林鳳嬌 (天津師范大學(xué)教育學(xué)部 300387)

1 引言

教材是學(xué)生從小接觸的事物，可以簡(jiǎn)單地把數(shù)學(xué)教材分為三部分：正文、例題和習(xí)題．在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，大多數(shù)教師都傾向于例題教學(xué)，這也足以說(shuō)明例題的重要性．然而，例題和習(xí)題都是數(shù)學(xué)題，為什么有的題可供數(shù)學(xué)教師在課堂上一步一步地講解示范給學(xué)生，有的題得讓學(xué)生課后單獨(dú)完成？本文從例題和習(xí)題的功能出發(fā)，來(lái)探尋例題和習(xí)題之間的關(guān)系．

2 例題與習(xí)題

2.1 例題的功能

例題的功能有基礎(chǔ)性、精簡(jiǎn)性、典型性、示范性與代表性等．在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，例題起著舉足輕重的作用.例題所放的位置可以在知識(shí)點(diǎn)前，這時(shí)它發(fā)揮著帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的作用．例題所放的位置也可以在知識(shí)點(diǎn)后，此時(shí)它對(duì)鞏固所學(xué)的新知識(shí)發(fā)揮了很大的作用．例題必須精挑細(xì)選又有著代表性，還能很好地起到示范作用．波利亞在《怎樣解題》中曾提到：未來(lái)的數(shù)學(xué)家通過(guò)模仿和練習(xí)來(lái)學(xué)習(xí)．[1]所以例題的示范性尤為重要，典型的例題可以讓學(xué)生更好地掌握剛學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)．因此需要充分利用教科書例題的示范引領(lǐng)功能，盡最大可能發(fā)揮其潛在價(jià)值，力爭(zhēng)做到以例啟思、以例促思、以例帶類，舉一反三，觸類旁通，達(dá)到對(duì)知識(shí)的深化理解．[2]

2.2 習(xí)題的功能

習(xí)題具有鞏固性、多樣性、層次性、靈活性和評(píng)價(jià)性．教材中的習(xí)題應(yīng)具有鞏固功能．初中數(shù)學(xué)教材的習(xí)題中的一部分會(huì)作為學(xué)生課后的作業(yè)，而課后作業(yè)的練習(xí)可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握和理解，以達(dá)到復(fù)習(xí)的目的．因此，初中數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題應(yīng)幫助學(xué)生復(fù)習(xí)回憶所學(xué)的新知識(shí)，起到鞏固新知的作用．習(xí)題的題型也是更加多樣、靈活以及有層次．習(xí)題由淺到深、由簡(jiǎn)到繁，有基礎(chǔ)題目，也有擴(kuò)展提高題．習(xí)題還有著評(píng)價(jià)功能，數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題作為課后作業(yè)布置時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)習(xí)題的練習(xí)及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己還存在的問(wèn)題，教師也可以通過(guò)習(xí)題完成的反饋情況了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況．學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題的自我評(píng)價(jià)自行調(diào)整學(xué)習(xí)狀態(tài)，教師也可以通過(guò)習(xí)題的反饋進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略．

2.3 例題與習(xí)題的關(guān)系

2.3.1 包含關(guān)系

《現(xiàn)代漢語(yǔ)大辭典》中對(duì)“例題”的表述為：說(shuō)明某一定理、定律或幫助學(xué)習(xí)的人掌握某一公式而設(shè)的作為范例的習(xí)題．由這句話可知，例題也是習(xí)題的一種，是在眾多習(xí)題中精選出來(lái)的，所以說(shuō)習(xí)題是包含例題的(圖1)．

圖1 例題與習(xí)題的包含關(guān)系

例題和習(xí)題都是為了學(xué)生更好地掌握一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或概念而出現(xiàn)的．比如小學(xué)所學(xué)的偶數(shù)的概念，這個(gè)概念的內(nèi)涵就是在整數(shù)中，能被2整除的數(shù)，也就是2的倍數(shù)2n．而偶數(shù)概念的外延就是2,4,6,8,26,…．再如，一元二次方程這個(gè)概念的內(nèi)涵是ax2+bx+c(a≠0)，那么一元二次方程的外延是一切形如ax2+bx+c(a≠0)的式子．概念的內(nèi)涵與外延之間存在一個(gè)反變關(guān)系．這種反變關(guān)系通俗易懂地講就是概念的內(nèi)涵小，那么概念的外延就大；概念的內(nèi)涵大的，那么此概念的外延就比較小.就如平行四邊形和四邊形，平行四邊形的概念內(nèi)涵比四邊形的概念內(nèi)涵大，那么平行四邊形的概念外延就比四邊形的概念外延?。倩氐嚼}與習(xí)題的包含關(guān)系上，可以這么理解，習(xí)題涉及的這個(gè)知識(shí)點(diǎn)或是概念的外延很大，但是上課無(wú)法永遠(yuǎn)窮盡，所以在有無(wú)限外延的習(xí)題當(dāng)中挑選了具有代表性的這個(gè)概念的外延，也就是所說(shuō)的例題．

