盧曉東，辛佳寧，顧嘉耀，王俊康，程 承

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072)

0 引 言

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)斗機(jī)的空中機(jī)動(dòng)能力不斷增強(qiáng)，防空導(dǎo)彈為提高制導(dǎo)精度迫切需要對(duì)戰(zhàn)斗機(jī)的大機(jī)動(dòng)加速度實(shí)現(xiàn)有效估計(jì)。然而目前防空雷達(dá)對(duì)飛機(jī)目標(biāo)的測(cè)量信息只有角度、距離和多普勒速度等，這些觀測(cè)信息對(duì)飛機(jī)大機(jī)動(dòng)過(guò)載的表征能力有限，因此對(duì)飛機(jī)機(jī)動(dòng)加速度估計(jì)精度并不理想?，F(xiàn)有對(duì)于空中非合作機(jī)動(dòng)目標(biāo)的估計(jì)研究主要集中在目標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)精確建模和濾波估計(jì)方法的改進(jìn)[1]。其中目標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模是對(duì)目標(biāo)飛行器飛行動(dòng)力學(xué)的直接表述，因此是提升目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息估計(jì)精度的最重要手段。

目前對(duì)于空中非合作機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法主要?dú)w納為兩種方式：一種是將目標(biāo)機(jī)動(dòng)作為坐標(biāo)系解耦的隨機(jī)過(guò)程，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法建模；另一種是考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)的飛行動(dòng)力學(xué)方程，將動(dòng)力學(xué)、氣動(dòng)作用和大氣模型簡(jiǎn)化得到目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型[2]。

對(duì)于單純使用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)建模的典型運(yùn)動(dòng)模型有：勻速運(yùn)動(dòng)(CV)模型、勻加速運(yùn)動(dòng)(CA)模型、Singer模型、Jerk模型和“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)(CS)模型等。其中CV模型和CA模型簡(jiǎn)單地認(rèn)定加速度為常值，難以描述目標(biāo)的真實(shí)機(jī)動(dòng)特性[3-4]；Singer模型、Jerk模型和“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)(CS)模型將目標(biāo)的加速度和加加速度近似為時(shí)間相關(guān)，這使得模型能較好地描述目標(biāo)機(jī)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性[5-13]。這些模型雖然具有較好的通用性和覆蓋性，但其完全忽視飛行器動(dòng)力學(xué)中各通道間的耦合作用，因此空中目標(biāo)進(jìn)行大機(jī)動(dòng)時(shí)難以滿足其統(tǒng)計(jì)特性假設(shè)。

對(duì)于采用動(dòng)力學(xué)方程建模的方法能夠更加真實(shí)地描述目標(biāo)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)物理狀態(tài)，從本質(zhì)上說(shuō)更具科學(xué)性，諸如勻速轉(zhuǎn)彎(CT)模型就特別適合民航飛機(jī)勻速轉(zhuǎn)彎的過(guò)程。但是由于空中非合作目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)難以獲取，因而這些模型參數(shù)通常作為待估狀態(tài)量或者事先人為設(shè)定。近幾年來(lái)，喻晨龍等[1]、王樹(shù)亮等[14]、李凡等[15]、郭相科等[16]、張凱等[17]和Hough[18]等學(xué)者將模型氣動(dòng)參數(shù)作為隨機(jī)變量利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法建模，實(shí)現(xiàn)了動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整，取得了較好的仿真效果。

