二當(dāng)b=1時(shí)，方程lnx=x-a有兩不同實(shí)根x1,x2，則有x1+x2>a+1.

證明設(shè)x11.

評(píng)注方法一應(yīng)用二級(jí)結(jié)論，思路很難想到，需要經(jīng)驗(yàn)和探究，才可能摸索到.方法二的思路比較常規(guī)，但運(yùn)算量大，而且需要用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)才能解決.

結(jié)論三當(dāng)b=1時(shí)，若方程lnx=x-a有兩不同實(shí)根x1,x2，則有x1+x2<2a.

評(píng)注結(jié)論三的證明仍然是采用了構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，類似于結(jié)論一證明的方法一，運(yùn)用分析法，它們新函數(shù)的構(gòu)造應(yīng)該都是自然會(huì)想到的.

利用結(jié)論二，仿照結(jié)論四證明，過(guò)程略.

利用結(jié)論三，仿照結(jié)論四證明，過(guò)程略.

二、應(yīng)用例題

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)求證：x1x2>e2.

例3 已知函數(shù)f(x)=ex-kx-2k有兩不同的零點(diǎn)x1,x2，求證：x1+x2>-2.

記t1=x1+2，t2=x2+2，由已知得：t1,t2是方程lnx=x-(2+lnk)的兩不同實(shí)根，由結(jié)論一得：t1+t2>2，所以x1+x2>-2成立.

例4 已知函數(shù)f(x)=ex-3x-m有兩不同零點(diǎn)x1,x2，求證：ex1+ex2>6.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)求證：2lnx1+lnx2<0.

解析(1)f′(x)=lnx-x+a，f′(x)有兩不同零點(diǎn)，可得a∈(1,+)(過(guò)程略). (2)由已知得：lnx1=x1-a，lnx2=x2-a，01，lnx1<0.由結(jié)論三得：x1+x2<2a.則2lnx1+lnx2

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

例7 已知函數(shù)f(x)=x-lnx+a有兩零點(diǎn)x1,x2，且x1

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解析(1)實(shí)數(shù)a的取值范圍a<-1(過(guò)程略).

三、相應(yīng)練習(xí)

(1)若x>0時(shí)，f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

2. 已知函數(shù)f(x)=lnx-x.

3. 已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-ax(a>0)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)求證：x1+x2

參考答案