人民教育出版社(以下簡(jiǎn)稱人教版)2012年出版的初一教材第1章第1節(jié)給出了負(fù)數(shù)的概念：在正數(shù)前加上符號(hào)“-”(負(fù))的數(shù)叫做負(fù)數(shù)．這也是負(fù)數(shù)概念的內(nèi)涵，后面舉的例題是：(1)一個(gè)月內(nèi)，小明體重增加2 kg，小華體重減少1 kg，小強(qiáng)體重?zé)o變化，寫出他們這個(gè)月的體重增長(zhǎng)值；(2)某年，下列國(guó)家的商品進(jìn)出口總額比上年的變化情況……這道例題是在綜合考量學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)、正數(shù)和0的掌握．后面的習(xí)題有全國(guó)平均降水量、物體的正負(fù)移動(dòng)、走路的東西方向、水位的升降和氣溫的變化等，由此無(wú)不看出，習(xí)題的范圍比例題的范圍更廣．

2.3.2 補(bǔ)充關(guān)系

習(xí)題是例題的補(bǔ)充.一節(jié)課就45分鐘，不可能滿本教材全是例題，都讓教師在課堂上講解．正如《學(xué)記》里第七段所提及的：大學(xué)之教也，時(shí)教必有正業(yè)，退息必有居學(xué)．意思大致是大學(xué)的教學(xué)組織形式是：按時(shí)進(jìn)行正課教學(xué)，課后從事課外作業(yè)．也如陸佃所說(shuō)：“居學(xué)，言退息之所學(xué)也．”[3]不得不說(shuō)，古人的想法極富智慧，而且也適合于現(xiàn)如今的一些教育現(xiàn)象．習(xí)題是例題的補(bǔ)充，讓學(xué)生有更多時(shí)間來(lái)鞏固自己在課堂上的所學(xué)的新知識(shí)．

例如，在有理數(shù)的加法第1章第3節(jié)中，通過(guò)物體先后運(yùn)動(dòng)的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，總結(jié)出有理數(shù)加法法則有3條：法則一是同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；法則二是絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；法則三是一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．教師和學(xué)生一起總結(jié)完這些法則，下面緊跟著一道例題，包含兩個(gè)小題：第一道是(-3)+(-9)；第二道是(-4.7)+3.9．可以看到這兩道例題緊扣法則一和法則二，很有代表性．細(xì)看似乎漏掉了什么，比如同號(hào)的兩數(shù)還有一種情況是都是正數(shù)；異號(hào)的兩數(shù)也有正數(shù)大于負(fù)數(shù)的情況；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的加法和一個(gè)數(shù)與0的加法在例題中也未體現(xiàn)．但是在下面緊跟的練習(xí)題第二道中出現(xiàn)：(1)(-4)+(-6)；(2)4+(-6)；(3)(-4)+6；(4)(-4)+4；(5)(-4)+14；(6)(-14)+4；(7)6+(-6)；(8)0+(-6)．顯而易見，習(xí)題對(duì)例題進(jìn)行了很好的補(bǔ)充，除了正數(shù)和正數(shù)相加都涉及到了，這也體現(xiàn)了例題和習(xí)題的精簡(jiǎn)性.例題當(dāng)中的兩道小題都是選取了負(fù)數(shù)，能很好地鞏固負(fù)數(shù)知識(shí)，而不是選取兩個(gè)正數(shù)相加和一個(gè)大的正數(shù)減去一個(gè)小的負(fù)數(shù)，不然與小學(xué)低年級(jí)學(xué)習(xí)的數(shù)的加減法沒有差別，這也引起了學(xué)生的沖突認(rèn)知.教師上課利用這兩道題能讓學(xué)生更好地掌握本課的難點(diǎn)，再加上我們的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生可以完滿地掌握本節(jié)的知識(shí)．同時(shí)，這也說(shuō)明中學(xué)課本中的例題都經(jīng)過(guò)認(rèn)真篩選，都是數(shù)學(xué)中的“精品”，具有很強(qiáng)的典型性和代表性．

