宋祥帥，初未萌，譚述君，吳志剛

(1.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連 116024；2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024)

0 引 言

隨著空間技術(shù)的發(fā)展，對地觀測、深空探測等領(lǐng)域?qū)μ炀€的工作頻率要求越來越高[1-2]。以對地觀測的氣象衛(wèi)星為例，為了全天候觀測大氣組成、溫度、濕度、水汽等主要的氣象指標(biāo)，天線的工作頻率應(yīng)高于205 GHz[3]。我國新一代微波氣象衛(wèi)星對3 m口徑425 GHz天線也提出了明確的應(yīng)用需求。為了滿足上述天線高增益和低旁瓣的電性能，天線反射器的形面精度(Root mean square, RMS)達(dá)到幾百微米甚至幾十微米量級(工作波長的五十分之一)[4]。然而，地面重力載荷、制造、裝配和在軌的熱輻射載荷均可引起反射器的形面精度下降。因此，為了保證反射器的形面精度，在軌形面主動控制是一個有效的解決途徑[5-6]。

為了實現(xiàn)天線反射器的形面主動控制，反射器需要有主動執(zhí)行機構(gòu)。這類帶有主動執(zhí)行機構(gòu)的反射器稱為主控天線反射器。主控天線反射器的基體結(jié)構(gòu)一般采用碳纖維復(fù)合材料(CFRP)制造，通過壓電作動器對其進行主動形面控制。一方面由于CFRP具有高剛度、低密度和高強度等優(yōu)點，并可以通過鋪層設(shè)計改變基體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能[7-8]；另一方面由于壓電作動器具有響應(yīng)速度快、定位精度高、作用頻帶寬等優(yōu)點[9]。對于主控天線反射器，合理的基體結(jié)構(gòu)和壓電作動器的集成優(yōu)化設(shè)計可以提高反射器的形面控制性能、減小控制能量輸入和反射器的熱變形。主控天線反射器屬于壓電智能結(jié)構(gòu)，對于壓電智能結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，國內(nèi)外許多研究單位均開展了相應(yīng)的研究工作。文獻[10-11]給出了壓電智能結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的詳細(xì)文獻綜述。由于作動器的位置與振動控制的性能密切相關(guān)，因此大部分的研究工作是預(yù)先確定基體結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和少量的作動器，優(yōu)化作動器的位置，其基體結(jié)構(gòu)大多為懸臂板或梁結(jié)構(gòu)，所采用的優(yōu)化準(zhǔn)則通常衡量振動控制性能，如最大可控度[12]、最大能量吸收率[13]和控制能量最小[14]等。另一部分工作主要是給定作動器的數(shù)量、尺寸和位置，采用拓?fù)鋬?yōu)化確定材料的最優(yōu)結(jié)構(gòu)連通性[15]。

智能結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計更好的方法應(yīng)是同時優(yōu)化作動器參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的集成優(yōu)化設(shè)計。Begg和Liu[16]考慮了作動器的橫截面積和作動器的位置參數(shù)優(yōu)化設(shè)計了主動桁架。Correia等[17]以PZT5H壓電驅(qū)動的玻璃纖維懸臂板為研究對象，采用模擬退火算法(SA)同時優(yōu)化作動器的位置和玻璃纖維懸臂板鋪層角度參數(shù)。Wang等[18]以壓電宏纖維復(fù)合材料(MFC)的CFRP懸臂板為研究對象，研究了作動器的位置、MFC纖維方向和鋪層角度參數(shù)對尖端擾度和扭轉(zhuǎn)角度的影響。上述的集成優(yōu)化設(shè)計方法針對不同的目標(biāo)函數(shù)均給出了合理的設(shè)計方案。然而，研究中均以少量作動器、簡單的梁或板結(jié)構(gòu)為研究對象，對于多作動器的復(fù)雜主控反射器并沒有涉及。

本文將以主控格柵反射器為研究對象，開展反射器的集成優(yōu)化設(shè)計研究。考慮到反射器面外變形的RMS是評價天線性能的重要指標(biāo)，將作動器在一定電壓和熱載荷下反射器面外靜態(tài)變形的RMS分別代表控制性能和熱變形，以控制性能最大和熱變形最小開展單目標(biāo)和多目標(biāo)的集成優(yōu)化設(shè)計研究。

