邵愛(ài)娣，栗小妮，汪曉勤

美國(guó)早期代數(shù)教科書(shū)中的“負(fù)負(fù)得正”解釋方式研究

邵愛(ài)娣，栗小妮，汪曉勤

（華東師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，上海 200062）

選取1820—1939年間出版的200種美國(guó)早期代數(shù)教科書(shū)，研究發(fā)現(xiàn)：書(shū)中“負(fù)負(fù)得正”的解釋方式共有7類，即利用分配律、連減法、利用相反數(shù)、歸納法、幾何方法、物理模型和生活模型．1880年以前，教科書(shū)中多采用利用分配律和連減法；1880年后，多種方法并存，利用分配律解釋呈逐漸下降趨勢(shì)，物理模型和生活模型占比逐漸上升，相反數(shù)法和連減法占比普遍較高．了解“負(fù)負(fù)得正”的多種解釋方式和歷史演變，有助于教科書(shū)編寫者和教師深刻理解符號(hào)法則的合理性，選擇易于學(xué)生理解的解釋方式．

代數(shù)教科書(shū)；負(fù)負(fù)得正；解釋；生活模型

1 問(wèn)題提出

“負(fù)負(fù)得正”是初等代數(shù)中的一個(gè)十分重要的符號(hào)法則，早在公元7世紀(jì)就已為印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（Brahmagupta）所知．13世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（L. Fibonacci）在《計(jì)算之書(shū)》中提出“負(fù)負(fù)得正”法則，但只將其用于計(jì)算(-)(-)，而非兩個(gè)純粹的負(fù)數(shù)相乘．之后，中國(guó)數(shù)學(xué)家朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中也提出“正負(fù)術(shù)”：“同名相乘為正，異名相乘為負(fù)．”16~17世紀(jì)，歐洲數(shù)學(xué)家，如德國(guó)的斯蒂菲爾（M. Stifel）和克拉維斯（C. Clavius）等相繼在其代數(shù)著作中提出符號(hào)法則．到了18世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家桑德森（N. Saunderson）、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L. Euler）等先后試圖對(duì)符號(hào)法則進(jìn)行“證明”．19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家漢克爾（H. Hankel）和F·克萊因（F. Klein）揭示了“負(fù)負(fù)得正”無(wú)法證明的事實(shí)．

18世紀(jì)以來(lái)，“負(fù)負(fù)得正”法則始終是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)．19世紀(jì)法國(guó)著名作家司湯達(dá)（Stendhal）因?yàn)樗膬晌粩?shù)學(xué)老師未能合理解釋“負(fù)負(fù)得正”的緣由而對(duì)數(shù)學(xué)失去了興趣[1]．著名昆蟲(chóng)學(xué)家法布爾（H. Fabre）在自學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)因教科書(shū)未能清晰地解釋“負(fù)負(fù)得正”而“吃盡苦頭”．[2]即使是到了今天，很多學(xué)生對(duì)于該法則也仍只知其然而不知其所以然．鞏子坤的調(diào)查顯示，97%的學(xué)生能夠利用“負(fù)負(fù)得正”法則進(jìn)行運(yùn)算，但不超過(guò)11.5%的學(xué)生可以給出合理的解釋，說(shuō)明對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，運(yùn)用法則容易，但理解卻很困難[3]．因此，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ忉尫?hào)法則，乃是教科書(shū)編寫者和數(shù)學(xué)教師需要解決的重要問(wèn)題．

