溫攀， 溫瑞智， 任葉飛

(1.中國地震局 工程力學(xué)研究所，黑龍江 哈爾濱 150080；2.中國地震局地震工程與工程震動重點(diǎn)實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080)

地震動輸入是結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力分析的前提，對結(jié)構(gòu)如何有效進(jìn)行抗震設(shè)計具有重要的意義。一般在對結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力分析時采用一致地震動輸入，這種輸入條件對于尺寸較小的結(jié)構(gòu)來說其影響可以忽略不計，但對于超長、大跨結(jié)構(gòu)，例如跨海大橋、機(jī)場、體育館、輸電塔等而言，由于地震波所引起的地面運(yùn)動在本質(zhì)上是一種隨時間和空間而變化的現(xiàn)象。若仍采用一致輸入必然會影響最終結(jié)構(gòu)，不利于抗震設(shè)計。且多位學(xué)者已經(jīng)證明地震動的空間性對大跨結(jié)構(gòu)具有較大的影響[1-2]。理想狀態(tài)下，應(yīng)用同一次地震所觸發(fā)的臺陣中不同臺站的地震記錄來對結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析是最為所接受的，但全球范圍內(nèi)，臺陣數(shù)量稀少且臺陣中的不同臺站的間距及方位并不一定滿足結(jié)構(gòu)的尺寸。因此，如何形成一套較為合理的空間相關(guān)多點(diǎn)地震動的合成方法對于抗震設(shè)計領(lǐng)域來說是至關(guān)重要的。

針對如何有效進(jìn)行空間相關(guān)多點(diǎn)地震動的合成，近幾年來國內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。Hao[3]提出了空間地震動的合成方法，該法認(rèn)為所合成的每個點(diǎn)與之前生成的每個點(diǎn)相關(guān)；Deodatis[4]提出了一種在概念上與Hao類似的方法，主要針對功率譜密度函數(shù)(PSDF)進(jìn)行了迭代升級；而后屈鐵軍[5-6]對其方法進(jìn)行相應(yīng)的改變，認(rèn)為每個點(diǎn)不僅僅與其后所生成的各個點(diǎn)相關(guān)，而與所生成其余各點(diǎn)均相關(guān)。部分專家[7-9]通過引入小波函數(shù)來生成頻譜兼容的人工地震記錄?；诜蔷鶆驁龅?，引入了場地轉(zhuǎn)化函數(shù)來實現(xiàn)不同場地類型下的空間地震動合成[10-12]。在實現(xiàn)頻譜雖然眾多學(xué)者已經(jīng)對合成空間相關(guān)地震動的方法做了很大的改進(jìn)，合成方法也日趨成熟。但絕大部分的方法合成方法并未涉及實際地震的因素，僅僅是通過規(guī)范中的目標(biāo)設(shè)計譜或功率譜模型，這就使得所合成的地震動記錄缺乏實際地震記錄的特性；更重要的是，抗震規(guī)范中僅給出了包絡(luò)函數(shù)2個時間點(diǎn)的大小[13]，卻并未給出其與地震動的持時的關(guān)系。這就很容易導(dǎo)致地震動的尾波過長或過短，很明顯不符合實際地震動的波形。因此，本文通過引入實際地震記錄的波形來解決該缺陷。

針對該不足，本文通過引入實測記錄將目標(biāo)設(shè)計譜分解為實測地震動加速度反應(yīng)譜及兩者之間的校正項。由于所選記錄對最終模擬結(jié)果影響較大，因此需嚴(yán)格按照選波流程進(jìn)行地震動的選取，然后基于所選記錄進(jìn)行空間地震動模擬。而本文工作重心為方法的實施，為簡化流程略過選波流程，隨機(jī)選取日本K-net網(wǎng)站中某一記錄，通過一算例，分別合成距其50 m、100 m 2點(diǎn)的地震動時程。然后基于該法，分別研究了不相干效應(yīng)、行波效應(yīng)對合成空間地震動的影響程度。

