鄧海英，嚴(yán) 卿，魏亞楠

數(shù)學(xué)情境問題解決錯(cuò)誤分析與評(píng)價(jià)

鄧海英1，嚴(yán) 卿2，魏亞楠3

（1．湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410205；2．湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062；3．南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210046）

在問題解決中，出現(xiàn)錯(cuò)誤是不可避免的，錯(cuò)誤的合理性正逐漸得到教育工作者的認(rèn)可，將其看作一種有效的教學(xué)資源．情境問題解決與核心素養(yǎng)密切相關(guān)，因此，從核心素養(yǎng)的視角出發(fā)，構(gòu)建數(shù)學(xué)情境問題解決錯(cuò)誤分析框架，分析結(jié)果如下：（1）在6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理錯(cuò)誤出現(xiàn)得最多；（2）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)三級(jí)水平中，被試普遍難以達(dá)到二級(jí)水平．研究亦得，不理解情境是影響錯(cuò)誤的核心因素．教師在教學(xué)中應(yīng)深化學(xué)生對(duì)情境的理解和培養(yǎng)情境中的知識(shí)遷移能力，以促成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

數(shù)學(xué)情境問題解決；錯(cuò)誤分析與評(píng)價(jià)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；情境

1 問題提出

中國(guó)最新頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》給出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六大成分的具體內(nèi)涵，并相應(yīng)劃分了三級(jí)水平，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的水平提供了理論依據(jù)和判斷標(biāo)準(zhǔn)．大型國(guó)際教育測(cè)量項(xiàng)目PISA秉持弗賴登塔爾的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育觀（RME），在開發(fā)測(cè)試體系的時(shí)候便提出了“素養(yǎng)”的概念（“不管是哪個(gè)國(guó)家或地區(qū)，不管學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么，學(xué)習(xí)的目標(biāo)應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，使學(xué)生能夠在實(shí)際生活中應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)而解決問題”），試題也都基于現(xiàn)實(shí)情境，通過學(xué)生在不同現(xiàn)實(shí)情境下解決實(shí)際問題的表現(xiàn)來評(píng)價(jià)他們的素養(yǎng)[1-2]．PISA測(cè)試中有關(guān)情境的研究，比較早期的有Chipman等人發(fā)現(xiàn)對(duì)情境的熟悉度對(duì)應(yīng)用題的表現(xiàn)有很小的正面影響[3]；也有個(gè)別研究宣稱并不能確定“情境熟悉度”和“正確率”之間的關(guān)系是什么[4]；還有從男女性別對(duì)情境的不同熟悉度和興趣對(duì)PISA的影響進(jìn)行的研究，但是這方面的研究還不完善[5]．這些研究主要針對(duì)15歲學(xué)生（在世界各國(guó)大部分已經(jīng)完成義務(wù)教育階段），小學(xué)階段情形如何還不能確定．

當(dāng)前核心素養(yǎng)是中國(guó)新一輪深化課程改革的主要方向，然而不少一線小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)核心素養(yǎng)怎么進(jìn)課堂感到迷茫，不知如何落實(shí)．這里不妨借鑒PISA測(cè)試的有益經(jīng)驗(yàn)，將在現(xiàn)實(shí)情境中解決問題的能力作為核心素養(yǎng)重要的參考指標(biāo)，已有國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注到了現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系，認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要借助特定的情境潛移默化方能習(xí)得[6]，“讓知識(shí)學(xué)習(xí)與多樣化的情境相聯(lián)系，讓學(xué)生置身真實(shí)問題情境、親歷復(fù)雜的問題解決過程，可以促進(jìn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展”[7]．因此，基于PISA和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的共同理念，改編PISA試題，選擇小學(xué)四年級(jí)學(xué)生（三~四年級(jí)是抽象[8]、歸納和演繹能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期[8]．這3種能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵成分）為研究對(duì)象，測(cè)試在情境中解決數(shù)學(xué)問題的能力，分析在情境中的錯(cuò)誤以及錯(cuò)誤原因．分析學(xué)生的錯(cuò)誤是最重要的、也是最困難的[9]，但依然試著努力去做，希望減少數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的發(fā)生，為培養(yǎng)核心素養(yǎng)提供有用的教學(xué)資源和參考．