2.3.3 緊密關(guān)系

例題與習(xí)題必然是緊密相連、相輔相成的．就好比修建一棟大樓，這里的大樓可以看成學(xué)生和教師所使用的教材，那么一堂課所包含的知識(shí)點(diǎn)和例題不是常說(shuō)的打地基，而要想把地基建得很牢固，是和習(xí)題緊密相關(guān)的，要用習(xí)題來(lái)對(duì)例題進(jìn)行更好的鞏固，進(jìn)而更好地掌握知識(shí)點(diǎn)，以便把基礎(chǔ)打扎實(shí)．后面再將知識(shí)與例題習(xí)題內(nèi)化于心，在經(jīng)歷周測(cè)、月考、期中考試和期末考試后，將知識(shí)點(diǎn)、例題和習(xí)題學(xué)以致用，逐漸地搭建成樓層．后面的大樓能否修建得好，取決于每一步是否足夠穩(wěn)妥，是否將知識(shí)點(diǎn)、例題和習(xí)題完全掌握，它們貫穿于整個(gè)過(guò)程(圖2)．

(3)由于浮選金精礦產(chǎn)率較小，金、鉛浮選分離及鉛細(xì)磨浸出工藝生產(chǎn)成本增加有限，遠(yuǎn)低于所獲鉛精礦以及金、銀增加回收率所增效益。針對(duì)日處理24 t的金浸出系統(tǒng)，半年可收回基建投資。

圖2 例題與習(xí)題的緊密關(guān)系

2.3.4 拔高關(guān)系

就如康德在《論教育學(xué)》中所談及的，學(xué)習(xí)規(guī)則的同時(shí)學(xué)會(huì)對(duì)它的應(yīng)用[4]．一方面，習(xí)題幫助學(xué)生復(fù)習(xí)回憶所學(xué)的新知識(shí)，起到鞏固新知的作用．另一方面，習(xí)題也是例題的一個(gè)拔高，讓學(xué)生在學(xué)會(huì)一些基礎(chǔ)知識(shí)后，將其進(jìn)行更高層次的運(yùn)用，這也是根據(jù)學(xué)生的心理特征來(lái)的，先夯實(shí)基礎(chǔ)，再多層次地運(yùn)用．從例題和習(xí)題在教材中所占的篇幅和數(shù)量關(guān)系來(lái)看，習(xí)題更是一個(gè)載體，提高學(xué)生的思維水平、培養(yǎng)學(xué)生的研究創(chuàng)新意識(shí)和慢慢地積淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)．而且有些習(xí)題自身也是知識(shí)點(diǎn)，是對(duì)教材知識(shí)點(diǎn)的補(bǔ)充和延續(xù)．

例如，在人教版初一教材的有理數(shù)加法過(guò)渡到有理數(shù)的減法時(shí)，有一道實(shí)驗(yàn)探究題“填幻方”．題目如下：

有人建議向火星發(fā)射如圖3的圖案，它叫作幻方，其中9個(gè)格子中的點(diǎn)數(shù)分別是1,2,3,4,5,6,7,8,9．每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的點(diǎn)數(shù)的和都是15．如果火星上有智能生物，那么他們可以從這種“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”了解到地球上也有智能生物(人)．你能將-4,-3,-1,0,1,2,3,4這9個(gè)數(shù)分別填入幻方的9個(gè)空格中，使得處于同一橫行、同一豎列、同一斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)相加都得0嗎？和同學(xué)交流一下，你們填這個(gè)幻方的方法相同嗎？

圖3 幻方

這道題很能吸引學(xué)生眼球，也能啟發(fā)他們的思維，讓其饒有趣味地運(yùn)用有理數(shù)的加法法則二中互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0，也能培養(yǎng)學(xué)生自主探究的意識(shí)和交流表達(dá)的能力．