賈隨軍等的研究表明，20世紀(jì)以來(lái)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”的解釋主要有“運(yùn)用現(xiàn)實(shí)模型”“運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)”“隱性運(yùn)用分配律”“顯性運(yùn)用分配律”“運(yùn)用減法運(yùn)算”“運(yùn)用變換”等6種方式[4]．但上述研究?jī)H局限于國(guó)內(nèi)外34種中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)，其中國(guó)外教科書(shū)10種，國(guó)內(nèi)教科書(shū)24種．還需要以更寬闊的視野去研究“負(fù)負(fù)得正”的歷史，以便為今日教科書(shū)編寫、課堂教學(xué)以及HPM課例研究提供更豐富的素材和更深刻的思想．為此，對(duì)1820—1939年間出版的美國(guó)代數(shù)教科書(shū)進(jìn)行考查，試圖回答以下問(wèn)題：美國(guó)早期代數(shù)教科書(shū)如何解釋“負(fù)負(fù)得正”？從中可以總結(jié)出哪些類型？“負(fù)負(fù)得正”的解釋方式在120年間經(jīng)歷了怎樣的嬗變過(guò)程？對(duì)今日教科書(shū)編寫和課堂教學(xué)有何啟示？

2 研究對(duì)象

從HathiTrust數(shù)字圖書(shū)館中搜索19~20世紀(jì)的美國(guó)代數(shù)教科書(shū)全文，對(duì)于不同時(shí)間出版的同一作者的教科書(shū)，若書(shū)名和內(nèi)容一致，則視為同一種教科書(shū)，選取最早的一個(gè)版本；若書(shū)名不同，則視為不同的兩種教科書(shū)．最終，在1820—1939年間出版的代數(shù)教科書(shū)中選出200種，若以20年為一段，則200種代數(shù)教科書(shū)的分布情況如圖1所示．

圖1 200種教科書(shū)的時(shí)間分布

200種教科書(shū)的書(shū)名互有不同，有《代數(shù)基礎(chǔ)》《代數(shù)專著》《代數(shù)初階》《代數(shù)導(dǎo)引》《代數(shù)舉要》《初等代數(shù)》《學(xué)校代數(shù)》《中學(xué)代數(shù)》《大學(xué)代數(shù)》《大中學(xué)代數(shù)》，等等．

200種代數(shù)教科書(shū)中，174種是中學(xué)教科書(shū)，19種是大學(xué)教科書(shū)，7種高中和大學(xué)合本．“負(fù)負(fù)得正”法則出現(xiàn)在“乘法”“正數(shù)和負(fù)數(shù)”“負(fù)數(shù)”“乘法和除法”等章節(jié)，出現(xiàn)在“乘法”章節(jié)的最多，占63.5%，其次是“正數(shù)和負(fù)數(shù)”，占14%．

所有200種教科書(shū)都對(duì)“負(fù)負(fù)得正”法則做出了各自的解釋，研究者對(duì)這些解釋進(jìn)行仔細(xì)地歸類和分析．對(duì)于不易歸類或有歧義的解釋方式，研究者一起交流研討，最終確定其所屬類別．

3 關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的解釋

200種教科書(shū)中，關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的解釋方式可以分為利用分配律、連減法、利用相反數(shù)、歸納法、幾何方法、物理模型和生活模型7類．200種教科書(shū)中，175種各給出了1類解釋，24種各給出了兩類解釋，只有1種教科書(shū)給出了3類解釋．7類解釋共出現(xiàn)226次，具體分布情況如圖2所示．

圖2 “負(fù)負(fù)得正”解釋方式的分布

3.1 利用分配律

共有66種教科書(shū)（占29.2%）運(yùn)用（或逆向運(yùn)用）乘法分配律，試圖去證明“負(fù)負(fù)得正”，F(xiàn)?克萊因稱之為“半邏輯證明”．具體有以下4種做法．

方法1 利用(-)(-)．

這種方法源于斐波那契．在《計(jì)算之書(shū)》中，斐波那契利用幾何方法證明了等式

(-)(-)=--+(>>0,>>0) （1）

如圖3所示[5]．有55種教科書(shū)直接利用公式（1）得出“負(fù)負(fù)得正”，但只有Schuyler通過(guò)擴(kuò)大（1）的適用范圍給出進(jìn)一步的解釋：若在（1）中，設(shè)==0，則(+)×(+)=+；若==0，則(-)×(+)=-；若==0，則(+)×(-)=-；若==0，則(-)×(-)=+[6]．