1 主控格柵反射器系統(tǒng)

主控格柵反射器結(jié)構(gòu)如圖1所示，該反射器由反射器基體結(jié)構(gòu)和PZT壓電作動器兩部分組成，其中反射器基體結(jié)構(gòu)由反射面和背部U型肋組成。單節(jié)U型肋在總體坐標(biāo)系oxyz下以60°為間隔陣列分布在反射面上，每個六邊形的主對角線上有6節(jié)U型肋。PZT壓電作動器通過機械連接件和預(yù)緊螺母安裝在每一小節(jié)U型槽中間，反射器背部邊緣肋是矩形肋并沒有安裝作動器，因此反射器背部一共有72個PZT壓電作動器。壓電作動器沿著作動器軸線方向極化，利用d33逆壓電效應(yīng)驅(qū)動作動器。對PZT壓電作動器的電極施加電壓后，作動器產(chǎn)生面內(nèi)應(yīng)變。由于PZT壓電作動器安裝在U型肋內(nèi)并偏離于中性軸，這個面內(nèi)應(yīng)變將導(dǎo)致整體的面外彎曲變形，從而實現(xiàn)對反射器的形面控制。

圖1 主控格柵反射器結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 主控格柵反射器的有限元模型

采用ANSYS建立格柵反射器有限元模型。反射面和背部的U型肋采用8節(jié)點四邊形殼單元，如圖2(a)所示。其中，orexreyrezre為反射面單元坐標(biāo)系，其方向與總體坐標(biāo)系方向一致。由于PZT壓電作動器僅沿軸向(x3方向)伸長或縮短，因此PZT壓電作動器采用2節(jié)點的單自由度軸力桿單元，如圖2(b)所示。其中，o1x1x2x3為軸力桿單元坐標(biāo)系。假設(shè)反射面、背部U型肋和PZT壓電作動器彼此之間完美的組裝，因此在ANSYS中通過共節(jié)點處理反射面單元和背部U型肋單元的連接問題。在有限元模型中忽略了PZT作動器與U型肋間的機械連接件。由于U型肋單元與PZT壓電作動器單元節(jié)點的自由度不匹配，采用自由度耦合來處理它們之間的連接。ANSYS沒有提供壓電桿單元，本文采用熱載荷比擬法建立PZT壓電作動器驅(qū)動電壓與熱載荷之間的比擬關(guān)系，通過溫度載荷來模擬壓電作動器的驅(qū)動電壓[19]。

圖2 格柵反射器系統(tǒng)單元

采用有限元法，反射面和U型肋單元的動力學(xué)方程可表示為

(1)

PZT壓電作動器由壓電陶瓷片堆疊而成。假設(shè)壓電陶瓷片具有相同的幾何參數(shù)和材料參數(shù)。采用哈密頓原理可以推導(dǎo)出PZT壓電作動器單元的動力學(xué)方程為[20]

(2)

(3)

其中,

(4)

作動器施加電壓后產(chǎn)生的驅(qū)動力可以用熱彈性力來模擬。利用ANSYS對作動器施加溫度載荷時，熱彈性力可以表示為

(5)

其中，

(6)

比較式(4)和式(6)可以看出，只要熱膨脹系數(shù)滿足下式，

(7)

那么相同電壓和溫度所產(chǎn)生的壓電驅(qū)動力和熱彈性力是相等的。因此可將PZT壓電作動器驅(qū)動電壓比擬為熱載荷。將熱彈性力代替壓電作動器驅(qū)動力，PZT單元的動力雪平衡方程可以改寫為

(8)

通過組裝所有單元，可以得到全局動力學(xué)方程為

(9)

式中：M和K分別表示結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量和剛度矩陣；u為節(jié)點位移矩陣；G為輸入矩陣；t為溫度載荷矩陣，它與作動器輸入電壓是等效的，其維度與作動器個數(shù)一致；f為外載荷矩陣。

在天線反射器的設(shè)計中，頻率約束，尤其是頻率的下限約束是非常重要的。頻率的下限約束能夠確保反射器具有足夠的剛度。反射器結(jié)構(gòu)的頻率可以通過求解下式的特征值問題得到

