李杰民，廖運(yùn)章

條件概率的本質(zhì)及其教學(xué)建議

李杰民1，2，廖運(yùn)章1

（1．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006；2．嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 湛江 524048）

概率是一個(gè)集合函數(shù)，是一種測(cè)度，用于度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小．概率采用公理化定義，條件概率也滿足該定義，因此條件概率也是一種概率測(cè)度，條件概率是含參變量的集合函數(shù)，是概率的推廣．采用質(zhì)性研究方法，梳理近20年來(lái)高中一線教師撰寫的概率教學(xué)文獻(xiàn)，對(duì)存在的問題進(jìn)行分類與歸因，選擇兩篇代表性文獻(xiàn)進(jìn)行案例研究．研究發(fā)現(xiàn)，條件概率概念教學(xué)存在較多問題，問題出現(xiàn)的根本原因是一線教師對(duì)條件概率本質(zhì)的理解存在欠缺．條件概率概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)從概念的本質(zhì)入手，借助正例反例與圖形直觀，講清楚概念的內(nèi)涵；解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)建模的理念入手，培養(yǎng)解題規(guī)范意識(shí)，掌握兩種基本計(jì)算方法；高中數(shù)學(xué)要重視條件概率教學(xué)，展示概率理論的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識(shí)的興趣．

高中概率教學(xué)；條件概率；概率測(cè)度；概率的公理化定義；教學(xué)建議

1 問題提出

2003年，教育部印發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》設(shè)置了概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容[1]．概率統(tǒng)計(jì)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程給一線教師帶來(lái)了挑戰(zhàn)[2]．與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容相比，概率作為數(shù)學(xué)的分支，理論性更強(qiáng)．一線教師對(duì)抽象度較高的概率理論的理解欠缺[3]，甚至沒有學(xué)過(guò)概率論[4]，對(duì)新增內(nèi)容的講授經(jīng)驗(yàn)缺乏，使得概率教學(xué)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，也引發(fā)了廣泛關(guān)注．使用“百鏈云”圖書館搜索年度范圍限制為2003—2018年，標(biāo)題中含有“高中”與“概率”的中文學(xué)位論文多達(dá)100篇，這些論文大部分采用了調(diào)查研究法，從不同的側(cè)面與視角探討高中概率教學(xué)，部分論文對(duì)高中數(shù)學(xué)教師概率基本概念及其認(rèn)識(shí)的狀況進(jìn)行了調(diào)查與訪談，研究結(jié)論是大多數(shù)教師不了解概率的公理化定義[5]，教師對(duì)條件概率、小概率事件的知識(shí)非常欠缺[6]．因此，建議加強(qiáng)教師的在職培訓(xùn)，但文[6]同時(shí)指出，“教師培訓(xùn)沒有起到應(yīng)有的作用，教師培訓(xùn)的內(nèi)容形式不能滿足教師的需要”．

條件概率是概率論中一個(gè)基礎(chǔ)而重要的概念，大量的后續(xù)概念建立在該概念基礎(chǔ)之上，比如，全概率公式與貝葉斯公式、指數(shù)分布與幾何分布的“無(wú)記憶性”、假設(shè)檢驗(yàn)中的“兩類錯(cuò)誤”，等等．條件概率的定義看起來(lái)并不復(fù)雜，初學(xué)者甚至覺得非常簡(jiǎn)單，但付諸教學(xué)實(shí)踐，卻出現(xiàn)各種問題，甚至出現(xiàn)了科學(xué)性錯(cuò)誤，且錯(cuò)誤存在多年，說(shuō)明很多教師還不知道錯(cuò)誤的原因，沒有理解條件概率的本質(zhì)，沒有找到合適的講授方法．