方法2 利用(-)(-)或(-)×[(-)+]．

有8種教科書(shū)采用此法．如Hill先“證明”正負(fù)得負(fù)：因(-)×[+()]×=()×0，故(-)×=-．再由(-)(-)=[+(-)](-)=(-)+(-)(-)=-+(-)(-)=0，得到(-)(-)=[7]．

Slaught & Lennes和Rietz首先“證明”正負(fù)得負(fù)：設(shè)×(-)=，則×(-)+=+，即×[(-)+]=+，于是得0=0=+，故=-，即(-)=-．再設(shè)(-×(-)=，則(-)×(-)+(-)×，即(-)×[(-)+]=-，于是得(-)×0=0=-，故(-)×(-)=[8，9]．

方法3 利用(-)×[-(+)]．

有兩種教科書(shū)采用此法．將-視為-(+)，則有(-)×(-)=(-)×[-(+)]=--[-(+)]=--(--)=-++=[10]．

方法4 利用[(+)-(+)](-)．

只有一種教科書(shū)采用此法．考慮[(+)-(+)](-)，一方面，利用“正負(fù)得負(fù)”，有[(+)-(+)](-)=(+)(-)-(+)(-)=--(-)=-+(+)．另一方面，[(+)+(-)](-)=-+(-)(-)，故得(-)×(-)=+[11]．

圖3 斐波那契的幾何證明

3.2 連減法

“連減法”是對(duì)乘法意義的拓廣：將一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)正整數(shù)，相當(dāng)于連加該數(shù)若干次；將一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)負(fù)整數(shù)，相當(dāng)于連減該數(shù)若干次，由此得到“負(fù)負(fù)得正”．共有91種教科書(shū)（占40.3%）采用此法．例如：

(+4)×(+3)=+(+4)+(+4)+(+4)=+12；

(-4)×(+3)=+(-4)+(-4)+(-4)=-12；

(+4)×(-3)=-(+4)-(+4)-(+4)=-12；

(-4)×(-3)=-(-4)-(-4)-(-4)=+12[12]．

3.3 利用相反數(shù)

所謂相反數(shù)法，是將(-)×和(-)×(-)看作一對(duì)相反數(shù)，若已知前者為負(fù)，則后者必為正．這種方法源于歐拉．歐拉在《代數(shù)基礎(chǔ)》中首先通過(guò)債務(wù)的倍數(shù)來(lái)說(shuō)明正負(fù)得負(fù)：將-視為債務(wù)，取三次，則債務(wù)必變成三倍多，故(-)×3=-3(>0)，一般地，有(-)×=-(>0,>0)，故“正負(fù)得負(fù)”．由于(-)×(-) (>0,>0)要么等于，要么等于-，但已證(-)×=-，故(-)×(-)=[13]．共有38種教科書(shū)（占16.8%）采用此法．具體有以下3種方式．

方法1 反證法．

有3種教科書(shū)采用反證法．如Young的解釋是：若承認(rèn)(-)×=-（已證），則必有(-)×(-)=+，否則(-)×=(-)×(-)，于是=-，矛盾[14]．

方法2 直接改變符號(hào)．

共有32種教科書(shū)采用此法．如Smyth的解釋如下：若乘數(shù)為+，則被乘數(shù)保留自己的符號(hào)，重復(fù)次，于是有(+)×(+)=+，(-)×(+)=-；若乘數(shù)為-，則被乘數(shù)取相反符號(hào)，重復(fù)次，于是有(+)×(-)=-，(-)×(-)=[15]．后來(lái)的作者多傾向于用具體數(shù)字來(lái)說(shuō)明這種情形，先說(shuō)明(-3)×4=-12，而(-3)×(-4)意指-3改變符號(hào)，即為3再重復(fù)4次，即(-3)×(-4)=12[16]．

方法3 利用-1的意義．

這種方法的出發(fā)點(diǎn)是“-1與任意一個(gè)數(shù)的乘積等于該數(shù)的相反數(shù)”或“乘以-1就是取一次、變符號(hào)”．有3種教科書(shū)采用此法．如：