2.3.5 服務(wù)關(guān)系

例題和習(xí)題是相互服務(wù)的，它們最終都是為知識(shí)點(diǎn)服務(wù)、為學(xué)生的發(fā)展服務(wù)、為教師的傳授服務(wù)．總而言之，最后的消費(fèi)者是學(xué)生和教師．對(duì)于如何更好地做好服務(wù)，我們腦海里面肯定會(huì)冒出來(lái)一個(gè)念頭：首先質(zhì)量要好，保質(zhì)保量．選取的題必須要精，要能直擊教材所要求掌握的知識(shí)點(diǎn)或概念，需要很好地讓學(xué)生明白概念的內(nèi)涵與外延．量要適度，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)或概念的考查要適量，切忌出現(xiàn)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)題太多而另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)吃不飽的現(xiàn)象，這也是很考驗(yàn)教材的編寫者．

(-5)×(-3)，……同號(hào)兩數(shù)相乘；

(-5)×(-3)=+( )，……得正；

5×3=15，……把絕對(duì)值相乘；

所以(-5)×(-3)=15．

又如，(-7)×4，……；

(-7)×4=-( )，……；

7×4=28，……；

所以(-7)×4=( )．

例題可以很好地為后面的習(xí)題服務(wù)，學(xué)生只有在掌握好例題之后，才能又快又準(zhǔn)地解決習(xí)題．這也體現(xiàn)了例題的示范作用．例題和習(xí)題都能很好地為知識(shí)點(diǎn)服務(wù)，為使消費(fèi)者(教師)更好地教、消費(fèi)者(學(xué)生)更好地學(xué)(圖4)．

圖4 例題和習(xí)題與學(xué)生和教師的服務(wù)消費(fèi)關(guān)系

3 建議

3.1 例題和習(xí)題應(yīng)多讓學(xué)生提出問(wèn)題

不論是例題還是習(xí)題，都可以把它們稱作數(shù)學(xué)問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題在學(xué)生學(xué)習(xí)和課堂教學(xué)中具有重要作用．學(xué)生所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅決定著他們學(xué)什么，而且決定著他們?nèi)绾嗡伎?、理解、發(fā)展和使用數(shù)學(xué)．[5]但是筆者現(xiàn)在所接觸的都是在讓學(xué)生解答已經(jīng)給出的問(wèn)題，而不是給出一些已知條件，讓學(xué)生來(lái)提出問(wèn)題自己解答，或是小組一起解決．提出問(wèn)題的高度也是學(xué)生整個(gè)思維或想法的呈現(xiàn)，能讓學(xué)生大膽地去想，因?yàn)楹竺嬉獯穑砸彩怯幸罁?jù)地想．這樣可以更好地發(fā)散學(xué)生思維，而不會(huì)將其束縛在給定的數(shù)學(xué)題中．這或許也會(huì)碰撞出想象不到的智慧．

3.2 例題和習(xí)題之間應(yīng)注重變式

例題和習(xí)題都是為了讓學(xué)生更好地掌握知識(shí)點(diǎn)，但是知識(shí)點(diǎn)的考查有方方面面，如果例題永遠(yuǎn)是正向的，習(xí)題也是正向的，那么長(zhǎng)此下來(lái)勢(shì)必會(huì)加大學(xué)生的定勢(shì)思維．所以習(xí)題應(yīng)該適當(dāng)?shù)刈餍┳兪?，而不是?jiǎn)單地?fù)Q個(gè)數(shù)字或換個(gè)情境，要讓類型更多樣；也可以稍微地與考試接軌一下，讓學(xué)生覺得自己做習(xí)題有不一樣的收獲，而不是將學(xué)生推向一本又一本的練習(xí)冊(cè)、一張又一張的教案．總之，讓學(xué)生“吃透教材”，便會(huì)有滿滿的收獲．

3.3 例題和習(xí)題應(yīng)更有針對(duì)性

眾所周知，學(xué)生的水平大多參差不齊，在實(shí)際教學(xué)中絕大部分習(xí)題往往是不區(qū)分學(xué)習(xí)能力以及學(xué)習(xí)成績(jī)的，大家都學(xué)習(xí)同樣的例題，都做著同樣的習(xí)題，缺乏例題和習(xí)題的針對(duì)性.例題和習(xí)題應(yīng)體現(xiàn)教學(xué)的層次性．在數(shù)量上要有彈性，不搞一刀切，給學(xué)生一個(gè)自主選擇、協(xié)調(diào)發(fā)展的空間，讓不同層次的學(xué)生都獲得成功的體驗(yàn)．在內(nèi)容上要具有針對(duì)性：一要針對(duì)本節(jié)內(nèi)容.二要針對(duì)不同層次的學(xué)生.可以在例題后面適當(dāng)附帶能力要求高的思考題以滿足一些“吃不飽”學(xué)生的要求.三要針對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，不能將例題習(xí)題演變成智力題．[6]