已有研究缺少對(duì)條件概率教學(xué)的關(guān)注與深入探討．其一，問題本身具有一定的難度．文[7]基于主持“古典概型”公開課活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)高中概率模型學(xué)與教中存在較多問題．比如，教師在講“古典概型”這一節(jié)時(shí)，沒有解決“為什么要學(xué)習(xí)古典概型”“古典概型是什么”這些問題．由此看來(lái)，“為什么要學(xué)習(xí)條件概率”“條件概率是什么”更不容易回答．但文[8]的研究表明，即使是六年級(jí)的學(xué)生，也具備一定的對(duì)高階概率內(nèi)容如“條件概率”的認(rèn)知潛能．因此，雖然有難度，但條件概率的教學(xué)值得深入研究．其二，條件概率的重要性沒有引起足夠的重視．文[9]通過(guò)對(duì)兩道有爭(zhēng)議的概率題的調(diào)查與分析，認(rèn)為目前高中概率教學(xué)存在著“基本概念的認(rèn)識(shí)較為模糊，普遍輕視基本概念和數(shù)學(xué)基本思想”的現(xiàn)象．文[9]提到其中的問題1有人采用條件概率的方法，但一筆帶過(guò)，其實(shí)，從條件概率而不是“等可能性”的角度去分析問題的解法更有針對(duì)性．從學(xué)科專業(yè)角度來(lái)看，已有研究忽視了一個(gè)重要的事實(shí)：復(fù)雜隨機(jī)現(xiàn)象的深入研究，離不開條件概率這個(gè)強(qiáng)有力的工具．從教學(xué)法的角度來(lái)看，已有研究忽視了一個(gè)重要方法：在概念體系中掌握概念[10]．“為什么要學(xué)習(xí)古典概型”“古典概型是什么”這些問題的解決需要對(duì)概率內(nèi)容有整體的認(rèn)識(shí)，備課時(shí)單獨(dú)考查“古典概型”是找不到答案的，“古典概型”的教學(xué)難點(diǎn)是什么給一線教師造成了困惑[11]也就不足為奇了．只有在概率論的概念體系中比較分析，才能領(lǐng)悟各種概率模型的功能與定位．條件概率既是一種工具，也是一種思想，與各種概率模型均有聯(lián)系，研究條件概率的內(nèi)涵與教學(xué)，不但可以為該內(nèi)容的教學(xué)實(shí)踐提供參考，從中還可以發(fā)現(xiàn)其它概率模型的局限與適用范圍、教學(xué)難點(diǎn)等信息．因此，條件概率教學(xué)研究的重要性應(yīng)當(dāng)引起重視．

具體而言，研究解決這樣一些問題：其一，條件概率的本質(zhì)是什么？條件概率與概率的關(guān)系如何？其二，指出高中條件概率概念講授中存在的問題及其原因，提出改進(jìn)方法或策略．其三、給出條件概率的教學(xué)建議，并以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ壓軸題為例，說(shuō)明條件概率在概率知識(shí)體系中的重要地位，指出高中數(shù)學(xué)應(yīng)加強(qiáng)條件概率教學(xué)，凸顯其重要性，展示概率理論的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識(shí)的興趣．

2 研究設(shè)計(jì)

最近十多年，來(lái)自一線教師基于經(jīng)驗(yàn)總結(jié)或教學(xué)反思的條件概率教學(xué)文獻(xiàn)逐漸增多，一些老師還介紹了自己的教學(xué)案例[12]．為此，研究者嘗試另外一種方式，梳理最近十多年高中教師撰寫的概率教學(xué)文獻(xiàn)，傾聽一線教師講述概率教學(xué)的故事，了解一線教師對(duì)概率基本概念的理解狀況、教學(xué)理念與教學(xué)設(shè)計(jì)、解惑方式方法等信息．在研讀大量一線教師文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，將存在的問題進(jìn)行分類與歸因，指出存在多年但未被教師意識(shí)到的錯(cuò)誤及其深層原因，給出針對(duì)性較強(qiáng)的改進(jìn)建議．

另外，尋找有關(guān)教學(xué)案例的文獻(xiàn)進(jìn)行案例研究，希望借助案例，搭建教師自我研究與反思的平臺(tái)，創(chuàng)建理論指導(dǎo)實(shí)踐的典型實(shí)例．案例分析關(guān)注如何改進(jìn)條件概率概念教學(xué)，指出已有教學(xué)實(shí)踐存在的問題，提供“改進(jìn)版”，供一線教學(xué)參考，也可以作為高中教師在職培訓(xùn)的材料．

研究方法：質(zhì)性研究方法[13]，具體包括文獻(xiàn)內(nèi)容分析法和案例分析法．研究材料：高中一線教師發(fā)表的概率教學(xué)文獻(xiàn)，其中，案例材料來(lái)自于文[12]和文[14]．

3 條件概率的本質(zhì)

高中階段與大學(xué)階段給出的條件概率的定義是一致的，概念的表述幾乎完全相同，但對(duì)于該概念的解讀與教學(xué)卻大不相同．原因在于：大學(xué)階段，關(guān)于概率的基本概念采用的是演繹推理的方式，即先介紹概率的公理化定義，后給出條件概率的定義，并證明條件概率也是概率，然后由演繹推理自動(dòng)得到“條件概率具有概率的性質(zhì)”這一結(jié)論，但高中階段沒有介紹概率的公理化定義，而是采用從特殊到一般的歸納推理方式“誘導(dǎo)”出條件概率定義，在介紹完定義后，“強(qiáng)行”指出“條件概率具有概率的一般性質(zhì)”這一結(jié)論[15]．教材內(nèi)容編排的這種差異給高中一線教師帶來(lái)了挑戰(zhàn)，對(duì)于培養(yǎng)數(shù)學(xué)教師的大學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)的概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)而言，是一次與高中內(nèi)容深度對(duì)話的教學(xué)契機(jī)，然而，多數(shù)大學(xué)教師并不了解高中教材的細(xì)節(jié)，對(duì)這一重要信息往往一帶而過(guò)，或者，雖然了解高中數(shù)學(xué)教材，但如果意識(shí)不到同一內(nèi)容在不同階段采用不同講授方法的原因，也會(huì)錯(cuò)失重要教學(xué)事件的教育價(jià)值，結(jié)果是大學(xué)與高中階段各說(shuō)各話，銜接不暢，學(xué)生不明其中差異，教師沒有捕捉到展示大學(xué)概率理論價(jià)值的教學(xué)時(shí)機(jī)，十分可惜．