(-)×(-)=(-1)××(-)=(-1)×(-)×=[17]；

(-3)×(-4)=(-1)×3×(-4)=(-1)×(-12)=+12[18]；

(-)×(-)=×(-1)××(-1)=×(-1)×(-1)=(-)×(-1)=[19]．

3.4 歸納法

這種方法最早為桑德森所采用．桑德森在《代數(shù)基礎(chǔ)》中先提出命題：“一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)依次乘以同一個(gè)數(shù)，所得乘積構(gòu)成等差數(shù)列．”利用該命題，等差數(shù)列4，0，-4依次乘以3，所得乘積構(gòu)成等差數(shù)列，前兩個(gè)乘積依次為12和0，故第3個(gè)乘積為-12，即(-4)×3=-12；依次乘以-3，所得乘積構(gòu)成等差數(shù)列，前兩個(gè)乘積依次為-12和0，故第3個(gè)乘積為12，即(-4)×(-3)=12[20]．有3種教科書(shū)采用此法．

Benedict取等差數(shù)列+4，+3，+2，+1，0，-1，-2，-3，-4，先將各項(xiàng)分別乘以+3，觀察所得等差數(shù)列的規(guī)律，得出“負(fù)正得負(fù)”；再將數(shù)列各項(xiàng)分別乘以-3，觀察新數(shù)列的規(guī)律，得出“負(fù)負(fù)得正”，如圖4[21]．

圖4 Benedict“負(fù)負(fù)得正”的解釋方式

3.5 幾何方法

有6種教科書(shū)采用有向線段來(lái)解釋“負(fù)負(fù)得正”．如Newcomb給出如下幾何解釋：假設(shè)表示從零點(diǎn)向右長(zhǎng)度為1 cm的線段，則-表示從零點(diǎn)向左長(zhǎng)度為1 cm的線段，如圖5[22]．

圖5 Newcomb“負(fù)負(fù)得正”的幾何解釋

Long & Brenke設(shè)向右為正方向，用3個(gè)單位長(zhǎng)度在直線上沿著正方向測(cè)量5次，所測(cè)得的線段長(zhǎng)度為(+5)×(+3)=+15．若沿著反方向測(cè)量5次，得(-5)×(+3)=-15．用反方向的3個(gè)單位長(zhǎng)度沿著該方向測(cè)量5次，得(+5)×(-3)=-15．將反方向上3個(gè)單位長(zhǎng)度反向測(cè)量5次，得(-5)×(-3)=+15，如圖6[23]．

3.6 物理模型

部分教科書(shū)利用物理量之間的關(guān)系，如浮力、行程、杠桿等解釋“負(fù)負(fù)得正”，將其歸類為利用“物理模型”解釋．

3.6.1 氣球模型

利用氣球所受浮力大小來(lái)說(shuō)明正負(fù)數(shù)的乘法法則，稱為“氣球模型”，有5種教科書(shū)采用此法．如Slaught & Lennes的解釋如下：一位氣球駕駛員在出發(fā)之前，做了如下準(zhǔn)備工作：（1）他給氣球充入9000立方英尺的氣體，氣體每一千立方英尺的上升力為75磅．（2）他取了8袋沙子，每袋重15磅．則此時(shí)氣球受到的浮力為(+75)×(+9)=+675磅，受到的阻力為120磅，即(-15)×(+8)=-120磅．若在氣球飛行過(guò)程中，駕駛員打開(kāi)閥門，放掉2000立方英尺的氣體，相當(dāng)于氣球受到的阻力增加了150磅，即(+75)×(-2)=-150磅；若駕駛員扔掉4袋沙子，相當(dāng)于氣球受到的浮力增加了60磅，即(-15)×(-4)=+60磅[24]．