3.4 例題和習(xí)題應(yīng)適當(dāng)增加實(shí)踐活動(dòng)題

現(xiàn)在的例題和習(xí)題大多數(shù)都還是在紙面上的，很少有讓初中生自己動(dòng)手操作的題目、實(shí)踐活動(dòng)的題目．曾經(jīng)在文獻(xiàn)[7]中看到過(guò)這樣一個(gè)案例，這個(gè)例子來(lái)自凱莉·埃瑟里奇老師．她描述了一個(gè)關(guān)于10年級(jí)英國(guó)學(xué)生寫有關(guān)環(huán)境論文項(xiàng)目的情況．學(xué)生可以選擇他們研究的環(huán)境問(wèn)題，但是必須展現(xiàn)出與他們所選問(wèn)題相關(guān)的知識(shí)以及寫作技巧和交流技巧．在文章完成之后，學(xué)生們要運(yùn)用他們所寫的文章中的知識(shí)去處理現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題．一組對(duì)文學(xué)并沒有特殊的喜愛的男生，寫了有關(guān)水污染的問(wèn)題．這些男生在小組內(nèi)協(xié)商完選擇了一條在他們學(xué)校附近并被污染了的道格河作為目標(biāo)．他們想出了一個(gè)解決方案并制定了計(jì)劃．隨后，他們獲得了當(dāng)?shù)貓?bào)紙捐贈(zèng)的一個(gè)價(jià)值3 400美元的廣告，以擴(kuò)大人們對(duì)這個(gè)問(wèn)題的關(guān)注．他們找到了一家咖啡廳，通過(guò)提供某種咖啡飲品來(lái)籌集資金．在學(xué)校放假兩周后——需要注意的是這已經(jīng)是在完成學(xué)分課程之后——這些孩子和當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)一起清理河道并向觀眾說(shuō)明社區(qū)居民應(yīng)該如何去做才能保證道格河未來(lái)不被污染．[7]當(dāng)然，這在數(shù)學(xué)教材中不太適用，但是總說(shuō)要提高學(xué)生的興趣，不能光從教師的教法入手，也要深入其源頭，從這個(gè)知識(shí)點(diǎn)、這個(gè)數(shù)學(xué)題自身出發(fā)．不得不說(shuō)，這對(duì)教材編寫者是一個(gè)很大的考驗(yàn)，但是一旦成功，會(huì)大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，因?yàn)檫@對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)已經(jīng)不僅僅是一個(gè)任務(wù)，而是已經(jīng)把它當(dāng)做自己的事來(lái)完成．

3.5 例題和習(xí)題應(yīng)以心理學(xué)知識(shí)為依據(jù)

數(shù)學(xué)是一門學(xué)科，當(dāng)它由教師傳授給學(xué)生時(shí)就變成了一門教育學(xué)科．在學(xué)習(xí)教育時(shí)我們都知道人的發(fā)展是有階段性的，而這種階段性發(fā)展與心理學(xué)有很大的關(guān)聯(lián)．皮亞杰認(rèn)為3～7歲的孩子處于前運(yùn)算階段，需要靠具體形象來(lái)進(jìn)行思維；7～12歲的孩子處在具體運(yùn)算思維階段，可以進(jìn)行一些邏輯推理，但還是要依靠具體的事物來(lái)進(jìn)行思維；12～15歲的孩子處于形式運(yùn)算階段．初中階段的孩子開始從直觀思維向抽象思維過(guò)渡．還有從什么時(shí)候開始孩子有了可逆思維、在什么時(shí)候發(fā)展得更加完善，這都是教材編寫者在例題習(xí)題編排的時(shí)候需要內(nèi)化于心的．抓住思維發(fā)展的階段，也就是抓住了教育的關(guān)鍵期，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候給予學(xué)生合適的例題習(xí)題，這對(duì)掌握知識(shí)的作用不可估量．正如維果斯基提出的“最近發(fā)展區(qū)”理論，可以通過(guò)設(shè)置梯度遞進(jìn)的例題和習(xí)題，來(lái)突破學(xué)生的每一個(gè)最近發(fā)展區(qū)．