高中階段介紹的“古典定義”“幾何定義”“統(tǒng)計(jì)定義”都不是嚴(yán)格意義上的定義．如所周知，數(shù)學(xué)概念的定義非常嚴(yán)謹(jǐn)，一般不會(huì)出現(xiàn)多個(gè)定義，如果出現(xiàn)不同定義，需要證明其等價(jià)性．這里所謂的“古典定義”主要是給出“古典概型”的概率計(jì)算公式，“幾何定義”主要是給出“幾何概型”的概率計(jì)算公式，“統(tǒng)計(jì)定義”則是給出概率值的近似計(jì)算策略．沒有公理化定義作為前提，高中階段無(wú)法進(jìn)行演繹推理，如何講授條件概率的定義，自然成為一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，化解該難點(diǎn)，需要合適的教學(xué)理論作為指導(dǎo)，也需要較為深厚的專業(yè)功底，需要對(duì)條件概率的本質(zhì)具有較為專業(yè)的理解．

3.1 概率的公理化定義及其價(jià)值

通俗地說(shuō)，正如小學(xué)生用尺子去測(cè)量線段的長(zhǎng)度，概率是一把用來(lái)度量隨機(jī)事件的關(guān)鍵屬性即“發(fā)生的可能性的大小”的“尺子”．需要特別指出的是，概率測(cè)度采用公理化定義，滿足該定義的集合函數(shù)是不唯一的，比如，條件概率也滿足該定義的3條公理．

概率的公理化定義具有重要意義．首先，從17世紀(jì)到20世紀(jì)，概率及其相關(guān)研究曾經(jīng)長(zhǎng)期游離在數(shù)學(xué)大家庭之外，有了概率的公理化定義，概率論獲得了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．其次，概率論的公理化，是20世紀(jì)數(shù)學(xué)抽象化的一項(xiàng)碩果，它使概率論這門古老的學(xué)科煥發(fā)出無(wú)限的青春，在理論和應(yīng)用兩方面都進(jìn)入了嶄新的發(fā)展階段[16]．第三，從概率測(cè)度與勒貝格測(cè)度的差異來(lái)看，勒貝格測(cè)度采用構(gòu)造式定義（從構(gòu)造勒貝格外測(cè)度開始），得到定義后再闡明該測(cè)度具有非負(fù)性、規(guī)范性與可列可加性．但樣本空間不同于“固定的”“靜態(tài)的”歐式空間，樣本空間是變化的、動(dòng)態(tài)的、抽象的，構(gòu)造式定義失去了賴以生長(zhǎng)的土壤．可見，公理化方法向概率論學(xué)科的滲透，是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史必然，或者說(shuō)，概率的公理化定義，是理性精神指引下的勝利果實(shí)，該成果不僅是歷史功績(jī)，也是現(xiàn)代概率論研究的邏輯起點(diǎn)，并具有方法論的啟迪意義．

3.2 條件概率的本質(zhì)

對(duì)于條件概率的本質(zhì)，可以從不同視角進(jìn)行解讀，比如應(yīng)用視角、文化視角，研究者從學(xué)科專業(yè)知識(shí)及其教學(xué)的視角，將其本質(zhì)特征提煉為以下3點(diǎn)．

4 案例分析

4.1 兩個(gè)案例

文[14]介紹了高中條件概率概念教學(xué)的現(xiàn)狀與思考，案例1摘選自文[14]．文[12]一位高中教師介紹了自己的條件概率教學(xué)案例與教學(xué)反思，案例2摘選了其中的關(guān)鍵教學(xué)片斷．