圖6 Long &Brenke“負(fù)負(fù)得正”的幾何解釋

3.6.2 行程模型

利用物體行駛過(guò)程中路程、速度和時(shí)間的關(guān)系解釋“負(fù)負(fù)得正”稱為“行程模型”，有5種教科書(shū)采用此法．如Oliver, Jones & Wait中給出了以下解釋：一列火車以20英里/小時(shí)的速度從西往東開(kāi)，現(xiàn)經(jīng)過(guò)A處，則5小時(shí)后，將到達(dá)A處以東100英里處，此即20×(+5)=+100；5小時(shí)前，位于A處以西100英里處，此即20×(-5)=-100．若火車以20英里/小時(shí)的速度從東往西開(kāi)，現(xiàn)經(jīng)過(guò)A處，則5小時(shí)后，將到達(dá)A處以西100英里處，此即(-20)×(+5)=-100；5小時(shí)前，位于A處以東100英里處，此即(-20)×(-5)=100[25]．

Hopkins則采用人的運(yùn)動(dòng)來(lái)解釋，如圖7．規(guī)定向東走為正，向西走為負(fù)，未來(lái)的時(shí)間為正，過(guò)去的時(shí)間為負(fù)．一個(gè)人以每小時(shí)3英里的速度向東走，4個(gè)小時(shí)后他位于起點(diǎn)東面12英里處，即(+4)×(+3)=+12．一個(gè)人以每小時(shí)3英里的速度向西走，4小時(shí)后他位于起點(diǎn)西面12英里處，即(+4)×(-3)=-12．一個(gè)人以每小時(shí)3英里的速度往東走，4小時(shí)前他位于起點(diǎn)西面12英里處，即(-4)×(+3)=-12．一個(gè)人以每小時(shí)3英里的速度向西走，4小時(shí)前他位于起點(diǎn)東面12英里處，即(-4)×(-3)=+12[26]．

圖7 Hopkins“負(fù)負(fù)得正”行程模型圖示

3.6.3 力矩模型

Keal & Leonard采用了力矩模型，如圖8．規(guī)定支點(diǎn)右邊的臂為正，支點(diǎn)左邊的臂為負(fù)，向上的作用力為正，向下的作用力為負(fù)，逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的力矩為正，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的力矩為負(fù)．正力作用于正力臂，杠桿沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，產(chǎn)生正力矩，即(+3)×(+7)=21；負(fù)力作用于正力臂，杠桿沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，從而產(chǎn)生負(fù)力矩，即(+3)×(-7)=-21；正力作用于負(fù)力臂，杠桿沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生負(fù)力矩，即(-3)×(+7)=-21；負(fù)力作用于負(fù)力臂，杠桿沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即(-3)×(-7)=21[27]．

圖8 Keal & Leonard“負(fù)負(fù)得正”的力矩模型圖示

3.6.4 水箱模型

3.7 生活模型

“生活模型”是指基于現(xiàn)實(shí)生活情境（如收入、債務(wù)等）的解釋方式，具體可分成以下兩種情形．

有5種教科書(shū)采用節(jié)約和浪費(fèi)[29]、收益和損失[30]來(lái)解釋“負(fù)負(fù)得正”．如Beman和Smith設(shè)計(jì)了如下情境：某鎮(zhèn)上每人每周需納稅1美元，若有5人遷入該鎮(zhèn)，則該鎮(zhèn)每周增加收入(+5)×(+1)=+5美元；若有5人遷出該鎮(zhèn)，則該鎮(zhèn)每周增加收入(-5)×(+1)=-5美元．該鎮(zhèn)每周為每個(gè)流浪漢支付1美元，若有5個(gè)流浪漢遷入，則該鎮(zhèn)每周增加收入(+5)×(-1)=-5美元；若有5個(gè)流浪漢遷出，則該鎮(zhèn)每周增加收入(-5)×(-1)=+5美元[31]．

美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M·克萊因（M. Kline）最早用債務(wù)解釋“負(fù)負(fù)得正”．假定某人每天欠債5美元（記為-5），在給定日期他身無(wú)分文（0美元）．那么在給定日期3天后（記為+3）他欠債15美元，即(+3)×(-5)=-15；在給定日期3天前（記為-3），他的財(cái)產(chǎn)比給定日期多15美元，即(-3)×(-5)=15[32]．