文獻(xiàn)[1]針對(duì)高臨近空間高超聲速滑翔目標(biāo)，在雷達(dá)測(cè)量直角坐標(biāo)系下引入縱向通道和橫向通道的角度域模型，將傾角變化率和方位角變化率描述成零均值正弦自相關(guān)隨機(jī)過(guò)程。文獻(xiàn)[14]以CS模型為基礎(chǔ)，引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和“記憶”模塊，用感知信息熵來(lái)描述目標(biāo)跟蹤不確定性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整。文獻(xiàn)[15]以臨近空間滑躍式高超聲速目標(biāo)為對(duì)象，在橫縱向機(jī)動(dòng)樣式方面將氣動(dòng)加速度中的阻力與爬升加速度建模為二階時(shí)間相關(guān)模型，使加速度自相關(guān)函數(shù)具備周期性與衰減性。文獻(xiàn)[16]針對(duì)臨空高速飛行器滑躍階引入Sine模型的加速度正弦波的零均值隨機(jī)過(guò)程，用于描述目標(biāo)的規(guī)律跳躍。文獻(xiàn)[17]針對(duì)高超聲速滑翔目標(biāo)將縱向和橫向機(jī)動(dòng)等效為一階時(shí)間相關(guān)模型，并將對(duì)轉(zhuǎn)彎和爬升參數(shù)和機(jī)動(dòng)頻率引入構(gòu)建動(dòng)力學(xué)交互多模型。這些方法是將飛行器動(dòng)力學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)及智能感知技術(shù)相互融合，這有助于對(duì)高超飛行器大機(jī)動(dòng)的跟蹤研究。但是這些論文主要關(guān)注于高超飛行器的滑翔跳躍階段機(jī)動(dòng)，及類似正弦的周期性機(jī)動(dòng)研究，而對(duì)于大氣層內(nèi)的面對(duì)稱飛行器(飛機(jī))目標(biāo)的大滾轉(zhuǎn)角機(jī)動(dòng)缺少針對(duì)性研究。

本文針對(duì)上述建模方法未考慮飛行器動(dòng)力學(xué)各通道耦合問(wèn)題，基于面對(duì)稱飛行器大機(jī)動(dòng)過(guò)載主要取決于主升力面的滾轉(zhuǎn)角和主升力的物理關(guān)系，提出對(duì)面對(duì)稱飛行器動(dòng)力學(xué)析構(gòu)后簡(jiǎn)化為兩個(gè)時(shí)間相關(guān)物理量(主升力面滾轉(zhuǎn)角和主升力)，從而建立面對(duì)稱飛行器的動(dòng)力學(xué)析構(gòu)時(shí)間相關(guān)模型(DTDM)。隨后基于分段定常系統(tǒng)可觀測(cè)性理論和奇異值分解法驗(yàn)證了該模型對(duì)飛行器大機(jī)動(dòng)的可觀測(cè)性優(yōu)于現(xiàn)有方法。最后該模型結(jié)合容積卡爾曼濾波(CKF)對(duì)戰(zhàn)斗機(jī)大機(jī)動(dòng)時(shí)加速度估計(jì)進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真校驗(yàn)。

1 面對(duì)稱飛行器動(dòng)力學(xué)析構(gòu)降階

本文以防空雷達(dá)對(duì)現(xiàn)代戰(zhàn)斗機(jī)探測(cè)為應(yīng)用背景，通過(guò)對(duì)目標(biāo)飛行器進(jìn)行動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)建模，實(shí)現(xiàn)對(duì)面對(duì)稱飛行器大機(jī)動(dòng)加速度的精確估計(jì)。考慮到防空雷達(dá)多為視距探測(cè)方式，探測(cè)距離一般在300 km以內(nèi)，因此地面可近似為平面大地，且不考慮地球自轉(zhuǎn)，即地面坐標(biāo)系視為慣性坐標(biāo)系。由于現(xiàn)代戰(zhàn)機(jī)大機(jī)動(dòng)主要通過(guò)改變飛行器主升力面滾轉(zhuǎn)角和主升力面上的氣動(dòng)力來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此面對(duì)稱外形戰(zhàn)機(jī)的機(jī)動(dòng)過(guò)程中受力關(guān)系如圖1所示。

圖1中Oxyz為慣性坐標(biāo)系(同地面坐標(biāo)系)，G為重力，方向鉛垂向下。Ox3y3z3為飛行器速度坐標(biāo)系，γV為飛行器速度滾轉(zhuǎn)角(即主升力面滾轉(zhuǎn)角)，氣動(dòng)力在速度系下分解為主升力面升力Y、側(cè)向力Z和阻力X。根據(jù)現(xiàn)代戰(zhàn)機(jī)的飛行特點(diǎn)，其側(cè)滑角很小，故可忽略側(cè)向力Z，戰(zhàn)機(jī)巡航時(shí)的發(fā)動(dòng)機(jī)推力P與阻力X基本平衡。因此飛行器的大機(jī)動(dòng)過(guò)載主要取決于主升力Y和重力G的作用，其中主升力的大小Y(t)和速度滾轉(zhuǎn)角γV(t)可近似寫為如下函數(shù)：

