鞏子坤，靳培英，李碩鑫，盧子苓

“中國(guó)”“新加坡”“英國(guó)”教材中分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑的比較研究

鞏子坤1，靳培英1，2，李碩鑫3，盧子苓4

（1．杭州師范大學(xué) 經(jīng)亨頤教師教育學(xué)院，浙江 杭州 311121；2．育才實(shí)驗(yàn)小學(xué)，浙江 杭州 311121；3．?dāng)z山星城小學(xué)，江蘇 南京 210046；4．滕州市龍泉街道安居小學(xué)，山東 棗莊 277500）

以中國(guó)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材、英國(guó)SMP版小數(shù)數(shù)學(xué)教材和新加坡MC版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為研究對(duì)象，比較了3國(guó)教材中分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)路徑．結(jié)果表明：3國(guó)均按照“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)→整數(shù)除以分?jǐn)?shù)→分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”的順序來(lái)安排學(xué)習(xí)任務(wù)；分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的任務(wù)均采用了等分除的模型，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)（國(guó)內(nèi)統(tǒng)稱(chēng)為一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)）的任務(wù)大都采用了包含除模型；任務(wù)的表征方式既有直觀表征，也有抽象表征．新加坡教材中的學(xué)習(xí)路徑所包含的任務(wù)最詳細(xì)，其推進(jìn)過(guò)程可謂小坡度、慢步走；中國(guó)教材的學(xué)習(xí)路徑所包含的任務(wù)最簡(jiǎn)略，其推進(jìn)過(guò)程可謂大跨度、快步跑；英國(guó)教材的學(xué)習(xí)任務(wù)最為抽象．最后基于分析，重構(gòu)了分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)路徑．

分?jǐn)?shù)除法；學(xué)習(xí)路徑；教材比較；除法模型；表征

1 問(wèn)題提出

假想學(xué)習(xí)路徑HLT（hypothetical learning trajectory）首先由Simon在1995年提出[8]．Clements與Sarama在Simon的基礎(chǔ)上，提出了學(xué)習(xí)路徑的概念：學(xué)習(xí)路徑就是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)某一具體數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)思維與學(xué)習(xí)過(guò)程的描述，以及一個(gè)相關(guān)的、設(shè)想的路徑，這個(gè)路徑就是一系列的學(xué)習(xí)任務(wù)[9]．設(shè)計(jì)（創(chuàng)設(shè)）這些教學(xué)任務(wù)的目的是激發(fā)學(xué)生心理活動(dòng)的過(guò)程或者行動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生思維水平的發(fā)展與提升，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)．

教材是教與學(xué)的重要載體，對(duì)教學(xué)起著重要的指導(dǎo)作用．研究表明：課程與學(xué)生學(xué)習(xí)成就有正向關(guān)系[10]；學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)絕大部分取決于教師在課堂教學(xué)過(guò)程中所使用的教材[11]．教材的編寫(xiě)能否提供最有利于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)路徑至關(guān)重要．這里試圖從比較研究的視角分析中國(guó)、英國(guó)、新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教材中呈現(xiàn)的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑．基于比較分析，提出較為完善的有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法算理的學(xué)習(xí)路徑．

2 研究對(duì)象與研究方法

2.1 研究對(duì)象

基于影響力與使用范圍的廣泛程度，研究者選取了人民教育出版社發(fā)行的小學(xué)《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》[12]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)人教版）教材、新加坡Marshall Cavendish出版的[13]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)MC版）教材、英國(guó)Cambridge University 出版的[14]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)SMP版）教材作為研究對(duì)象．這些教材都是中國(guó)、新加坡和英國(guó)所廣泛使用的教材．

2.2 研究方法

學(xué)習(xí)路徑就是為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)而設(shè)計(jì)的任務(wù)序列，這些任務(wù)之間具有一定的邏輯遞進(jìn)關(guān)系，這些任務(wù)是指向教學(xué)目標(biāo)的[6]．教材中設(shè)計(jì)的活動(dòng)或者例子序列，呈現(xiàn)的就是一個(gè)學(xué)習(xí)路徑．因此，這里只對(duì)教材中的正文部分呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行分析和比較，不涉及后面所附的練習(xí)和習(xí)題部分．主要從任務(wù)系列、模型、表征以及情境這4個(gè)維度進(jìn)行分析．