有5種教科書(shū)采用了該模型，如Durell & Robbins給出如下解釋：（1）100美元取5次，得500美元，即(+100)×(+5)=+500；（2）100美元的債務(wù)取5次，得-500美元，即(-100)×(+5)=-500；（3）100美元扣除5次，得-500美元，即(+100)×(-5)=-500；（4）100美元的債務(wù)扣除5次，相當(dāng)于增加了500美元，即(-100)×(-5)=+500[33]．

4 分布與討論

4.1 各種解釋方式的分布

由于每個(gè)時(shí)間段選擇書(shū)的數(shù)量不均，研究采用百分率統(tǒng)計(jì)．以20年為一段，這7類解釋的分布如圖9所示．

從圖9可見(jiàn)，1880年以前，“負(fù)負(fù)得正”的解釋方式較為單一，以利用分配律和連減法解釋為主，其中利用分配律解釋占主導(dǎo)地位，但隨著時(shí)間的推移，該方法所占的比率逐漸下降．1880年后，解釋方式逐漸多樣化，出現(xiàn)了幾何方法、物理模型和生活模型等．

圖9 諸解釋方法的分布變化

1840年后，利用分配律逐漸減少，連減法逐漸增加．在研究限定的時(shí)間范圍內(nèi)，連減法占比僅次于利用分配律．該方法僅拓展了乘法的意義，再結(jié)合加減法的性質(zhì)，受到早期教科書(shū)編寫者的青睞．

相反數(shù)法在所有解釋方式中位列第三．1820—1859年之間該解釋方式共出現(xiàn)6次，每個(gè)時(shí)間段占比較為接近．1860—1879年之間沒(méi)有出現(xiàn)，在該時(shí)間段，大部分作者傾向于連減法．1880—1939年之間共出現(xiàn)32次，相比于1820—1859年，每個(gè)時(shí)間段的占比逐漸上升．可見(jiàn)，相反數(shù)法由于簡(jiǎn)潔明了而成為19世紀(jì)后期和20世紀(jì)初期教科書(shū)編寫者偏愛(ài)的方法之一．

歸納法出現(xiàn)于1840年后．在200種教科書(shū)中，歸納法共出現(xiàn)3次，在所有方法中出現(xiàn)次數(shù)最少．國(guó)內(nèi)現(xiàn)行人教版和北師大版教科書(shū)也采用了這種方式．

幾何方法主要借助于有向線段的度量來(lái)解釋符號(hào)法則，出現(xiàn)于19世紀(jì)后期，但次數(shù)較少．該方法雖然直觀，但由于蘊(yùn)含向量思想，且正向和反向測(cè)量與有向線段的正負(fù)方向易于混淆，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)未必容易，這大概是教科書(shū)編寫者很少選擇它的原因．

物理模型和生活模型出現(xiàn)于1880年后，與前5種解釋方式相比，兩類模型將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)情境聯(lián)系起來(lái)，由生產(chǎn)、生活中的實(shí)際事例抽象出符號(hào)法則，較之幾何方法更直觀，更易于接受，故隨著時(shí)間的推移，占比逐漸上升．國(guó)內(nèi)現(xiàn)行部分教科書(shū)也選擇了物理模型，如滬教版采用行程模型，蘇科版采用水位升降模型．

4.2 討論

利用分配律、相反數(shù)法、連減法、歸納法和幾何法都是從數(shù)學(xué)內(nèi)部出發(fā)解釋符號(hào)法則，而物理模型和生活模型則從數(shù)學(xué)外部出發(fā)來(lái)解釋該法則．盡管物理模型和生活模型呈逐漸上升的趨勢(shì)，但大部分教科書(shū)（占總數(shù)的90.7%）依然局限于數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯關(guān)系．