圖1 面對(duì)稱飛行器的機(jī)動(dòng)受力關(guān)系圖

(1)

(2)

為避免對(duì)這些不確定參數(shù)的估計(jì)，本文對(duì)式(1)和式(2)采用析構(gòu)方法進(jìn)行簡(jiǎn)化?？紤]到在短時(shí)間內(nèi)氣動(dòng)參數(shù)可近似為常值不變，各個(gè)姿態(tài)角、氣動(dòng)攻角和舵偏角在濾波周期內(nèi)的變化連續(xù)且變化范圍有限。因此可以近似假設(shè)速度滾轉(zhuǎn)角和主升力為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，那么根據(jù)速度滾轉(zhuǎn)角的時(shí)間相關(guān)函數(shù)RγV(τ)寫為指數(shù)形式為

(3)

主升力面氣動(dòng)力Y(t)可等效為主升力過(guò)載N(t)，則其時(shí)間相關(guān)函數(shù)表示為

(4)

將速度滾轉(zhuǎn)角和主升力面過(guò)載的時(shí)間相關(guān)函數(shù)采用Wiener-Kolmogorov白化為輸入為白噪聲的一階時(shí)間相關(guān)模型，則N(t)的時(shí)間相關(guān)模型為

(5)

γV(t)的時(shí)間相關(guān)模型為

(6)

至此通過(guò)“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型近似描述主升力過(guò)載N(t)和速度滾轉(zhuǎn)角γV(t)的變化規(guī)律，從而將縱向和側(cè)向平面的受力綜合考慮，能夠更好地描述面對(duì)稱飛行器的機(jī)動(dòng)特性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)飛行器機(jī)動(dòng)趨勢(shì)的估計(jì)。

2 面對(duì)稱飛行器的運(yùn)動(dòng)模型建立

(7)

由此構(gòu)建目標(biāo)飛行器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量更新方程為

(8)

式中：ax(t),ay(t),az(t)是目標(biāo)飛行器在地面坐標(biāo)系下的加速度，其為待估變量?，F(xiàn)有的Singer模型、Jerk模型和CS模型都是將其等效為噪聲或相關(guān)過(guò)程，這種假設(shè)只是統(tǒng)計(jì)學(xué)和隨機(jī)過(guò)程中的近似，因此對(duì)強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)估計(jì)時(shí)往往效果不佳。

本文的創(chuàng)新點(diǎn)正在于通過(guò)將γV(t)和N(t)引入三個(gè)加速度的動(dòng)力學(xué)關(guān)系，從而在動(dòng)力學(xué)層次上構(gòu)建ax(t),ay(t),az(t)的演化關(guān)系。由于速度滾轉(zhuǎn)角γV(t)和主升力過(guò)載N(t)是在飛行器速度坐標(biāo)系下描述，因此需要推導(dǎo)至地面坐標(biāo)系，并與地面系下的加速度建立約束關(guān)系。

在飛行器速度坐標(biāo)系下，由氣動(dòng)力和推力產(chǎn)生的合加速度atV可近似表示為

(9)

式中：g為重力加速度。

將速度系下的合成加速度atV通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到地面坐標(biāo)系，并考慮重力加速度g后得到目標(biāo)實(shí)際加速度ag為：

(10)

(11)

(12)

其中彈道傾角θ和彈道偏角ψV可由狀態(tài)變量解算：

(13)

3 面對(duì)稱飛行器的機(jī)動(dòng)濾波方程

根據(jù)上述推導(dǎo)可得到面對(duì)稱飛行器在地面坐標(biāo)系下的離散狀態(tài)方程以及測(cè)量方程。

1)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型的離散狀態(tài)方程

假設(shè)雷達(dá)采樣周期為T，將連續(xù)時(shí)間離散化，可得面對(duì)稱飛行器的離散狀態(tài)方程為

X(k+1)=F1X(k)+F2{f[X(k)]}+

w(k)=φ[X(k)]+w(k)