2 測(cè)試卷的水平劃分和指標(biāo)分析

2.1 測(cè)試卷的水平劃分

喻平教授認(rèn)為要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就要發(fā)展學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力[10]，學(xué)科關(guān)鍵能力生成的本源是知識(shí)，生成機(jī)制是知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新3種知識(shí)學(xué)習(xí)形態(tài)，對(duì)應(yīng)生成的結(jié)果是學(xué)科關(guān)鍵能力的一、二、三級(jí)水平[11]．由此，從知識(shí)與能力的角度提出評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的框架，即3種知識(shí)學(xué)習(xí)形態(tài)對(duì)應(yīng)著學(xué)科關(guān)鍵能力的三級(jí)水平[12]．情境問題解決也是一種數(shù)學(xué)能力，知識(shí)也是其生成的本源，需要理解、運(yùn)用知識(shí)，甚至帶有創(chuàng)造性．所以，測(cè)試卷借鑒該框架，將數(shù)學(xué)情境問題解決水平分成知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新3個(gè)等級(jí)．

測(cè)試卷由數(shù)學(xué)教育專業(yè)教授、研究生和小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師根據(jù)PISA測(cè)試題共同改編完成，參照PISA2012的情境分類，將情境分為個(gè)人情境、公共情境、科學(xué)情境、教育與職業(yè)情境．個(gè)人情境聚焦個(gè)人日常生活的各個(gè)方面；公共情境聚焦公民、地方、國(guó)家或全球；科學(xué)情境要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決和科學(xué)技術(shù)相關(guān)的問題[5]；教育與職業(yè)的情境指與學(xué)生的學(xué)校生活或工作環(huán)境相關(guān)的情境[13]．測(cè)試共9道大題13個(gè)小題，分別簡(jiǎn)稱為登富士山、跑道賽跑、最大心跳率、建筑距離、顏色合成、公園排隊(duì)、雇傭關(guān)系、花圃面積、開車上班．試卷各題項(xiàng)的測(cè)試內(nèi)容、三級(jí)水平劃分以及情境類型見表1．要特別提出的是，由于情境的復(fù)雜性，這些對(duì)應(yīng)不是絕對(duì)的，只是給出各題項(xiàng)最相關(guān)的情境類型．

2.2 測(cè)試卷的指標(biāo)分析

PISA試題難度要求必須是中等的，所以PISA測(cè)試中不會(huì)包含難度非常大或者難度非常小的題目．測(cè)試題全部由PISA試題改編而來，有必要對(duì)試卷難度進(jìn)行分析，用SPSS 17.0進(jìn)行分析如表2．

表1 數(shù)學(xué)情境問題解決試卷各題項(xiàng)水平劃分與情境類型

表2 測(cè)試卷題項(xiàng)得分與總分的相關(guān)系數(shù)及試卷難度

表2結(jié)果顯示，總測(cè)試難度系數(shù)為0.474，接近中等難度臨界值0.4，與PISA難度接近，但存在個(gè)別難度較大和較小的題，如題9和題2，但還是在可接受范圍之內(nèi)．（另注：測(cè)試卷的3個(gè)水平是關(guān)鍵能力的水平劃分，并非難度水平劃分．雖然二者確實(shí)從理論上存在一致性，但并非絕對(duì)的．如題4屬于知識(shí)理解水平，但是理解層次加深，使得難度大于知識(shí)遷移水平的題5、6(1)、7(1)(2)；又如題7(3)屬于知識(shí)遷移水平，情境遷移與(1)(2)小題類似，但是運(yùn)算方法要復(fù)雜一些，使得難度大于知識(shí)創(chuàng)新水平的題8．）表2結(jié)果還顯示所有題項(xiàng)與總測(cè)驗(yàn)得分都在0.001的顯著水平上相關(guān)，每個(gè)題項(xiàng)與總分的相關(guān)系數(shù)在0.239~0.729之間，說明題項(xiàng)與測(cè)試卷的測(cè)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)一致，因此保留所有題項(xiàng)．

結(jié)果顯示三級(jí)水平之間的內(nèi)部一致性系數(shù)在0.555~ 0.725之間，總測(cè)試的內(nèi)部一致性系數(shù)為0.799，說明該測(cè)試卷的總體信度較好．三級(jí)水平之間的相關(guān)系數(shù)小于每個(gè)水平與總測(cè)試的相關(guān)系數(shù)，表明該測(cè)試卷具有較好的結(jié)構(gòu)效度．同時(shí)，一級(jí)水平和三級(jí)水平之間的相關(guān)系數(shù)小于一級(jí)水平與二級(jí)水平，同時(shí)也小于二級(jí)水平與三級(jí)水平，說明3個(gè)水平的等級(jí)劃分是合理的．

由以上分析得到，此次測(cè)試卷難度、信度、結(jié)構(gòu)效度等各項(xiàng)指標(biāo)都較好，為下文分析、評(píng)價(jià)錯(cuò)誤提供了合理的前提．