案例1：條件概率概念教學(xué)現(xiàn)狀與做法（高中一線教師視角）

第1部分：新增條件概率的背景分析（略）．

第2部分：條件概率的教學(xué)現(xiàn)狀．條件概率是整個(gè)概率論教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)條件概率總感覺困難，其原因表現(xiàn)在兩個(gè)層面，學(xué)的層面（略）．教的層面：（1）由于條件概率在高中數(shù)學(xué)的地位和高考要求不高，教師不愿意在教學(xué)上做過(guò)多投入，自身研究得少，教授概念“草草處理”，遇到問題“回頭加工”，教學(xué)“功利化”，重結(jié)論，輕過(guò)程，結(jié)果欲速則不達(dá)，反而給教學(xué)帶來(lái)負(fù)擔(dān)．（2）對(duì)條件概率的地位作用認(rèn)識(shí)不足，就概念講概念，沒有認(rèn)識(shí)到條件概率概念的重要性，對(duì)概念產(chǎn)生的根源以及概念的內(nèi)涵、外延不做深入分析，對(duì)概念的應(yīng)用價(jià)值挖掘不深，教學(xué)“理想化”“走捷徑”．正因如此，高中階段對(duì)條件概率的教學(xué)表現(xiàn)出3種傾向，一是把其作為過(guò)渡性概念處理，……，淺嘗輒止，一帶而過(guò)，二是放棄概念教學(xué)，直接進(jìn)入獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)教學(xué)，三是把符號(hào)當(dāng)作定義，不對(duì)概念形成進(jìn)行深入剖析．

上述諸多因素，造成學(xué)生不能理解和掌握條件概率的概念，不能體悟其中蘊(yùn)含的思想方法，更談不上通過(guò)條件概率的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)．

第3部分：條件概率教學(xué)的幾點(diǎn)做法．3.1生成概念從情境構(gòu)思開始……，普通高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材，條件概率的概念是通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由特殊到一般，得出3個(gè)概率之間的關(guān)系，……，整個(gè)過(guò)程凸顯“從古典概型入手，回歸條件概率本源”的思想．實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師覺得意猶未盡，還可以增添其它情境的案例，從不同的角度，強(qiáng)化條件概率的概念形成過(guò)程，使得概念的建立更合情合理，更有說(shuō)服力，因此（將歸納推理的流程在“幾何概型”情境下進(jìn)行一次），不僅使得概念得以強(qiáng)化，而且以后把條件概率運(yùn)用于“幾何概型”更顯得自然而然……3.2理解概念從事件分析入手……，條件概率最容易混淆的是兩個(gè)事件與|……3.3運(yùn)用概念在本質(zhì)解構(gòu)中把握……

案例2：條件概率教學(xué)案例片斷

依照教參“由歸納得出概念”的教學(xué)指引，（教師）先給出一個(gè)引例，然后嘗試引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”條件概率的定義．由于所舉的例子恰好滿足條件()=()，結(jié)果引出了兩個(gè)等式，始料未及的是，大部分學(xué)生贊同采用以下式子作為條件概率的定義：

面對(duì)這種“出乎意料”的情形，教師化解：“靈機(jī)應(yīng)變”讓學(xué)生尋找原因（()=()），找到原因后讓學(xué)生更換例子，避免出現(xiàn)()=()．教師認(rèn)為“矛盾恰到好處地化解了，表現(xiàn)出高超的教學(xué)水平”．

4.2 案例分析：概念講授存在的問題與改進(jìn)策略

人教版選修2-3通過(guò)一個(gè)“獎(jiǎng)券的抽取”問題[15]作為鋪墊，引導(dǎo)出以下式子

從而歸納出條件概率的定義．這是一種從特殊到一般的推理，給出了定義的緣由，但定義的合理性，“為什么要這樣定義”還需要必要的解讀．作為教師，備課時(shí)既要考慮到“有疑”，還要思考如何“釋疑”．

案例1的處理方法：教師覺得意猶未盡，還可以增添其它情境的案例，從不同的角度，強(qiáng)化條件概率的概念形成過(guò)程，使得概念的建立更合情合理，更有說(shuō)服力，因此（將歸納推理的流程在“幾何概型”情境下進(jìn)行一次），不僅使得概念得以強(qiáng)化，而且以后把條件概率運(yùn)用于“幾何概型”更顯得自然而然．

案例2的處理方法：引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”條件概率的定義，但始料未及，大部分學(xué)生贊同另外一個(gè)表達(dá)式(|)=()/()，于是讓學(xué)生尋找原因，更換例子，避免出現(xiàn)()=()．

從案例1可以看出，教師對(duì)條件概率概念教學(xué)的重要性的分析是比較全面而中肯的．“教的層面”雖然存在教師不重視的主觀原因，但從“高中階段對(duì)條件概率的教學(xué)表現(xiàn)出3種傾向”來(lái)看，一線教師似乎缺少一把“抓手”，或者一個(gè)“支點(diǎn)”，不清楚應(yīng)該“講什么”以及“如何講”，案例1作者的處理方法也驗(yàn)證了這一點(diǎn)．將歸納推理的流程在“幾何概型”情境下再進(jìn)行一次，這樣設(shè)計(jì)是否有利于“釋疑”，值得商榷．教材已經(jīng)給出了定義的緣由，給出了定義，按照文[10]的觀點(diǎn)，接下來(lái)應(yīng)該是“概念的辨析”，“用概念做判斷”，以及“概念的精致（建立概念間的聯(lián)系）”．引導(dǎo)學(xué)生再“發(fā)現(xiàn)”一次，未嘗不可，但是難以起到辨析的作用，而且對(duì)一般情形是否適用，疑問還是沒有消除．