“負(fù)負(fù)得正”解釋方式的演變與數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的進(jìn)步息息相關(guān)．就數(shù)學(xué)而言，1880年以前的教科書(shū)毫無(wú)例外都試圖從數(shù)學(xué)內(nèi)部出發(fā)“證明”負(fù)負(fù)得正．但隨著時(shí)間的推移，數(shù)學(xué)家逐漸認(rèn)識(shí)到“負(fù)負(fù)得正”不能證明的事實(shí)．19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家漢克爾發(fā)現(xiàn)，“在形式化的算術(shù)中，負(fù)負(fù)得正是不能證明的．”F·克萊因?qū)⒇?fù)負(fù)得正法則視為“危險(xiǎn)的絆腳石”，他對(duì)數(shù)學(xué)教師提出忠告：“不要試圖去證明符號(hào)法則的邏輯必要性，別把不可能的證明講得似乎成立．”[34]自此人們才發(fā)現(xiàn)，教科書(shū)中利用分配律所進(jìn)行的“證明”，其實(shí)根本不是真正的證明．因此，1880年以后，用分配律來(lái)“證明”負(fù)負(fù)得正的教科書(shū)顯著減少．

物理模型和生活模型的出現(xiàn)和占比的逐漸上升與19世紀(jì)末20世紀(jì)初的數(shù)學(xué)教育變革有關(guān)．1892年，美國(guó)組織了全國(guó)性的中等學(xué)校教學(xué)委員會(huì)，重新制定中等學(xué)校教育目標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)課程計(jì)劃，倡導(dǎo)算術(shù)要具體化，努力把算術(shù)、代數(shù)和幾何互相聯(lián)系起來(lái)[35]．20世紀(jì)初出現(xiàn)了國(guó)際性的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)．1901年，培利（J. Perry）認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不是為了考試和創(chuàng)造數(shù)學(xué)家，實(shí)用性決定了應(yīng)該教什么．新的教學(xué)方法應(yīng)該讓人們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的實(shí)用性．他主張教學(xué)要基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自己構(gòu)建抽象的概念．1902年，受培利的影響，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)穆?tīng)枺‥. H. Moore）呼吁要少?gòu)?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性和形式化，多強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，提倡實(shí)驗(yàn)的教學(xué)方法[36]．在這些背景下，更多的教科書(shū)作者開(kāi)始關(guān)注“負(fù)負(fù)得正”法則與現(xiàn)實(shí)情境之間的聯(lián)系，生活模型或物理模型應(yīng)運(yùn)而生．

5 結(jié)論與啟示

綜上，1820—1939年間的200種美國(guó)早期代數(shù)教科書(shū)采用了多種不同的方式解釋“負(fù)負(fù)得正”．從早期的3種方式發(fā)展到后期的7類方式并存．隨著時(shí)間的推移，“半邏輯”的分配律方法解釋逐漸減少，連減法逐漸占據(jù)上風(fēng)，成為數(shù)學(xué)家們喜愛(ài)的方式．在此期間，歸納法僅僅曇花一現(xiàn)．19世紀(jì)末20世紀(jì)初開(kāi)始，受數(shù)學(xué)教育改革的影響，幾何方法、物理模型和生活模型逐漸進(jìn)入人們的視野，并且其占比逐漸上升．盡管如此，連減法和相反數(shù)法仍然占據(jù)優(yōu)勢(shì)．

早期教科書(shū)中的“負(fù)負(fù)得正”解釋方式及其演變規(guī)律，為今日的教科書(shū)編寫、教師專業(yè)發(fā)展和課堂教學(xué)帶來(lái)一定的啟示．