3 數(shù)學(xué)情境問題解決錯(cuò)誤分析框架

對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)各成分三級(jí)水平的描述[14]進(jìn)行歸納，作為數(shù)學(xué)情境問題解決錯(cuò)誤的分析框架見表4．通過這種框架的建立，旨在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)情境問題解決典型錯(cuò)誤的水平分布．

表3 測(cè)試卷題項(xiàng)克倫巴赫a系數(shù)和結(jié)構(gòu)效度

表4 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三級(jí)水平劃分與內(nèi)涵

表4（續(xù)） 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三級(jí)水平劃分與內(nèi)涵

4 數(shù)學(xué)情境問題解決典型錯(cuò)誤分析

4.1 題項(xiàng)錯(cuò)誤率統(tǒng)計(jì)

表5 數(shù)學(xué)情境問題解決測(cè)試失分統(tǒng)計(jì)

表5數(shù)據(jù)說明出錯(cuò)的人次很多，題目錯(cuò)誤率也很高，每道題都有人做錯(cuò)，4種情境出錯(cuò)的程度不一．以下給出如圖1所示4種情境出錯(cuò)人數(shù)率的散點(diǎn)圖（橫軸1~13為13個(gè)小題題號(hào)，縱軸0~100為省去百分號(hào)的出錯(cuò)人數(shù)率）．

圖1 4種情境出錯(cuò)人數(shù)率

從圖1可看出，此次測(cè)試人數(shù)出錯(cuò)率內(nèi)部相對(duì)最穩(wěn)定的是科學(xué)情境，其次是個(gè)人情境，波動(dòng)最大的是公共情境，其次是教育與職業(yè)情境，13個(gè)小題的出錯(cuò)人數(shù)率均值67.62%，方差0.085，總體上看，出錯(cuò)人數(shù)率隨題號(hào)往后有一定的上升趨勢(shì)．

4.2 題項(xiàng)錯(cuò)誤分析

題1：登富士山．

此題除去沒有作答，錯(cuò)誤結(jié)果還有280?000、270?000、210?000、27?000、1萬、8?971、9?000、4?500、4?000、3?400、3?000、2?700、2?100、1?000、999、900、700、540、500、430、360、388、344、321、320、310、270、261、200、114、100、94、56、51.83、38、35、31、30、6、4.93、3等．除了可能因?yàn)榇中漠a(chǎn)生的計(jì)算錯(cuò)誤或者題意弄錯(cuò)之外，反映了典型錯(cuò)誤：被試對(duì)登富士山的情境不熟悉，因而不能將情境中的總天數(shù)、總?cè)藬?shù)正確轉(zhuǎn)化為求平均數(shù)的條件．甚至還出現(xiàn)了人數(shù)為小數(shù)的情況．這類典型錯(cuò)誤指向數(shù)學(xué)抽象一級(jí)水平不足，同時(shí)還缺乏基本的邏輯推理能力．

題2：跑道賽跑．

該題除了沒有作答和填了時(shí)間“9.87”之外，還出現(xiàn)了一些非?！捌嫣亍钡拇鸢福撼霈F(xiàn)了15次“1”，3次“2”，4次“4”和1次“5”（這些被試在不同學(xué)?；蛲２煌?，答案純屬巧合）．典型錯(cuò)誤：被試可能不熟悉跑道賽跑的情境，不知道時(shí)間與排名的關(guān)系，而是錯(cuò)誤地運(yùn)用了個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，比如認(rèn)為位于跑道1或5的選手占據(jù)了跑道優(yōu)勢(shì)，所以跑起來更快．這類典型錯(cuò)誤指向邏輯推理一級(jí)水平不足，而填了“2”或“4”的被試有可能是因?yàn)?與2和4相鄰，所以粗心誤填，觀察能力不夠強(qiáng)．

題3：最大心跳率．

題4：建筑距離．

該題錯(cuò)誤答案分成4類：給出了最大值和最小值、給出最大值或最小值、無作答和作答全錯(cuò)．典型錯(cuò)誤：被試對(duì)三點(diǎn)距離知識(shí)和3個(gè)建筑的“位置情境”都缺乏全面的理解，將“兩點(diǎn)共線”錯(cuò)誤遷移至“三點(diǎn)共線”，錯(cuò)誤的知識(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤的遷移，沒有建立起直觀的三角模型與建筑實(shí)際位置進(jìn)行對(duì)應(yīng)．這類典型錯(cuò)誤指向直觀想象的二級(jí)水平和數(shù)學(xué)建模的二級(jí)水平不足．對(duì)于只給出一個(gè)值的被試，其直觀想象不足二級(jí)水平，數(shù)學(xué)建模不足一級(jí)水平．沒有作答或邏輯不清的樣本則尚未達(dá)到直觀想象和數(shù)學(xué)建模的一級(jí)水平．