對(duì)于一般情形，定義的合理性如何解釋？可以借助文氏圖（圖1）進(jìn)行直觀性的說(shuō)明．結(jié)合圖1與條件概率的定義，讓學(xué)生感悟條件概率是在W的子集上考慮概率運(yùn)算，即所謂的“縮減樣本空間法”．除了直觀展示，建議再結(jié)合反例來(lái)“逼近”真相．正好案例2出現(xiàn)了一個(gè)反例，遺憾的是，這個(gè)預(yù)期之外的反例沒有被好好使用．事實(shí)上，案例2“更換例子”的做法似乎只是想和書本上的定義保持一致，但即便出現(xiàn)()=()的情形，并不影響條件概率的定義．如所周知，反例列舉一個(gè)即可，但從正面證實(shí)求是的角度，花時(shí)間去尋找一個(gè)具體的例子，似乎是一種無(wú)奈之舉．

圖1 的情形

圖2 的情形

情形1：學(xué)生意識(shí)到(|)=()/()“有毒”，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生分析，要使得定義式左邊的(|)≤1，則右邊分式的分子應(yīng)該小于或等于分母，根據(jù)概率的單調(diào)性，以及常識(shí)：右邊式子必須出現(xiàn)變量，分子理應(yīng)是()，這樣的結(jié)局皆大歡喜．經(jīng)歷了有邏輯的推理，證偽與證實(shí)的融合，學(xué)生會(huì)建立起對(duì)定義的理解與認(rèn)同，深刻記住定義，為之后的應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．

情形2：學(xué)生質(zhì)疑為什么要保證(|)≤1，條件概率是概率嗎？這種情形出現(xiàn)的可能性比較小，但難能可貴．此種情形考驗(yàn)教師的知識(shí)儲(chǔ)備，前面關(guān)于“條件概率的本質(zhì)”的分析就可以派上用場(chǎng)，然后又回到情形1．

假如教師不了解條件概率定義的“秘密”，將錯(cuò)失一次課堂教學(xué)的“高潮”．事實(shí)上，條件概率的定義，不但保證了(|)≤1，而且保證了“條件概率是概率”．條件概率的本質(zhì)與定義的科學(xué)性往往被一線教師所忽視，概念教學(xué)“迷失”了方向，把定義當(dāng)作公式來(lái)演練的現(xiàn)象普遍存在．

證偽使課堂教學(xué)更加深刻，但文獻(xiàn)梳理發(fā)現(xiàn)，證偽教學(xué)案例極少，上述案例2出現(xiàn)反例但擦肩而過(guò)[18]．關(guān)于證偽教學(xué)，喻平指出，一直以來(lái)，教學(xué)遵循“證實(shí)—求是”的范式，只有“存真”而丟失“去偽”，單一的訓(xùn)練模式會(huì)造成學(xué)習(xí)者的思維定勢(shì)，削弱了教學(xué)應(yīng)有的價(jià)值；為什么不讓學(xué)生體驗(yàn)尋找真理的艱辛和進(jìn)入探索問題之門？課程與教學(xué)需要檢討和反思[19]．

4.3 案例分析：其它問題及其歸因

（1）把條件概率的定義當(dāng)作公式來(lái)講授．案例1中“條件概率公式的產(chǎn)生過(guò)程”很容易讓人誤解，更尷尬的是，大量的文獻(xiàn)把條件概率的定義解讀為公式．此類問題或許與條件概率獨(dú)特的定義方式有關(guān)，因?yàn)榻o出定義的同時(shí)，也給出了計(jì)算方法．但是，教師要盡量避免把“定義法”說(shuō)成“公式法”，雖然對(duì)條件概率的計(jì)算沒有影響，但是對(duì)條件概率的學(xué)習(xí)與理解會(huì)造成阻礙．“公式法”會(huì)遮蔽師生的眼光，以致師生不去認(rèn)真思考定義的緣由、基礎(chǔ)、合理性，荒廢有利于觸及概念本質(zhì)的教學(xué)活動(dòng)．比如，文[20]不但將“定義法”說(shuō)成“公式法”，還給出了所謂的“證明”，把定義教成了定理，偏離了概念教學(xué)的正確路徑．解決此類問題的關(guān)鍵因素是教師對(duì)專業(yè)概念的理解高度與數(shù)學(xué)教學(xué)觀．