5.1 對(duì)教科書(shū)編寫的啟示

早期教科書(shū)中“負(fù)負(fù)得正”法則的解釋為今日教科書(shū)編寫提供了豐富的材料．教科書(shū)編寫者可以考慮如何展示“負(fù)負(fù)得正”這一法則的產(chǎn)生和形成過(guò)程，才能讓學(xué)生感受到它的合理性．賈隨軍等在其考查的各版教科書(shū)中發(fā)現(xiàn)，約6成教科書(shū)從數(shù)學(xué)本身解釋“負(fù)負(fù)得正”法則[4]．早期教科書(shū)編寫者也更傾向于從數(shù)學(xué)內(nèi)部出發(fā)解釋“負(fù)負(fù)得正”，如連減法和相反數(shù)法．盡管物理模型和生活模型更具趣味性，但其中涉及幾個(gè)變量的實(shí)際意義，不易為學(xué)生所理解；而連減法和相反數(shù)法言簡(jiǎn)意賅，較易理解．今日教科書(shū)編寫者可以兼顧兩種方式，讓學(xué)生明白：不論從數(shù)學(xué)內(nèi)部出發(fā)還是從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，“負(fù)負(fù)得正”都是合理的存在．

5.2 對(duì)教學(xué)的啟示

早期教科書(shū)中“負(fù)負(fù)得正”解釋方式的研究，可以讓教師了解一個(gè)看似簡(jiǎn)單的法則背后的歷史軌跡，知道“負(fù)負(fù)得正”是為了保證已有運(yùn)算律成立而作出的“規(guī)定”，教師不要試圖在教學(xué)中證明法則的合理性，因而犯科學(xué)性錯(cuò)誤．同時(shí)，早期教科書(shū)中的7類解釋方式為教師提供了豐富的教學(xué)資源和更多的選擇；從不同解釋方式出現(xiàn)的頻數(shù)，也可以看到前人的傾向性，為自己的選擇提供參考．另外，通過(guò)了解歷史上數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)“負(fù)負(fù)得正”的曲折過(guò)程以及“負(fù)負(fù)得正”解釋方式的演變，教師可以預(yù)測(cè)學(xué)生的認(rèn)知障礙，自信而坦然地面對(duì)學(xué)生“為什么負(fù)負(fù)得正”的疑問(wèn)，保護(hù)學(xué)生的好奇心和求知欲，滲透數(shù)學(xué)德育，實(shí)現(xiàn)人性化的數(shù)學(xué)教育．

有理數(shù)乘法教學(xué)的難點(diǎn)在于如何向?qū)W生解釋“負(fù)負(fù)得正”的合理性．教學(xué)在運(yùn)用早期教科書(shū)所提供的有關(guān)素材時(shí)，既可以采用復(fù)制式，也可以采用順應(yīng)式．例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)乘法時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的減法和相反數(shù)等知識(shí)，這時(shí)選用連減法和相反數(shù)法較為合適．對(duì)于物理模型和生活模型，教師可選擇學(xué)生熟悉的情境，并進(jìn)行適當(dāng)改編，作為數(shù)學(xué)解釋的補(bǔ)充．

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An Examination of the Methods Performing the Multiplication with Two Negative Numbers in Early Algebra Textbooks in the USA

SHAO Ai-di, LI Xiao-ni, WANG Xiao-qin

(College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

About 200 algebra textbooks, published between 1820 and 1939 in the USA, were selected to analyze their explanation of the Multiplication of two Negative numbers. It was found that there were seven types of interpretation methods in the books: distribution law, repeated subtraction, opposite number, induction, geometric method, physical model, and life model. Before 1880, many textbooks adopted the distributive law and repeated subtraction. After 1880, a variety of methods coexisted, and interpretation using the distributive law showed a gradually declining trend. The proportion using the physical model and life model methods increased gradually, and the proportion using the opposite number method and repeated subtraction method were generally higher. It is helpful for textbook writers and teachers to have a deep understanding of the rationality of the sign rules and choose the interpretation method that is easiest for students to understand.

algebra textbook; the multiplication with two negative numbers; explanation; life model

G633.62

A

1004–9894（2021）01–0085–06

邵愛(ài)娣，栗小妮，汪曉勤．美國(guó)早期代數(shù)教科書(shū)中的“負(fù)負(fù)得正”解釋方式研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（1）：85-90．

2020–09–30

上海高校“立德樹(shù)人”人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的研究（A8）

邵愛(ài)娣（1990—），女，江蘇鹽城人，碩士生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：陳雋、張楠]