(K-ω2M)Φ=0

(10)

式中：ω為自然頻率，Φ為模態(tài)矩陣。

對于在軌運行的天線反射器，外載荷變化緩慢，可將反射器結(jié)構(gòu)的變形過程作為靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)過程進行分析。由于反射面的面外變形是影響天線電性能的主要因素。因此，在反射器的集成優(yōu)化設(shè)計中，主要關(guān)心的是反射面的面外靜態(tài)變形。此面外靜態(tài)變形可由下式計算得到

(11)

1.2 有限元建模方法驗證

本文主要基于反射器的靜態(tài)變形位移優(yōu)化設(shè)計基體結(jié)構(gòu)參數(shù)和PZT壓電作動器參數(shù)。考慮到薄殼結(jié)構(gòu)和平面薄板結(jié)構(gòu)具有相似的力學(xué)特性，因此本文采用平面六邊形格柵反射器模型，通過對比在一定電壓下實測反射面?zhèn)鞲悬c和有限元預(yù)測的靜態(tài)位移以驗證建模方法的準(zhǔn)確性。詳細(xì)的驗證過程參考附錄A。從附錄A的比較結(jié)果可以看出，所建立的有限元模型能夠捕捉到反射面的變形趨勢，建模方法是有效的。因此，在接下來的研究中，采用第1.1節(jié)的有限元建模方法建立六邊形拋物面格柵反射器的參數(shù)化模型，開展反射器優(yōu)化設(shè)計的研究。

2 集成優(yōu)化設(shè)計方法

集成優(yōu)化設(shè)計的目的是通過優(yōu)化作動器和結(jié)構(gòu)參數(shù)來提高反射器的性能。本節(jié)詳細(xì)分析了主控格柵反射器主要關(guān)心的目標(biāo)函數(shù)和影響目標(biāo)函數(shù)的主要設(shè)計參數(shù)，給出了反射器的集成優(yōu)化設(shè)計問題和優(yōu)化過程。

2.1 目標(biāo)函數(shù)的確定

考慮到反射器在軌工作期間熱載荷是引起形面誤差的主要來源，希望熱載荷引起的反射器熱變形盡可能小，因此將反射面的熱變形最小作為一個優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)。為了滿足反射器在軌形面精度需求，反射器的形面誤差需要通過作動器驅(qū)動控制。希望反射器具有強控制能力，進而能夠有效地控制反射器的形面誤差并減少控制輸入能量，因此將形面控制能力最大作為另一個優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)。

由于反射面的面外變形的RMS通常用于評估天線的性能。因此，在本研究中，反射器基體結(jié)構(gòu)在-152 ℃溫度均布載荷下，反射面節(jié)點面外靜態(tài)變形的RMS代表熱變形。-152 ℃溫度均布載荷是春分時刻地球同步軌道反射器進入陰影區(qū)極端條件下的熱載荷[21]。雖然軌道熱分析仿真中反射器上存在溫度梯度，但溫度梯度很小，可以忽略不計。因此，熱變形目標(biāo)函數(shù)可表示為

(12)

如前所述，主控格柵反射器的形面誤差可以使用PZT壓電作動器主動控制。形面控制能力表征為反射器調(diào)整形面誤差的能力。作動器在一定電壓下反射面產(chǎn)生的面外變形位移越大，其控制能力也就越大。由于反射器在不同的軌道位置具有不同的形面誤差，將所有作動器施加一定電壓，反射面產(chǎn)生的面外變形能力代表形面控制能力。在形面控制過程中，作動器頻繁施加高電壓會減少作動器的使用壽命，此外在高壓下還會導(dǎo)致電壓-位移關(guān)系趨于非線性[22]，增加控制器設(shè)計的難度。因此，將所有作動器施加80 V電壓，反射面節(jié)點面外靜態(tài)變形的RMS代表形面控制能力。那么，代表控制能力的目標(biāo)函數(shù)可表示為

(13)