題5：顏色合成．

該題是科學(xué)情境．從錯(cuò)誤的答題過程來看，存在典型錯(cuò)誤：盡管學(xué)生可能認(rèn)識(shí)數(shù)組，但是不少被試?yán)斫獠涣祟}中數(shù)組的構(gòu)成（比如數(shù)字大小和排列順序）與顏色的關(guān)系，不能給出完整答案，或是只能給出數(shù)組中的個(gè)別數(shù)字，并且順序還不一定對(duì)，不能完成知識(shí)的情境遷移．這類典型錯(cuò)誤指向數(shù)學(xué)抽象二級(jí)水平、數(shù)學(xué)建模二級(jí)水平、數(shù)據(jù)分析二級(jí)水平和邏輯推理的三級(jí)水平等多種水平的不足．

題6：公園排隊(duì)．

該題主要錯(cuò)在沒有作答或者部分知識(shí)點(diǎn)正確．典型錯(cuò)誤：將知識(shí)遷移到現(xiàn)實(shí)情境中時(shí)沒有弄清題目條件和問題之間以及多個(gè)條件之間的關(guān)系，邏輯不清、缺乏條理，不能實(shí)現(xiàn)點(diǎn)分線段到游客排隊(duì)情境的遷移，導(dǎo)致不能正確列式，個(gè)別被試列式正確但計(jì)算錯(cuò)誤．這類典型錯(cuò)誤指向數(shù)學(xué)抽象二、三級(jí)水平，邏輯推理三級(jí)水平，直觀想象二級(jí)水平，數(shù)學(xué)運(yùn)算二級(jí)水平等多種水平的不足．

題6(2)存在的典型錯(cuò)誤，除與題6(1)相似的幾種外，還出現(xiàn)了被試沒有列式101-1=100的錯(cuò)誤，也是沒有在排隊(duì)的情境中聯(lián)想到“植樹原理”．這類典型錯(cuò)誤指向數(shù)學(xué)建模二級(jí)水平的不足．

題7：雇傭關(guān)系．

題7(1)出錯(cuò)的被試除了沒有作答，錯(cuò)誤的理由各異：比如因?yàn)樾【展ぷ鲿r(shí)間長(zhǎng)，干活久，所以選小菊；因?yàn)?+5=11<8+4=12，所以選小蘭；雖然小菊種花慢，但是種得好，所以選小菊；還有更多的被試沒有理由，就寫個(gè)小菊，等等．典型錯(cuò)誤：被試對(duì)工作效率不理解，不能將效率的意義遷移到雇傭關(guān)系情境中，甚至還產(chǎn)生了誤區(qū)：工作時(shí)間越長(zhǎng)，所以做得越多，沒有理解這里是單位時(shí)間．題7(2)本質(zhì)上也是計(jì)算工作效率．這兩個(gè)題項(xiàng)反映的典型錯(cuò)誤類似，都是在表格表示的方法下，對(duì)工作效率與工作時(shí)間、工作總量、單位工作量之間的關(guān)系不清楚．這類典型錯(cuò)誤指向邏輯推理一、二級(jí)水平和數(shù)據(jù)分析一、二級(jí)水平的不足．

題7(3)相比起題7(1)、7(2)，比較工作效率的情境要復(fù)雜一些．這道題除了因工作效率概念不清、算法出錯(cuò)和其它各種具有偶發(fā)性的錯(cuò)誤之外，有一類錯(cuò)誤非常典型，見圖2．

圖2 典型錯(cuò)誤

圖2中右邊解答思路是對(duì)的（但220計(jì)算錯(cuò)誤和作答結(jié)論出錯(cuò)）．這次測(cè)試中有11.3%的被試得出了96和80的結(jié)果，具體過程舉例如圖3所示．

圖3 解答舉例

這種錯(cuò)誤的解答在于少乘了兩次10，原因是被試對(duì)較復(fù)雜情境下的多步乘法理解不透徹．題7(3)的典型錯(cuò)誤還應(yīng)包括邏輯推理三級(jí)水平和數(shù)據(jù)分析三級(jí)水平的不足．