（2）把符號(hào)當(dāng)作定義．文[14]指出，有的老師這樣講授條件概率的定義：設(shè)、是樣本空間W中的兩個(gè)事件，若()>0，則稱(|)為事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率．此類問題并非完全是教師對(duì)概念的不重視所致，數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)中有這樣的描述：概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，概念的命名是表示概念的一種語(yǔ)言形式，比如與概念相聯(lián)系的符號(hào)．概念的符號(hào)與概念緊緊相連，以至于人們常常把符號(hào)誤認(rèn)為概念本身[21]．條件概率的符號(hào)(|)直觀形象，容易導(dǎo)致“把符號(hào)當(dāng)作定義”的錯(cuò)誤．此類錯(cuò)誤的糾正相對(duì)比較容易，比如，可以將概念的表述調(diào)整如下．

設(shè)、是樣本空間W中的兩個(gè)事件，若()>0，則稱()/()為事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率，記作(|)．

5 教學(xué)建議

5.1 概念教學(xué)：從概念的本質(zhì)入手 借助正例反例與圖形直觀 講清楚概念的內(nèi)涵

定義不需要證明，但定義的基礎(chǔ)、緣由、合理性等要素需要進(jìn)行必要的解讀．課程改革已經(jīng)進(jìn)入“發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向”的新時(shí)代，建議采用“數(shù)學(xué)眼光”之“數(shù)學(xué)抽象”的視角去看待定義的基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)，獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則是數(shù)學(xué)抽象的主要表現(xiàn)[24]．條件概率定義用到了“事件的概率”“積事件”“除法”3個(gè)前導(dǎo)概念，正是通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象得到了條件概率新概念．因此，“數(shù)學(xué)眼光”有助于發(fā)現(xiàn)概念的抽象性，而不是停留在“看上去很簡(jiǎn)單”的感性認(rèn)識(shí)層面．按照數(shù)學(xué)抽象度理論，從“概率”到“條件概率”是一種弱抽象[25]．

人教版選修2-3采用從特殊到一般的推理形式引導(dǎo)出條件概率的定義，屬于歸納推理形式，給出了定義的緣由．教材在介紹完定義后，立即指出“條件概率具有概率的性質(zhì)”，很多教學(xué)論文引用了這句話，至于為什么，幾乎無(wú)人提及，事實(shí)上，性質(zhì)是需要證明的．因此，“數(shù)學(xué)思維”之“邏輯推理”素養(yǎng)融入教學(xué)有助于啟發(fā)思考，思考“為什么”可能觸發(fā)教師對(duì)概念本質(zhì)的領(lǐng)悟，而不僅僅是記住一些結(jié)論．比如，性質(zhì)要一一驗(yàn)證嗎？或者，只需驗(yàn)證其中幾個(gè)即可？這正是文[26]中問題4的設(shè)置意圖．由此可見，條件概率教學(xué)是檢驗(yàn)是否理解概率的公理化定義的試金石．一些文獻(xiàn)[5-6]用“貝特朗悖論”來(lái)調(diào)查概率的公理化定義的理解狀況是不合適的，出現(xiàn)了因果倒置的邏輯錯(cuò)誤．可以從概率的公理化定義的視角對(duì)“貝特朗悖論”做一些解讀，但作為一道問答題，不能因?yàn)楸辉嚊]有提及概率的公理化定義就判斷被試不了解概率的公理化定義，因?yàn)?，“貝特朗悖論”的本質(zhì)是問題的條件不充分，換言之，問題是一道開放題，把題目補(bǔ)充完整，答案就唯一，補(bǔ)充不同的條件（等可能性假設(shè)），就導(dǎo)致不同的解答[27]．

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ)[28]．文氏圖雖然是示意圖，但借助圖形直觀有助于條件概率定義的理解，有利于化解教學(xué)難點(diǎn)，也有利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．

關(guān)于概念教學(xué)，需要正例、反例結(jié)合使用，引導(dǎo)學(xué)生分析定義中的關(guān)鍵詞或符號(hào)，達(dá)到對(duì)概念內(nèi)涵的深度理解．正反例的結(jié)合，證實(shí)與證偽的融合，使課堂教學(xué)更加深刻．

但歸根結(jié)底，首先要理解概念的本質(zhì)，內(nèi)容決定方法，從概念的本質(zhì)入手，才能找到合適的講授方法．

5.2 解題教學(xué)：從數(shù)學(xué)建模的理念入手 培養(yǎng)解題規(guī)范意識(shí) 掌握兩種基本計(jì)算方法

關(guān)于條件概率的計(jì)算，出錯(cuò)原因主要為兩點(diǎn)，一是“事件符號(hào)化”意識(shí)淡薄，當(dāng)出現(xiàn)排列、組合等其它信息干擾時(shí)，由于事件含義不明確導(dǎo)致出錯(cuò)；二是對(duì)條件概率的內(nèi)涵理解不深，不擅長(zhǎng)借助圖形直觀輔助解題，以致采用“縮減樣本空間法”解題時(shí)常常出現(xiàn)錯(cuò)誤．