2.2.1 任務(wù)系列

這事實(shí)上涉及分?jǐn)?shù)除法的類(lèi)型．分?jǐn)?shù)除法按照被除數(shù)和除數(shù)是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)可細(xì)分為以下3種類(lèi)型：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)．其中分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的類(lèi)型又包括分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（分?jǐn)?shù)的分子能夠被除數(shù)整除），單位分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（分?jǐn)?shù)的分子不能夠被除數(shù)整除）．整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)（國(guó)內(nèi)統(tǒng)稱(chēng)為一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)），包括整數(shù)除以單位分?jǐn)?shù)，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，單位分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)．

2.2.2 模型

2.2.3 表征

表征指的是說(shuō)明算理的表示方式，包括以下4類(lèi)表征方式，即程序表征、直觀表征、抽象表征、形式表征[4]．這4種表征方式的含義如表1[4]．

表1 分?jǐn)?shù)除法的表征類(lèi)型

2.2.4 情境

世界經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）在國(guó)際性學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目PISA中把情境按照與學(xué)生生活的遠(yuǎn)近分成個(gè)人情境、職業(yè)情境、社會(huì)情境以及科學(xué)情境4種類(lèi)型[16]．在此基礎(chǔ)上，結(jié)合文章的需要，增加一個(gè)無(wú)情境類(lèi)型作為情境分析框架．各種情境的具體內(nèi)涵如表2．

表2 情境含義

3 結(jié)果與分析

3.1 教材中學(xué)習(xí)路徑呈現(xiàn)

通過(guò)對(duì)3國(guó)教材中分?jǐn)?shù)除法部分的分析，歸納出教材所呈現(xiàn)的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑（表3、表4、表5）．

表3 中國(guó)人教版教材呈現(xiàn)的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑

表4 新加坡MC版教材呈現(xiàn)的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑

表5 英國(guó)SMP版教材呈現(xiàn)的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑

3.2 學(xué)習(xí)路徑相同之處

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，人教版、MC版、SMP版數(shù)學(xué)教材中的學(xué)習(xí)路徑在任務(wù)系列、模型、表征、情境方面有相同之處，具體如下．

3.2.1 任務(wù)系列

從表3、表4、表5可以看出，分?jǐn)?shù)除法在3國(guó)教材中的任務(wù)序列基本相同：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)→整數(shù)除以分?jǐn)?shù)→分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)．各國(guó)設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)任務(wù)難度都是螺旋上升的，基本上都是由單位分?jǐn)?shù)除法開(kāi)始，過(guò)渡到可約分的分?jǐn)?shù)除法，最后再到不可約分的分?jǐn)?shù)除法，體現(xiàn)出任務(wù)設(shè)計(jì)的層次性．

3.2.2 模型

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，大都使用了除法的等分除模型；整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，大都使用了除法的包含除模型．等分除與包含除是由同一個(gè)“平均分物”數(shù)學(xué)模型所產(chǎn)生的，地位平等[16]．從除法的意義進(jìn)行分析，等分除和包含除，乃是同一個(gè)情境里的兩類(lèi)互相依存的除法問(wèn)題，可以說(shuō)二者是一對(duì)“孿生兄弟”，彼此密切相關(guān)[16]．一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，新加坡教材與英國(guó)教材多是包含除模型，人教版教材中的任務(wù)3、任務(wù)4運(yùn)用了混合模型．

3.2.3 表征

3國(guó)教材的分?jǐn)?shù)除法大都用了直觀表征、抽象表征，進(jìn)而過(guò)渡到程序表征．形式化表征則均未出現(xiàn)．在直觀圖的表示上，大都使用了矩形圖，其中人教版還使用了線段圖，MC版還使用了扇形圖．也就是說(shuō)，除了中國(guó)教材外，新加坡、英國(guó)教材均使用二維面積模型來(lái)表征．

3.2.4 情境

中國(guó)教材與新加坡教材設(shè)置的任務(wù)情境大都是個(gè)人生活情境，如均分蛋糕、西瓜、紙張等，教材中設(shè)計(jì)的每一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)均賦予了實(shí)際意義，有著現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題情境．學(xué)生可以借助這樣的現(xiàn)實(shí)情境，用不同的表征方式來(lái)理解算理、推導(dǎo)算法，并盡可能實(shí)現(xiàn)算理的貫通．英國(guó)教材設(shè)置的任務(wù)只有純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題表述，屬于無(wú)情境，也就是純數(shù)學(xué)情境．3國(guó)教材設(shè)置的任務(wù)情境均沒(méi)有涉及社會(huì)情境和科學(xué)情境．

3.3 各國(guó)教材呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)路徑的特點(diǎn)