1 空間相關(guān)多點(diǎn)非平穩(wěn)地震動合成

1.1 基于隨機(jī)振動理論的功率譜合成

地震動的空間合成由加速度功率譜密度函數(shù)PSD計算。而《規(guī)范》給出的是反應(yīng)譜并非功率譜，為了與《規(guī)范》對應(yīng)，采用迭代求解方法，由規(guī)范反應(yīng)譜生成功率譜[14]。具體步驟如下：

1)近似地選擇輸入PSD初始值，Si0(ωk)，k=0,1,…,n，其中n表示在有效頻域內(nèi)描述PSD曲線的離散頻率個數(shù)。為了減少迭代次數(shù)，功率譜與反應(yīng)譜的近似公式作為輸入功率譜的初始值：

(1)

式中：ξ為阻尼比；RSA為記錄的加速度反應(yīng)譜；T為地震動持時；q為概率系數(shù)，通常q≥0.85，本文取其值為0.85。

2)對于阻尼比為ξ、圓頻率為ωk的單自由度體系，其絕對加速度峰值：

Am(ωk)=pσ0(ωk)

(2)

式中：p、σ0為絕對加速度過程的峰值因子及均方根。

3)通過引入擬合優(yōu)度指數(shù)Fg來判定其與目標(biāo)設(shè)計譜之間的吻合度，各圓頻率下Fg取值：

(3)

并以各圓頻率下Fg的均值作為最終結(jié)果，當(dāng)其大于9.9時即可輸出結(jié)果S(ω)，否則繼續(xù)進(jìn)行迭代，直到滿足條件為止：

(4)

以上為基于隨機(jī)振動理論求解目標(biāo)功率譜的迭代過程。在Rosenblueth提出的“平方和的平方根SRSS陣型組合的基礎(chǔ)上，將目標(biāo)設(shè)計譜分解為2種因素的疊加，分別是已知地震動記錄的加速度反應(yīng)譜RSAR(ω，ξ)和為匹配功率譜密度函數(shù)的一個校正項RSAS(ω，ξ)。其中α為記錄地震的放縮系數(shù)，其目的是在不超過目標(biāo)設(shè)計譜的前提下，使所生成的空間地震動含有實際地震動記錄的程度達(dá)到最大化，分解過程：

(5)

因此，最終合成的加速度時程可表示為2種因素的疊加：

u(t)=αuR(t)+uS(t)

(6)

式中uR(t)、uS(t)分別為記錄項與校正項。

1.2 空間相關(guān)多點(diǎn)平穩(wěn)地震動的合成公式

基于1.1節(jié)所生成的目標(biāo)功率譜S(ω)，由于本文所用到的空間尺寸是一定的，各點(diǎn)間的自功率譜密度函數(shù)相差不大，這里可以假設(shè)每個測點(diǎn)都有相同的加速度功率譜密度函數(shù)，即S(ω)。因此，所要合成的各點(diǎn)地震動的自功率譜及各點(diǎn)之間的互功率譜可用功率譜矩陣來表示。所組成的多點(diǎn)地震動功率譜矩陣：

(7)

(8)

式中：γnm(iωk)為所選擇的相干函數(shù)模型；|γnm(iωk)|為遲滯相干函數(shù)，用來表征2點(diǎn)地震動的相關(guān)性；ωdnm/vapp為2點(diǎn)地震動的相位角，用來表征其行波效應(yīng)；dnm表示2點(diǎn)間沿波傳播方向的投影的距離；vapp為視波速。由于該矩陣為Hermite矩陣，可對其進(jìn)行cholesky分解，將其分解為下三角矩陣L(iωk)和上三角矩陣LH(iωk)。

每個測點(diǎn)的平穩(wěn)地震動合成公式為：

(9)

式中：Aim(ωk)、θim(ωk)表示第m點(diǎn)與第i點(diǎn)相關(guān)的第k個頻率分量的幅值和相位角；φk表示隨機(jī)相位角，在(0,2π)區(qū)間上均勻分布。

1.3 空間地震動的非平穩(wěn)化

實際地震記錄是非平穩(wěn)的，工程中通常引入規(guī)范中的包絡(luò)函數(shù)φ(t)與上述所求的平穩(wěn)過程相乘以實現(xiàn)地震動的非平穩(wěn)性，包絡(luò)函數(shù)表示為：

(10)