比如，文[29]介紹了這樣一個(gè)問題及其解法．問題：投擲骰子兩次，求在第一次擲得的點(diǎn)數(shù)為1或2的條件（事件）下，兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和為5（事件）的概率．解法一（縮減樣本空間法）：所求概率為=2/6=1/3．解法二（定義法）：()=2/6，()=2/36，因此，(|)=()/()= 1/6．由于兩種方法得出的答案不一致，該文認(rèn)為解法二錯(cuò)誤，事實(shí)恰好相反，是解法一錯(cuò)誤．事實(shí)上，借助文氏圖（圖3），可以清晰地看出錯(cuò)誤的原因．

圖3 投擲骰子兩次（只標(biāo)出兩個(gè)事件的交集的元素）

事件表示“第一次投擲骰子的點(diǎn)數(shù)為1或2”，因此含有12個(gè)元素．文[29]認(rèn)為拋擲一次骰子有6種結(jié)果，故含有6個(gè)元素，事實(shí)上，該文忘記了前提條件“投擲兩次”，換言之，樣本空間是“2維”的，縮減樣本空間即也必須是“2維”的．在“2維”樣本空間與“1維”樣本空間之間“隨意”切換，導(dǎo)致出錯(cuò)．事實(shí)上，該文的其它問題出現(xiàn)了同樣的錯(cuò)誤：在不同“維數(shù)”的樣本空間之間“自由”的切換而渾然不知．因此，初學(xué)者要寫好樣本空間，即使不寫，也要“心中有數(shù)”．

因此，關(guān)于解題教學(xué)，首先，要培養(yǎng)規(guī)范意識(shí)，按照數(shù)學(xué)建模的理念來(lái)研究解題，牢記問題數(shù)學(xué)化、事件符號(hào)化為第一步．其次，抓住兩種基本方法：“定義法”和“縮減樣本空間法”．需要注意兩點(diǎn)：（1）方法不要“貪多”，有的文獻(xiàn)總結(jié)了多種計(jì)算方法，淡化方法分類的依據(jù)與重要性，得不償失，反而加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，影響了教學(xué)效果．（2）過(guò)程不要“貪圖省事”，事件的含義交待不明確往往導(dǎo)致出錯(cuò)．

5.3 重視條件概率教學(xué) 展示概率理論的價(jià)值 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識(shí)的興趣

孤立看待概率模型，缺乏整體認(rèn)識(shí)是目前概率教學(xué)存在的誤區(qū)．比如，“古典概型”具有“有限”“等可能性”兩個(gè)特征，但具有這兩個(gè)特征的問題卻不一定適合“古典概型”方法來(lái)研究，因?yàn)楹芏鄦栴}中的“等可能性”只是一個(gè)非本質(zhì)特征，這正是“古典概型”的教學(xué)難點(diǎn)．選擇合適的概率模型有利于問題本質(zhì)特征的揭示，概率論中很多重要模型依賴于條件概率，比如“無(wú)記憶性”模型、“無(wú)后效性”模型．

問題1：拋擲一枚硬幣，若出現(xiàn)正面記1分，出現(xiàn)反面記2分，連續(xù)拋擲多次，問恰好得到3分的概率為多少？

分析：使用“獨(dú)立事件概率乘法公式”和“互斥事件概率加法公式”，得3分的概率為：

“拋擲硬幣”容易聯(lián)想到古典概型，文[30]正是基于“古典概型”探究該問題，得到一種“虛擬解法”．事實(shí)上，是一個(gè)并未完成的探究，該方法繁瑣且適用范圍窄．比如，文[9]中的問題1（1）與上述問題本質(zhì)完全相同，只是將拋擲“硬幣”改成拋擲“正四面體”．拋擲一次正四面體，會(huì)有4種不同結(jié)果，分別對(duì)應(yīng)得到“1分”“2分”“3分”“4分”．要得到4分，拋擲一次、兩次、3次、4次都有可能．拋擲一次，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是4個(gè)，拋擲兩次，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為16個(gè)，……，拋擲4次，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)高達(dá)256個(gè)，文[30]通過(guò)列表“數(shù)一數(shù)”的“虛擬解法”失去了可行性．

事實(shí)上，“等可能性”并非問題1的本質(zhì)特征，比如，若出現(xiàn)正面的概率是1/3，出現(xiàn)反面的概率是2/3，依舊可以計(jì)算概率為：

概率值13/27是由3部分組成，對(duì)應(yīng)圖4中的3條路徑，比如，第一步獲得“2分”，然后，第二步獲得“1分”，即0→2→3構(gòu)成其中的一條得分路徑．更準(zhǔn)確的表達(dá)是，起始得分為零分的條件下第一步獲得“2分”，然后，第一步獲得“2分”的條件下第二步獲得“1分”，并將對(duì)應(yīng)的概率值做乘法．直覺上很“顯然”的概率（圖4中的分?jǐn)?shù)），其實(shí)都是條件概率．