3.3.1 人教版教材：包含除界定不清晰任務(wù)推進(jìn)速度快

（1）注重概括歸納、總結(jié)規(guī)律．

與其它兩個(gè)國(guó)家的教材相比較，人教版教材提供的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑比較注重培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力，如任務(wù)后面均呈現(xiàn)這樣的語(yǔ)句“根據(jù)上面的折紙實(shí)驗(yàn)和算式你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？”“通過(guò)例2、例3的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么？”，這點(diǎn)明顯區(qū)別于其它兩國(guó)．

（2）包含除界定不清晰．

人教版教材在一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)部分運(yùn)用了混合模型，包含除的形象并不清晰，這給直觀表征算理帶來(lái)了不便．

（3）學(xué)習(xí)任務(wù)推進(jìn)速度較快，增加了教材難度．

人教版教材中所呈現(xiàn)的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑最短，僅用4個(gè)任務(wù)就完成了由分?jǐn)?shù)除以整數(shù)到分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)整個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，教材所用篇幅也較少，任務(wù)與任務(wù)之間的梯度較大，任務(wù)1到任務(wù)2之間缺乏一個(gè)平滑過(guò)渡、承上啟下的任務(wù)，教材難度較大．

（4）一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的任務(wù)，結(jié)果都是整數(shù)．

人教版教材還有一個(gè)很大的問(wèn)題，即整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)這兩個(gè)任務(wù)，所得到的結(jié)果均是整數(shù)，計(jì)算結(jié)果極其特殊，不具有一般性．加之這個(gè)混合模型的直觀圖也并非真正的直觀圖，線段圖也具有很大的局限性（不能夠一眼看出結(jié)果），包含除的形象也不清晰．史寧中先生一再?gòu)?qiáng)調(diào)：好的結(jié)論往往不是先“證出來(lái)”的，而是“看出來(lái)”的．“看出來(lái)”是一種直覺(jué)．因而，需要對(duì)教材中數(shù)字的選取進(jìn)行改進(jìn)．

3.3.2 MC版教材：“等分除”“包含除合理運(yùn)用”任務(wù)推進(jìn)速度緩慢

（1）合理運(yùn)用等分除、包含除模型．

從對(duì)學(xué)習(xí)路徑模型的分析來(lái)看，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，使用了等分除模型；整數(shù)除以分?jǐn)?shù)以及分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，使用了包含除模型．對(duì)于等分除與包含除這一對(duì)“孿生兄弟”，并非厚此薄彼，偏愛(ài)一個(gè)．

（2）學(xué)習(xí)任務(wù)推進(jìn)速度緩慢，任務(wù)具有同構(gòu)性．

MC版教材中設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑邏輯層次分明，層層漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理，逐步提高學(xué)生的抽象思維能力．教材提供了大量的篇幅講解一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，設(shè)置了較多同構(gòu)性質(zhì)的任務(wù)，每一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)僅在上一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)的基礎(chǔ)上提升一小步，目的是幫助學(xué)生逐步理解算理，突破難點(diǎn)．如任務(wù)4、任務(wù)5、任務(wù)6，雖然任務(wù)的情境不同，但是，其中的表征方式是一樣的、算理是一樣的、法則也是一樣的．這些任務(wù)之間并不是簡(jiǎn)單重復(fù)，而是對(duì)分?jǐn)?shù)除法算理的漸次逼近．它們?nèi)绲巧降碾A梯一樣，讓攀登者逐步接近山頂，逐步接近算理的真相．

（3）注重“單位”的應(yīng)用．

“分?jǐn)?shù)單位”與“自然數(shù)單位”“小數(shù)單位”一樣，是一個(gè)比較重要的概念，但在教學(xué)中卻容易被忽視．學(xué)生經(jīng)常問(wèn)老師“兩個(gè)分?jǐn)?shù)相除，為什么要用被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)”，若老師講不清楚，學(xué)生就只能死記硬背[17-18]，不能促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解．MC版教材以分?jǐn)?shù)單位作為攀爬的墊腳石，通過(guò)直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生從“分?jǐn)?shù)單位”的意義上去理解“除以一個(gè)不為0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”這一算理，以期逐步達(dá)到登頂?shù)男Ч?，如任?wù)1、任務(wù)4、任務(wù)7．這一點(diǎn)值得大家好好學(xué)習(xí)．

（4）任務(wù)呈現(xiàn)的“不完整性”．

MC版教材中大部分例題有完整的解答過(guò)程，但在個(gè)別的例題中只呈現(xiàn)了部分解答過(guò)程，需要學(xué)生自己動(dòng)手補(bǔ)充完整方框中缺失的數(shù)據(jù)．所以，MC版教材更能促進(jìn)學(xué)生的思考，進(jìn)而掌握算理．