2.2 設(shè)計變量的選擇與約束條件

本文主要目的是優(yōu)化設(shè)計一個內(nèi)切圓直徑1 m和焦距2.1 m的六邊形拋物面反射器，以提高反射器的性能。圖1為反射器結(jié)構(gòu)示意圖。由于反射器背部結(jié)構(gòu)為單節(jié)U型肋在總體坐標(biāo)系oxyz下以60°為間隔陣列分布在反射面上，因此U型肋的幾何參數(shù)，包括：開槽長度、肋高度和開槽高度是影響反射器性能的主要參數(shù)。此外，PZT壓電作動器安裝在每一節(jié)U型槽的中間。在總體坐標(biāo)系oxyz下，作動器的安裝位置隨著開槽高變化而變化，作動器的長度隨著開槽長度的變化而變化。PZT壓電作動器由相同橫截面和厚度的壓電陶瓷片堆疊組成，作動器越長代表其堆疊的壓電陶瓷片越多，提供的變形位移就越大。由于單層CFRP具有正交各項異性的力學(xué)性能，因此反射面和U型肋的鋪層角度是主要的設(shè)計參數(shù)。為了避免反射器固化后翹曲變形，反射面和U型肋均為8層CFRP且對稱鋪層。反射面和U型肋具有相同的厚度，主要影響反射器的彎曲剛度。因此，反射面和U型肋的厚度是主要的設(shè)計參數(shù)。綜上所述，設(shè)計變量包括反射面的鋪層角度、U型肋的鋪層角度、U型肋的幾何參數(shù)以及反射面和U型肋的厚度。圖3給出了設(shè)計變量示意圖，圖中orexreyrezre和ouexueyuezue分別為反射面和U型肋單元坐標(biāo)系，用于定義鋪層角度。orexreyrezre方向與總體坐標(biāo)系oxyz方向一致。ouexueyuezue的xue軸為沿著U型肋的長度方向，ze軸垂直于U型肋的平面向外，yue軸方向符合右手螺旋準(zhǔn)則垂直于xue軸和zue軸。設(shè)計變量可由下式表示為

圖3 設(shè)計變量示意圖

Var=[θ1,…,θ4,φ1,…,φ4,hr,hs,ls,hc]

(14)

式中：θ1,…,θ4為反射面鋪層角度，其鋪層角表示為纖維方向與xre軸的夾角，逆時針為正；φ1,…,φ4為U型鋪層角度，其鋪層角表示為纖維方向與xue軸的夾角，逆時針為正；hr,hs和ls分別為U型肋的肋高度、開槽高度和開槽長度；hc為每層CFRP厚度。

設(shè)計變量受到一些約束，可表示為

(15)

式中：反射面鋪層角度θi以Δθ為間隔在θmin和θmax之間變化，U型肋的鋪層角度φi以Δφ為間隔在φmin和φmax之間變化，hr,min和hr,max分別為U型肋高的上限和下限，hs,min和hs,max分別為開槽高的上限和下限，ls,min和ls,max分別為開槽長的上限和下限，hc,min和hc,max分別為每層碳纖維層厚度的上限和下限，Δ1和Δ2為變化間隔，h0為U型肋高h(yuǎn)r和開槽高h(yuǎn)s之差的下限。

反射器基頻是反射器結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要參數(shù)。反射器應(yīng)施加基頻的下限約束，其下限約束一般滿足兩方面要求：一方面，反射器基頻的下限約束反應(yīng)了反射器的最低剛度。設(shè)置下限約束避免反射器過于柔性，過于柔性將導(dǎo)致反射器易受外載荷影響產(chǎn)生大的變形甚至激發(fā)產(chǎn)生振動且不利于形面保持。另一方面，反射器的基頻應(yīng)根據(jù)實際航天器的要求確定。航天器一般采用頻帶隔離的方法以避免不同組件間以及控制系統(tǒng)的共振?；l的下限約束如下式

ω≥ω0

(16)

在優(yōu)化過程的節(jié)點位移和頻率計算中，主控格柵反射器的約束區(qū)域為：反射器距離反射器幾何中心5 mm的6個U型肋上的矩形區(qū)域全自由度約束，如圖4所示。