(14)

式中：

其中，f[X(k)]的下角標(biāo)表示f[X(k)]的某行到某行，如f[X(k)][4～6]表示f[X(k)]的第4行到第6行，w(k)為系統(tǒng)噪聲。

2)主動(dòng)式雷達(dá)的離散量測(cè)方程

假設(shè)測(cè)量雷達(dá)為地面靜止雷達(dá)，在地面坐標(biāo)系下對(duì)目標(biāo)飛行器進(jìn)行主動(dòng)式測(cè)量，可獲得目標(biāo)與雷達(dá)的徑向距離r，目標(biāo)高低角ε和目標(biāo)方位角β。則觀測(cè)方程中非線性量測(cè)函數(shù)H[X(k+1)]為：

H[X(k+1)]=

(15)

則系統(tǒng)的量測(cè)方程Y(k+1)可表示為：

(16)

式中：r為雷達(dá)與目標(biāo)的徑向距離，ε為高低角，β為方位角；ν(k+1)=[nr(t),nε(t),nβ(t)]T為量測(cè)噪聲，包含雷達(dá)的距離、高低角和方位角測(cè)量噪聲。

4 可觀測(cè)性分析

由于系統(tǒng)的可觀測(cè)性會(huì)影響濾波的精度，為確保DTDM模型濾波精度，下面對(duì)模型中各個(gè)狀態(tài)量的可觀測(cè)性進(jìn)行分析。考慮到系統(tǒng)的可觀測(cè)性與系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲無(wú)關(guān)，故使用齊次系統(tǒng)方程討論DTDM模型的可觀測(cè)性。齊次系統(tǒng)模型如下：

(17)

首先求取非線性函數(shù)φ(·)和H(·)的雅克比矩陣，將系統(tǒng)近似線性化，再根據(jù)分段定常系統(tǒng)(PWCS)可觀測(cè)性理論和奇異值分解法(SVD)[20]對(duì)系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行分析，得到系統(tǒng)的提取可觀測(cè)矩陣(SOM)在不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度下的奇異值。

表1 SOM在不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度下的奇異值

下面將本文所提出的動(dòng)力學(xué)析構(gòu)時(shí)間相關(guān)模型(DTDM)與文獻(xiàn)[11]中的改進(jìn)“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型(MCSM)和Jerk模型進(jìn)行可觀性對(duì)比。下面給出目標(biāo)飛行器機(jī)動(dòng)最大加速度為9g時(shí)，DTDM,MCSM和Jerk模型的系統(tǒng)提取可觀測(cè)矩陣的奇異值，結(jié)果如表2所示。

表2 不同模型的可觀測(cè)矩陣奇異值

從可觀性結(jié)果分析可以看出，在目標(biāo)加速度均為9g時(shí)，DTDM系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)飛行器運(yùn)動(dòng)信息的可觀測(cè)性更高，尤其是對(duì)目標(biāo)加速度的可觀測(cè)性要明顯優(yōu)于其余兩個(gè)模型。這也從可觀性方面驗(yàn)證了本文提出的DTDM方法對(duì)目標(biāo)飛行器機(jī)動(dòng)信息進(jìn)行估計(jì)要比基于MCSM和Jerk模型的方法更具優(yōu)勢(shì)。

5 仿真校驗(yàn)

本文以現(xiàn)代戰(zhàn)斗機(jī)進(jìn)行典型躲避機(jī)動(dòng)為例進(jìn)行跟蹤，假設(shè)目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)加速度為9g，飛行初始速度為[200 m/s,0,0]，初始位置為[0,5000 m,0]，目標(biāo)真實(shí)飛行軌跡如圖2所示。