題8：花圃面積．

該題屬于個(gè)人情境，題目已給出代表花圃的平面圖形矩形，幫學(xué)生完成了抽象的第一步，只有13個(gè)被試給出了3種及以上的分法，有一定的創(chuàng)新能力，少部分被試能給出一到兩種分法，有欠創(chuàng)新．一半的被試沒有作答或者只是在矩形上思路不清地點(diǎn)畫了幾筆，這些學(xué)生不明白矩形的用途，沒有將三等分花圃的面積轉(zhuǎn)化為三等分矩形的面積，情境遷移失敗，更無從談分法創(chuàng)新．典型錯(cuò)誤：被試將實(shí)物轉(zhuǎn)化成平面圖形的知識(shí)遷移水平非常不足和探索幾何問題的創(chuàng)新能力也相當(dāng)缺乏．這類典型錯(cuò)誤反映數(shù)學(xué)抽象的二級(jí)水平、直觀想象的二級(jí)水平有很大欠缺．

題9：開車上班．

此題中開車時(shí)間會(huì)因等待紅綠燈的不同而變化，是一個(gè)變化的量，但是學(xué)生對(duì)此不敏感，視紅綠燈等待時(shí)間為無用的數(shù)據(jù)．只有17個(gè)被試完成要求，其他很多被試沒有作答，還有不少被試沒有設(shè)計(jì)情境，只是按照常規(guī)思路求出了蔡老師的家到辦公大樓的距離或中間某一段距離等，與題意不符，還有少部分被試“陷”在多步運(yùn)算中“跳”不出來，思路和計(jì)算都不對(duì)．典型錯(cuò)誤：學(xué)生對(duì)真實(shí)的復(fù)雜生活情境缺乏經(jīng)驗(yàn)，限制在書本的理想情境里，形成思維定式、缺乏創(chuàng)新．此題的典型錯(cuò)誤指向數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的三級(jí)水平不足．

4.3 典型錯(cuò)誤水平分布

對(duì)上述錯(cuò)誤水平進(jìn)行頻數(shù)統(tǒng)計(jì)，得到錯(cuò)誤水平分布表如表6所示．

表6 數(shù)學(xué)情境問題解決錯(cuò)誤水平分布

從表6可以看出，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理是典型錯(cuò)誤出現(xiàn)得最多的兩個(gè)數(shù)學(xué)核心成分，數(shù)據(jù)分析次之．另外，除了邏輯推理之外，其它5個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分各自三級(jí)水平出錯(cuò)最多的都是二級(jí)水平．

5 結(jié)論

國(guó)際上對(duì)影響學(xué)生PISA成績(jī)的因素做了一些宏觀的分析：社會(huì)階層[15]、教育公平和學(xué)校環(huán)境等[16]，這些因素也可能是學(xué)生在PISA測(cè)試中出錯(cuò)的間接原因；學(xué)生的粗心、觀察能力不強(qiáng)、策略[17]不足等，也是錯(cuò)誤產(chǎn)生的重要原因，在此次測(cè)試中普遍存在．此外，學(xué)生的自我效能感、焦慮等[18]也是學(xué)生出錯(cuò)的心理等原因．下文根據(jù)題項(xiàng)錯(cuò)誤分析，從情境的角度總結(jié)錯(cuò)誤原因．

（1）情境類型之間沒有難易之分．

通過上文4種情境錯(cuò)誤人數(shù)率散點(diǎn)圖可以看到，每個(gè)情境類型中都有不同層次的人數(shù)出錯(cuò)率，4種情境類型之間沒有難易的區(qū)別，不能肯定學(xué)生會(huì)在哪個(gè)情境中更容易產(chǎn)生錯(cuò)誤．

（2）不熟悉情境加重認(rèn)知負(fù)荷．

（3）不理解情境影響遷移和創(chuàng)新．

熟悉情境并不一定就理解情境，不熟悉的情境在知識(shí)的充分理解下也能理解情境．因此，理解情境是解決問題的關(guān)鍵，對(duì)情境的理解是遷移和創(chuàng)新最基本的前提．如學(xué)生理解不了題5的科學(xué)情境，同時(shí)也失去了數(shù)組知識(shí)遷移的方向和目標(biāo)．又如題9要求學(xué)生根據(jù)條件“創(chuàng)設(shè)情境”，這本身就置學(xué)生于一種“動(dòng)態(tài)”的問題解決情境之中，但是學(xué)生對(duì)由題目條件而生可又不是“現(xiàn)成”的“情境”不理解，因此不能創(chuàng)新．