6 結(jié)論與展望

6.1 結(jié)論

條件概率概念教學(xué)存在較多問題，甚至出現(xiàn)了科學(xué)性錯(cuò)誤，問題出現(xiàn)的根本原因是一線教師對(duì)條件概率的本質(zhì)的理解存在欠缺，概念教學(xué)缺乏有效的方向指引．在教材已經(jīng)給出“定義的緣由”的情況下，沒有意識(shí)到要講授定義的“基礎(chǔ)”“合理性”“科學(xué)性”等概念形成要素，過(guò)快地進(jìn)入“把定義當(dāng)作公式來(lái)演練”的環(huán)節(jié)，忽視定義的科學(xué)性、概念的內(nèi)涵與價(jià)值等要素的有效揭示，從而也不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育．

條件概率概念教學(xué)應(yīng)從概念本質(zhì)入手，借助正例反例與圖形直觀，講清概念的內(nèi)涵；解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)建模的理念入手，培養(yǎng)解題規(guī)范意識(shí)，掌握兩種基本計(jì)算方法；高中數(shù)學(xué)要重視條件概率教學(xué)，凸顯其在概率知識(shí)體系中的重要地位，展示概率理論的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識(shí)的興趣．

6.2 展望

條件概率是概率論中一個(gè)基礎(chǔ)而重要的概念，在理解概念本質(zhì)的條件下才能更好地開展教學(xué)，否則，會(huì)出現(xiàn)各種問題．要理解條件概率的本質(zhì)，需要熟悉概率的公理化定義及其價(jià)值，需要重溫大學(xué)概率知識(shí)體系，了解概率理論的價(jià)值，開闊視野，獲得方法啟迪；大學(xué)階段概率教學(xué)要研究學(xué)生的已有基礎(chǔ)，做好與高中數(shù)學(xué)的有效銜接與深度對(duì)話，如何有效開展，需要進(jìn)一步研究．

高中概率教學(xué)的已有研究，結(jié)合一線具體內(nèi)容的案例研究較少，或者研究結(jié)論過(guò)于寬泛，成果的可應(yīng)用性受到制約．這里的研究提供了條件概率這一概率論重要概念的教學(xué)案例及其分析，給出了教學(xué)建議，希望給一線教師以及高中教師在職培訓(xùn)提供參考．概率統(tǒng)計(jì)核心知識(shí)的教學(xué)研究，還有很多問題，但專業(yè)性很強(qiáng)，難度較大，理論與一線實(shí)踐相結(jié)合也并非易事，任重道遠(yuǎn)，還需繼續(xù)努力．

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[2] 史寧中，王尚志．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]．北京：高等教育出版社，2018：191．

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Understanding the Meaning of the Conditional Probability and Its Teaching

LI Jie-min1, 2, LIAO Yun-zhang1

(1. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;2. School of Mathematics and Statistics, Lingnan Normal University, Guangdong Zhanjiang 524048, China)

Probability is a set function; its essence is in measuring the chance of random events. The probability has been defined using axioms, so does conditional probability. Therefore, conditional probability is also a probability measure. Conditional probability is a set function with parameter variables. Using the qualitative research method, the literature on probability teaching written by inservice high school teachers in the past 20 years has been reviewed, the existing problems were classified and attributed, and two representative articles were selected for case study. Based on this research, it was found that there are many problems in the teaching of conditional probability. The rooted problems is that inservice teachers lack their understanding of the concept of conditional probability. Thus, teaching suggestions are as follows: The teaching of the concept should start from the essence of the concept, explaining clearly the connotation of the concept with the help of positive and negative examples and graphic intuition. The teaching of problem solving should start with the concept of mathematical modeling, cultivating the consciousness of problem-solving standardization, and mastery of two basic methods. High school mathematics should attach importance to the teaching of conditional probability, demonstrate the value of probability theory, and stimulate students’ interest in learning probability knowledge.

high school probability teaching; probability measure; conditional probability; the axiomatic definition of probability; teaching suggestions

G632

A

1004–9894（2021）01–0054–07

李杰民，廖運(yùn)章．條件概率的本質(zhì)及其教學(xué)建議[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（1）：54-60．

2020–08–10

廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目——基于新師范建設(shè)的數(shù)學(xué)教學(xué)技能訓(xùn)練模式和路徑研究（粵教高函〔2018〕180號(hào)–458）；嶺南師范學(xué)院教育教學(xué)研究和改革項(xiàng)目——應(yīng)用型高校概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)研究與改革實(shí)踐（LSJGMS1832）

李杰民（1973—），男，湖南平江人，講師，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．廖運(yùn)章為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]