3.3.3 SMP教材：拋棄問(wèn)題情境更加抽象

（1）“無(wú)情境”任務(wù)成為主流．

（2）多種方式表征算理．

雖然沒(méi)有實(shí)際的問(wèn)題情境，但是SMP版教材通過(guò)直觀圖表征從除法的意義、分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)乘法的意義解釋了“除以一個(gè)不為0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”這一算理，如任務(wù)1，把其對(duì)算理的解釋過(guò)程整理如圖1．這是對(duì)算理的抽象表征，這種表征方式與人教版教材的表征方式是一致的．而MC版教材沒(méi)有出現(xiàn)這種表征方式．

圖1 SMP教材中對(duì)分?jǐn)?shù)除法算理的解釋說(shuō)明

4 分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑：建議與重構(gòu)

因?yàn)楦鲊?guó)的國(guó)情、數(shù)學(xué)教育理念、教育的傳統(tǒng)乃至教材編者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和定位都是不同的，所以各國(guó)教材具有不同的特點(diǎn)，出現(xiàn)差異也是很自然的．應(yīng)該吸取各國(guó)教材設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑優(yōu)點(diǎn)，尋求一條最優(yōu)的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑．

4.1 建議

學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是：設(shè)計(jì)層次遞進(jìn)的學(xué)習(xí)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)算理的多種表征，并貫通各種表征，在講清算理的基礎(chǔ)上水到渠成地推導(dǎo)出法則，從而幫助學(xué)生達(dá)成對(duì)運(yùn)算的概念性理解與程序性理解[5]．

（1）合理運(yùn)用等分除與包含除模型．

（2）設(shè)計(jì)層次遞進(jìn)的學(xué)習(xí)任務(wù)，平穩(wěn)過(guò)渡，適度推進(jìn)．

（3）舍棄人教版教材任務(wù)3、任務(wù)4的混合模型．

4.2 路徑重構(gòu)

基于以上的分析，提出了假想的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑，如表6．

表6 假想的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)比較3個(gè)國(guó)家教材中分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)路徑，得到假想的學(xué)習(xí)路徑．研究者將選取實(shí)踐學(xué)校，開(kāi)展行動(dòng)研究，檢驗(yàn)上述假想學(xué)習(xí)路徑的有效性；觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)，并設(shè)計(jì)問(wèn)卷檢查學(xué)生對(duì)算理的理解；最終以學(xué)生理解水平的提升程度、學(xué)生課堂表現(xiàn)以及課后訪談作為依據(jù)來(lái)驗(yàn)證假想的學(xué)習(xí)路徑有效程度．

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A Comparative Study on the Learning Trajectories of Division with Fractions in Textbooks from China, Singapore and the UK

GONG Zi-kun1, JIN Pei-ying1, 2, LI Shuo-xin3, LU Zi-ling4

(1. School of Teacher Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China;2. Yucai Experimental Primary School, Zhejiang Hangzhou 311121, China;3. Sheshan Xingcheng Primary School, Jiangsu Nanjing 210046, China;4. Tengzhou Anju Primary School, Shandong Zaozhuang 277500, China)

In this paper, we compare the learning trajectories of the division of fractions in Chinese elementary school mathematics textbooks, the British SMP school mathematics textbooks, and the Singaporean MC primary school mathematics textbooks. We found that the learning tasks are arranged in the order of “dividing a fraction by a whole number?dividing a whole number by a fraction?dividing a fraction by a fraction.” The tasks of dividing a fraction by a whole number all adopt the portative models, and the tasks of dividing a whole number by a fraction and dividing a fraction by a fraction (generally referred to as dividing a number by a fraction in China) mostly adopt the quotitive models. The representations of tasks included both visual and abstract representations. The learning trajectories in the Singaporean textbooks contain the most detailed tasks, which could be described as proceeding in small steps and at a slow pace. The Chinese textbooks contain the lowest number of tasks, which could be described as proceeding in big steps and at a fast pace. The British textbooks contain the most abstract tasks because they were all purely mathematical situations. Based on these analyses, we propose the hypothetical learning trajectories of the division of fractions.

division of fractions; learning trajectories; textbook comparison; models of division; representation

G40–059.3

A

1004–9894（2021）01–0079–06

鞏子坤，靳培英，李碩鑫，等．“中國(guó)”“新加坡”“英國(guó)”教材中分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑的比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（1）：79-84．

2020–09–30

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目——6~15歲兒童的概率概念認(rèn)知策略及其發(fā)展研究（15YJA880020）；浙江省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題——兒童的概率概念認(rèn)知策略及其發(fā)展研究（16NDJC004Z）

鞏子坤（1966—），男，山東滕州人，教授，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]