（4）對(duì)情境不感興趣影響正確率．

測(cè)試之余，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，其中有如下問題“你覺得剛才做的測(cè)試卷題目很有意思嗎”“你對(duì)有故事情節(jié)的數(shù)學(xué)題目很感興趣嗎”涉及到學(xué)生對(duì)題目的興趣，其實(shí)質(zhì)也是學(xué)生對(duì)試題情境設(shè)計(jì)的興趣．問卷結(jié)果顯示，學(xué)生對(duì)試題情境的興趣與測(cè)試成績(jī)呈現(xiàn)弱相關(guān)性．學(xué)生對(duì)情境的興趣會(huì)影響他們解題動(dòng)機(jī)和毅力等，正面的作用會(huì)激勵(lì)學(xué)生，負(fù)面的作用則會(huì)讓學(xué)生變得消極，比如放棄作答或者敷衍了事，從而增加錯(cuò)誤．

Chipman等人指出學(xué)生對(duì)情境不感興趣的情況最容易發(fā)生在學(xué)生不熟悉情境的時(shí)候[3]．用圖4表示情境類型、熟悉、理解、興趣四因素之間的關(guān)聯(lián)：對(duì)情境的理解占據(jù)中心地位，同時(shí)受情境類型、熟悉度的制約；類型和熟悉度影響興趣，但是對(duì)情境很好的理解又可以改善對(duì)情境不熟悉和不感興趣的狀況．因此，不理解情境是學(xué)生出錯(cuò)的首要原因．

6 啟示與建議

（1）創(chuàng)設(shè)多樣化的情境，深化理解．

圖4 四因素關(guān)聯(lián)圖

教師在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)多樣化的、合理的情境，并要深化理解，而不只是為了“裝飾”停留在表面．如何深刻理解情境？能夠判別情境傾向哪個(gè)類型、是純數(shù)學(xué)的還是現(xiàn)實(shí)的，這是最基本的要求，更重要的是要理解這個(gè)情境用到什么知識(shí)、解決什么問題，主要方法是什么？歸根結(jié)底，首先還是要加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解，除了“4個(gè)基本理解”（知識(shí)的基本性質(zhì)、基本事實(shí)和結(jié)論、基本概念和規(guī)則以及基本方法），還包括了解知識(shí)的源頭、形成概念和命題體系、理解規(guī)則和法則的結(jié)構(gòu)以及使用條件等3個(gè)較高的要求．只有深層次的理解，抽象出知識(shí)的本質(zhì)屬性，才能實(shí)現(xiàn)在情境中的靈活運(yùn)用．典型例子如題4，所有被試都沒有深刻理解在不同條件下的求距離的方法，存在“知識(shí)盲點(diǎn)”而造成了普遍的錯(cuò)誤．

（2）提高情境中的知識(shí)遷移能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

表6顯示，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)各成分的二級(jí)水平出錯(cuò)最多，學(xué)生也就達(dá)不到相應(yīng)的三級(jí)水平．表4也顯示，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)各成分的二級(jí)水平較普遍地涉及到了知識(shí)遷移．這為培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供了一條思路：提高情境中的知識(shí)遷移能力即能促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．表4中二級(jí)水平的內(nèi)涵從知識(shí)的角度概括了在情境中遷移的目標(biāo)，在教學(xué)中可結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行實(shí)踐，促成目標(biāo)的達(dá)成．如題7，在教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生理解“工作效率”的實(shí)質(zhì)，掌握總工作量、總工作時(shí)間和單位工作量這3個(gè)要素之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系和等價(jià)作用，再實(shí)現(xiàn)在不同情境中的遷移．

（3）重視數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)，與時(shí)俱進(jìn)．

當(dāng)今社會(huì)，數(shù)據(jù)已經(jīng)滲透到各個(gè)行業(yè)．從情境的角度看，數(shù)據(jù)的主要來源是客觀現(xiàn)實(shí)世界，任何數(shù)據(jù)不僅僅是包含數(shù)量、文字、符號(hào)、圖形等抽象信息，必然還包含了與現(xiàn)實(shí)情境有關(guān)的背景信息，這些背景信息中的人或事物就構(gòu)成了數(shù)據(jù)的情境[20]．如題9，“每個(gè)紅綠燈的等待時(shí)間2分鐘”是一個(gè)非常關(guān)鍵的條件，既是數(shù)學(xué)的信息，也是情境的信息，是一個(gè)典型的“情境數(shù)據(jù)”，但是學(xué)生幾乎都忽視了．教師對(duì)這樣的問題應(yīng)該多分析情境中的數(shù)學(xué)信息，善于抓住“情境數(shù)據(jù)”，幫助學(xué)生改變對(duì)“數(shù)據(jù)”的狹隘理解．此外，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，必然要發(fā)展學(xué)生的閱讀能力，不但是要能看“文字”，還要能讀懂題中的數(shù)量、符號(hào)、圖象等一切能夠承載事物信息的載體．當(dāng)然，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力不能急于求成，教師應(yīng)按部就班，提供現(xiàn)實(shí)情境中的典型案例，讓學(xué)生隨著學(xué)齡的增長(zhǎng)，經(jīng)歷建立數(shù)據(jù)分析意識(shí)—掌握數(shù)據(jù)分析方法—積累數(shù)據(jù)分析經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)過程，逐步形成數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．