圖2 目標(biāo)真實(shí)飛行路徑

仿真時(shí)導(dǎo)彈初始地面直角坐標(biāo)系位置為[30000 m,5000 m,3000 m]，在地面系下的初始速度為[-700 m/s,0,-100 m/s]，雷達(dá)采樣時(shí)間為0.01 s，量測(cè)距離誤差標(biāo)準(zhǔn)差σr=5 m，高低角和方向角的量測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差σε=σβ=0.1°，用MCSM和Jerk模型與DTDM進(jìn)行對(duì)比仿真。MCSM取機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)為10，Jerk模型取機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)為15，DTDM取機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)為12，濾波方法使用CKF，蒙特卡洛次數(shù)N=50。以各個(gè)狀態(tài)的估計(jì)誤差均方根(RMSE)來(lái)衡量估計(jì)精度：

(18)

圖3為DTDM對(duì)面對(duì)稱飛行器主升力面滾轉(zhuǎn)角和主升力過(guò)載產(chǎn)生的機(jī)動(dòng)加速度的跟蹤曲線。

圖3 主升力面滾轉(zhuǎn)角和主升力機(jī)動(dòng)加速度跟蹤曲線

圖3顯示DTDM對(duì)主升力過(guò)載產(chǎn)生的機(jī)動(dòng)加速度能夠較好跟蹤，而對(duì)目標(biāo)主升力面滾轉(zhuǎn)角估計(jì)雖有延遲，但對(duì)其變化趨勢(shì)仍有較好跟蹤。為直觀比較各模型的估計(jì)精度，表3給出各運(yùn)動(dòng)模型位置、速度和加速度估計(jì)誤差的多次仿真最大值的均方根。

圖4給出了目標(biāo)在地面系下三方向加速度的估計(jì)誤差均方根，為顯示清晰在畫圖時(shí)進(jìn)行了數(shù)據(jù)稀疏化。圖4顯示在目標(biāo)機(jī)動(dòng)變化較小時(shí)，DTDM對(duì)加速度估計(jì)精度和MCSM及Jerk模型相當(dāng)；在80～100 s之間，y軸和z軸上有強(qiáng)機(jī)動(dòng)時(shí)，DTDM對(duì)加速度估計(jì)精度比MCSM和Jerk模型都高。這是因?yàn)镸CSM沒(méi)有考慮加加速度變化，只是對(duì)加速度上限進(jìn)行了自適應(yīng)；而Jerk模型考慮了加加速度影響，但將其描述為零均值的時(shí)間相關(guān)模型。DTDM則考慮了面對(duì)稱飛行器的主升力面過(guò)載與滾轉(zhuǎn)角之間的耦合約束關(guān)系，而非單維度的統(tǒng)計(jì)學(xué)關(guān)系；其次DTDM將主升力過(guò)載和滾轉(zhuǎn)角作為非零均值相關(guān)模型，其理論精度階數(shù)不小于Jerk模型。此外從表3可以看出，在目標(biāo)機(jī)動(dòng)為9g的時(shí)刻，DTDM對(duì)加速度估計(jì)誤差相比其他方法要小一半以上。

表3 不同模型的位置、速度和加速度估計(jì)誤差最大值的均方根

圖4 加速度估計(jì)誤差均方根

6 結(jié) 論

本文針對(duì)面對(duì)稱飛行器提出了一種利用動(dòng)力學(xué)模型析構(gòu)降階構(gòu)建的時(shí)間相關(guān)運(yùn)動(dòng)模型(DTDM)。其利用時(shí)間相關(guān)過(guò)程和飛行器動(dòng)力學(xué)分解方式構(gòu)建了動(dòng)力學(xué)析構(gòu)時(shí)間相關(guān)運(yùn)動(dòng)模型，并根據(jù)分段定常系統(tǒng)(PWCS)可觀測(cè)性理論和奇異值分解法(SVD)對(duì)該模型的可觀測(cè)性進(jìn)行分析，分析結(jié)果表明其可觀性優(yōu)于“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)運(yùn)動(dòng)模型及其改進(jìn)模型。最后針對(duì)現(xiàn)代戰(zhàn)機(jī)的典型機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行了仿真校驗(yàn)，仿真結(jié)果表明采用DTDM對(duì)面對(duì)稱飛行器的機(jī)動(dòng)加速度估計(jì)精度高于改進(jìn)“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型和Jerk模型。這種對(duì)空中大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度的較精確估計(jì)，將有利于提高防空導(dǎo)彈攔截目標(biāo)時(shí)的制導(dǎo)精度。