圖4 U型肋幾何約束

2.3 優(yōu)化過程和求解

第2.1～2.2節(jié)給出了優(yōu)化問題的三要素：目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計變量和約束條件。本研究中采用遺傳算法(GA)對優(yōu)化問題進行求解。對于單目標(biāo)問題采用MATLAB優(yōu)化工具箱的遺傳算法ga函數(shù)進行求解。對于多目標(biāo)優(yōu)化問題采用基于非支配排序遺傳算法(NSGA-II)的gamultiobj函數(shù)進行求解，它會產(chǎn)生一系列的最優(yōu)解集，稱為帕累托(Pareto)最優(yōu)前沿[23]。由于ga函數(shù)和gamultiobj函數(shù)是處理最小值問題，因此將目標(biāo)f1和目標(biāo)f2的倒數(shù)1/f2作為適應(yīng)度函數(shù)。由于設(shè)計變量是按照等間隔離散，對于間隔不為1的設(shè)計變量，可將設(shè)計變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)的整數(shù)。以鋪層角度為例，假設(shè)θi在-90°～90°之間以15°為間隔離散。那么，可將θi的取值轉(zhuǎn)化為0～12之間連續(xù)的整數(shù)，其中取值0對應(yīng)θi=-90°，取值1對應(yīng)θi=-75°，以此類推。對于不滿足基頻和hr-hs≥h0約束的設(shè)計變量，相應(yīng)的適應(yīng)度值設(shè)置為很大的值，從而保證優(yōu)化結(jié)果在約束內(nèi)并向最優(yōu)方向搜索。由于gamultiobj函數(shù)沒有整數(shù)約束，可先對設(shè)計變量取整，然后再計算個體的適應(yīng)度函數(shù)。優(yōu)化過程的基本參數(shù)設(shè)置為：種群大小為100,交叉概率為0.8，變異概率為0.2。收斂條件設(shè)置為：最優(yōu)適應(yīng)度值相對于平均適應(yīng)度值的變化小于1×10-6。

3 結(jié)果和討論

本研究中通過數(shù)值算例1～3分別給出單目標(biāo)和多目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果。仿真算例為：

算例1：目標(biāo)2

算例2：目標(biāo)1

算例3：目標(biāo)1+目標(biāo)2

數(shù)值仿真中θmin=φmin=-90°，θmax=φmax=90°，Δθ=Δφ=15°，ω0=25 Hz。U型肋設(shè)計變量的幾何約束如表1所示。反射器基體結(jié)構(gòu)和PZT壓電作動器的材料參數(shù)如表A1所示。表2給出了算例1和2詳細(xì)的優(yōu)化結(jié)果。從表2可以看出，算例1的目標(biāo)值為0.376 mm，U型肋高和開槽高均為下限，這使得反射器具有較低的剛度。開槽長度為上限表明PZT作動器的長度也為上限，作動器有最大的變形位移。增加CFRP厚度可增加反射器整體結(jié)構(gòu)剛度，但優(yōu)化結(jié)果中CFRP厚度接近上限，這主要是由于基頻約束的影響。反射器主要通過調(diào)整鋪層角度和增加碳纖維層的厚度以增加反射器的剛度，從而滿足基頻的要求。

表1 U型肋設(shè)計變量的幾何約束

表2 算例1和2優(yōu)化結(jié)果

算例2中的目標(biāo)值為0.0137 mm，反射面的鋪層角度為雙正交鋪層，雙正交鋪層使得反射面具有較低的熱膨脹系數(shù)[24]。反射面和U型肋的厚度為約束上限，增加了反射器結(jié)構(gòu)整體的剛度。U型肋的肋高并沒有取約束上限，這與文獻[3]中以不帶主動執(zhí)行機構(gòu)的格柵反射器為研究對象，增加肋高可以減少熱變的結(jié)果不同。將肋高取為約束上限，其他優(yōu)化結(jié)果不變，目標(biāo)值為0.048 mm，明顯大于算例2中的優(yōu)化結(jié)果。一個可能的原因是增加肋高增加了結(jié)構(gòu)剛度，但同時也增加了受熱面積。增加受熱面積對熱變形的影響大于增加的結(jié)構(gòu)剛度。