（4）加強(qiáng)培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力依然是根本．

抽象能力和邏輯推理能力是思維品質(zhì)深刻性的重要指標(biāo)．通常在教學(xué)中，教師可展示數(shù)學(xué)抽象的情境背景以降低抽象層次，反過來又影響學(xué)生在情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)剝離情境中的非本質(zhì)屬性，逐步實(shí)現(xiàn)“去情境化”，最終脫離較低層次的情境支持而發(fā)展成獨(dú)立的數(shù)學(xué)知識(shí)．邏輯推理的依據(jù)是“事實(shí)”和“命題”，是建立在情境基礎(chǔ)上的思維過程[20]，現(xiàn)實(shí)情境或純數(shù)學(xué)情境是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的有力支撐，可以啟示學(xué)生不必犯一些“低級(jí)”錯(cuò)誤，如題1中的登山人數(shù)絕對(duì)不可能是小數(shù)．很多時(shí)候，學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的形成，在本質(zhì)上不是靠教師“教”出來的，而是靠學(xué)生自己“悟”出來的[21]，合適的情境就是一個(gè)“悟”的好環(huán)境．

數(shù)學(xué)情境問題解決需要學(xué)生多種核心素養(yǎng)在情境中共同作用，是一種較高水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．測(cè)試結(jié)果顯示四年級(jí)學(xué)生在六大核心素養(yǎng)上水平欠缺，對(duì)教師而言，明確數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、各成分三級(jí)水平的劃分，了解國(guó)際先進(jìn)教育思想，形成科學(xué)的知識(shí)觀、數(shù)學(xué)觀，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必備素質(zhì)；在數(shù)學(xué)教學(xué)中合理對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤，化“錯(cuò)誤”為資源，以“錯(cuò)誤”促教學(xué)，是正確的教學(xué)態(tài)度；了解情境與核心素養(yǎng)的密切關(guān)系，發(fā)揮情境在培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的作用則是有效的教學(xué)策略．

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Identification and Analysis of Mathematical Errors in Solving Contextualized Problems

DENG Hai-ying1, YAN Qing2, WEI Ya-nan3

(1. School of Mathematics and Computational Science, Hunan First Normal University, Hunan Changsha 410205, China;2. Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Hubei Wuhan 430062, China;3. School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210046, China)

In problem solving, making errors are inevitable. The appropriate use of mathematical errors has gradually been recognized by educators as an effective teaching resource. Contextualized problem solving is closely related to key competency in mathematics. This paper developed a framework for error analysis of in solving contextualized mathematical problems. It is found that: (1) Among the six components of key competency of mathematics, mathematical abstraction and logical reasoning errors occur most frequently; and (2) in the three levels of key competency of mathematics, it is generally difficult to reach the second level. Research has also shown that the key factor in error making is not understanding the context. Teachers should deepen students’ understanding of the context and cultivate their ability to transfer knowledge in the context to promote the cultivation of mathematical key competency.

mathematical contextual problem solving; error analysis and evaluation; key competency of mathematics; context

附錄：測(cè)試題

1. 每年的7月1日—7月30日富士山對(duì)公眾開放，在這段時(shí)間里，大約有9?000名游客去富士山爬山，平均每天大約有名游客．

2. 學(xué)校剛剛舉行了秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，短跑競(jìng)賽的競(jìng)爭(zhēng)非常激烈．下表列出了進(jìn)入決賽的5名同學(xué)的短跑成績(jī)，則跑道的同學(xué)是冠軍．

跑道最后時(shí)間（秒） 110.09 2 9.99 3 9.87 410.04 510.08

4. 體育中心距離學(xué)校17千米，一大型超市距離學(xué)校8千米，請(qǐng)問體育中心和超市有多遠(yuǎn)？

5. 紅色、綠色和藍(lán)色被稱為光的三原色．在電子設(shè)備中我們通過調(diào)節(jié)這3種顏色的亮度表示其他顏色．用3個(gè)255以內(nèi)的整數(shù)分別表示紅色、綠色和藍(lán)色的亮度，數(shù)字越大代表亮度越高．例如：(255, 0, 0)是指紅色，(0, 255, 0)代表綠色．(0, 255, 255)表示紅光亮度0、藍(lán)光亮度255、綠光亮度255，合起來就是標(biāo)準(zhǔn)青色；(200, 0, 150)表示紅光亮度200、綠光亮度0、藍(lán)光亮度150，合成的顏色是偏紅的紫色．(255, 255, 255)表示紅光亮度255、綠光亮度255，藍(lán)光亮度255合起來是白色．紅色和綠色可以合成黃色．標(biāo)準(zhǔn)黃色可由亮度最高的紅光和最高的綠光合成，請(qǐng)問：