應(yīng)用算例1設(shè)計變量優(yōu)化結(jié)果，計算熱變形目標(biāo)1，目標(biāo)1的值為4.7 mm。對比算例1控制能力和熱變形可以看出，熱變形遠(yuǎn)大于控制能力，無法通過形面控制調(diào)整熱載荷引起的形面誤差。因此有必要綜合考慮多個目標(biāo)，開展多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計研究。

圖5給出了算例3多目標(biāo)最優(yōu)問題的Pareto最優(yōu)前沿。表3給出了詳細(xì)的優(yōu)化結(jié)果。Pareto最優(yōu)前沿給出了特定條件下多目標(biāo)問題的最優(yōu)解集，需要設(shè)計人員根據(jù)權(quán)重分配得到對應(yīng)的Pareto最優(yōu)解。從圖 5可以看出，許多解的熱變形大于控制能力，因此在選取時應(yīng)考慮反射器是否有能力控制熱變形引起的形面誤差。通過Pareto最優(yōu)前沿可以更清楚地看出兩個目標(biāo)的關(guān)系，能夠給出更合理的設(shè)計方案。

圖5 多目標(biāo)Pareto最優(yōu)前沿

表3 算例3優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié) 論

本文建立了主控格柵反射器的有限元模型，以反射器的形面控制能力最大和熱變形最小為優(yōu)化目標(biāo)，以鋪層角度、鋪層厚度、U型肋的幾何參數(shù)和壓電作動器長度為設(shè)計變量，分別開展了單目標(biāo)和多目標(biāo)的集成設(shè)計優(yōu)化研究。研究結(jié)果表明：

1)通過優(yōu)化設(shè)計變量可以顯著提高形面控制能力和減小熱變形。

2)控制能力最大的單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果，其熱變形遠(yuǎn)大于控制能力，這將導(dǎo)致反射器無法通過形面控制調(diào)整熱載荷引起的形面誤差。

3)多目標(biāo)的Pareto最優(yōu)前沿可以給出更合理的設(shè)計方案。

附錄A:建模方法驗證過程

該附錄搭建平面六邊形格柵反射器實驗?zāi)Ｐ停ㄟ^對比在一定電壓下實測反射面?zhèn)鞲悬c的靜態(tài)位移來驗證本文建模理論方法的準(zhǔn)確性。如圖A1所示，主控格柵反射器模型背部安裝30個PZT壓電作動器。反射面和U型肋均為8層CFRP復(fù)合材料，每層厚為0.125 mm，鋪層方向為(0°,45°,-45°,90°)s。30個動器由作動器控制器功率放大并加載。每節(jié)U型肋長189 mm、高40 mm、開槽長度100 mm、開槽深度20 mm。反射器邊界條件為：距離反射器幾何中心10 mm間隔120°的3個U型肋上全自由度約束。形面測量選用數(shù)字圖像相關(guān)(DIC)攝影測量系統(tǒng)，該系統(tǒng)由兩個工業(yè)相機、測量控制器、測量軟件、兩個LED光源組成，其測量精度為10 μm+10 μm/m。整個系統(tǒng)安裝在Newport光學(xué)平臺上以減小外界振動的影響。

圖A1 格柵反射器實驗系統(tǒng)

反射器的有限元模型與物理模型具有相同的鋪層、幾何參數(shù)和邊界條件。表A1給出了單層CFRP材料參數(shù)和PZT壓電作動器參數(shù)。在模型驗證中，所有作動器施加40 V電壓。圖A2(a)和圖A2(b)分別給出了實驗測得和有限元預(yù)測的位移響應(yīng)。從圖A2(a)和圖A2(b)可以看出實驗測量和有限元預(yù)測的靜態(tài)變形趨勢是一致的。實驗測量和有限元模型預(yù)測靜態(tài)位移的最大值分別為127 μm和143 μm，其相對誤差為12.5%，這主要是因為材料屬性的預(yù)測誤差和不同結(jié)構(gòu)部件之間完美組裝假設(shè)導(dǎo)致的。上述的比較結(jié)果表明，所建立的有限元模型能夠捕捉到反射面的變形趨勢，建模方法是有效的。

圖A2 實驗測量和有限元預(yù)測位移響應(yīng)云圖

表A1 單層CFRP和PZT作動器材料參數(shù)