（1）如何表示“標(biāo)準(zhǔn)黃色”?（2）如何表示“偏紅的黃色”？

6. 小明的爸媽趁著假期帶著小明和妹妹到花博園游玩．園內(nèi)人山人海，每個(gè)展館幾乎都要排隊(duì)．大家討論決定要去參觀夢(mèng)想館和流行館．每個(gè)展館的排隊(duì)方式都是兩人并排，地面畫有小型圓圈，工作人員會(huì)請(qǐng)排隊(duì)人群站在小型圓點(diǎn)上，以便統(tǒng)計(jì)人數(shù)．如右圖：

問題（1）：首先，小明一家人來到夢(mèng)想館，小明他們所排位置旁的告示牌寫著離入口處大約需要2小時(shí)．而工作人員平均每十分鐘放30人同時(shí)入場(chǎng)，請(qǐng)問排在小明一家人前面的大約有多少人？

問題（2）：小明一家人來到流行館．小明發(fā)現(xiàn)排隊(duì)位置上寫的第101排，而工作人員平均約每10分鐘開放20人同時(shí)入場(chǎng)．請(qǐng)問，小明一家人還要等多久才能夠入場(chǎng)？

完成一排所需的時(shí)間 種花除草 小菊8小時(shí)4小時(shí) 小蘭6小時(shí)5小時(shí)

7. 小菊和小蘭應(yīng)征園丁的工作，花園老板發(fā)現(xiàn)二人的工作態(tài)度都很好，對(duì)薪水的期待也相同．在完成一件需要種花和除草的工作中，老板比較二人種花和除草所需的時(shí)間如右表，請(qǐng)回答下列問題：

問題（1）：如果你是花園的老板，需聘用一位專職種花的人，每天工作10小時(shí)，你會(huì)請(qǐng)哪一個(gè)人幫你種花？請(qǐng)說明理由．

問題（2）：如果花季的臨時(shí)工，工資是以種花或除草的數(shù)量計(jì)算（例如種花或除草的工資都是5元/株），就小蘭而言，同樣的加班時(shí)間，她應(yīng)該選擇種花還是除草的工作賺得比較多？

問題（3）：如果你是花園的老板，只能聘用一人負(fù)責(zé)種花與除草，若一個(gè)月的工作約需種10排花、每排要除4次草，你會(huì)聘用誰？請(qǐng)說出理由．

8. 翰子老師有一塊長(zhǎng)方形的花，長(zhǎng)15米、寬10米，如下圖：

將花圃以長(zhǎng)方形表示，=15 m，=10 m．若翰子老師欲將郁金香、百合花、玫瑰花分別種滿花圃總面積的1/3，則有什么方式可以將此花圃面積三等分？請(qǐng)你幫翰子老師設(shè)計(jì)一下．（至少兩種方案，越多越好）

9. 蔡老師上班的概況如下，家里大門口出發(fā)到第一個(gè)紅綠燈下約2 km，再開到第二個(gè)紅綠燈下約3 km，第二個(gè)人紅綠燈即上高速公路，路程約15 km，下高速公路后，會(huì)遇到第三個(gè)紅綠燈，再開到上班的辦公大樓約20 km，這之間還有一個(gè)紅綠燈．蔡老師遵守交通規(guī)則，平常開車習(xí)慣是：一般限速70 km/小時(shí)的道路，蔡老師會(huì)開60 km/小時(shí)，高速公路限速110 km/小時(shí)，蔡老師會(huì)開100 km/小時(shí)．道路紅綠燈需要等2分鐘．

請(qǐng)根據(jù)以上信息，自己設(shè)計(jì)一個(gè)情境，可以增加條件，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題并解答．

G622

A

1004–9894（2021）01–0061–07

鄧海英，嚴(yán)卿，魏亞楠．?dāng)?shù)學(xué)情境問題解決錯(cuò)誤分析與評(píng)價(jià)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（1）：61-67．

2020–10–09

湖南省社會(huì)科學(xué)成果評(píng)審委員會(huì)項(xiàng)目——小學(xué)生情境問題解決能力培養(yǎng)研究（XSP21YBC052）

鄧海英（1982—），女，湖南邵陽人，講師，碩士，主要從事課程與教學(xué)論和小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]