式中：t1、t2以所選記錄的Husid函數(shù)在5%和95%時所對應(yīng)的時刻代替規(guī)范中的固定值。

理論上，通過目標(biāo)功率譜生成的地震動加速度反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜存在的差異并不大，滿足式(4)大于等于9.9。如果結(jié)果不滿意，可繼續(xù)通過上述迭代公式繼續(xù)進(jìn)行一次迭代，一般情況下，迭代一次后的結(jié)果可以很好的符合目標(biāo)反應(yīng)譜。

2 合成實例

選擇7度多遇地震、2類場地、第1組地震分組，其對應(yīng)反應(yīng)譜的水平地震影響系數(shù)最大值αmax=0.08，特征周期Tg=0.25 s，結(jié)構(gòu)阻尼比ξ=0.05。根據(jù)第1.1節(jié)中所描述的分解目標(biāo)設(shè)計譜原理引入一實測地震動。以日本K-net網(wǎng)站中2016-04-15(UTC)日本熊本縣發(fā)生的地震為例，并選取該次地震中EHM016臺站所記錄的EW分量。該記錄時程及其Husid函數(shù)、空間各點(diǎn)的位置關(guān)系如圖1所示，其中點(diǎn)1為地震波首次傳播到達(dá)的位置。由于地震波是從震源向四周傳播，因此可近似認(rèn)為場地上的某點(diǎn)與震中的連線即為地震波的傳播方向。即由點(diǎn)1向點(diǎn)2、3傳播的方向即為視波速的方向；通過Husid函數(shù)所求的t1、t2、β分別為15.61、40.96、0.153 9 s?？紤]到行波效應(yīng)和不相干效應(yīng)，令視波速vapp=400 m/s，相干函數(shù)模型采用Abrahamson模型[15]，該模型表達(dá)為：

arctanh|γ(f,d)|=(a1+a2·d)·

{exp[(b1+b2·d)f]+1/3fc}+k

(11)

式中：f為頻率，d為2臺站間的距離；a1、a2、b1、b2、c、k為擬合參數(shù)，Abrahamson[15]已求出各參數(shù)取值分別為2.54、-0.012、-0.115、-0.000 84、-0.878、0.35。

模擬過程中首先將目標(biāo)設(shè)計譜分為由實測記錄的加速度反應(yīng)譜RSAR(ω，ξ)及校正項的加速度反應(yīng)譜RSAS(ω，ξ)。由式(7)求得α=3.63，將記錄加速度反應(yīng)譜放縮后，通過式(5)求得校正項反應(yīng)譜，其表達(dá)形式如圖2(a)所示，將校正項的反應(yīng)譜作為臨時目標(biāo)譜進(jìn)行功率譜迭代，迭代結(jié)果如圖2(b)所示。其Fg為9.19不滿足輸出條件，黑色點(diǎn)劃線為通過隨機(jī)振動理論迭代1次后的結(jié)果，此時Fg為9.92,滿足最終的輸出條件；圖2(c)為迭代最終結(jié)果所代表的臨時目標(biāo)功率譜。由圖2(b)所示迭代過程可知，由近似公式所求結(jié)果與目標(biāo)值較為接近，但仍存在一定誤差，進(jìn)而通過迭代滿足條件后所求結(jié)果幾乎與目標(biāo)值吻合。

圖1 實測記錄及其Husid函數(shù)Fig.1 The calculation process of synthetic spatial correlation ground motion

在所求臨時目標(biāo)功率譜基礎(chǔ)上，通過第1.2節(jié)所述進(jìn)行空間地震動模擬，所模擬各點(diǎn)的反應(yīng)譜與目標(biāo)譜的對比情況如圖3所示，圖3(a)～(c)為通過臨時目標(biāo)設(shè)計譜生成的空間地震動時程反應(yīng)譜，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)1、2與目標(biāo)譜相比較低、點(diǎn)3較高，分別各進(jìn)行一次迭代后，匹配情況分別如圖3(d)～(f)所示，可以發(fā)現(xiàn)迭代一次后的反應(yīng)譜可以很好的符合臨時目標(biāo)譜。將臨時目標(biāo)譜與實測反應(yīng)譜疊加后，最終與規(guī)范設(shè)計譜的對比情況如圖4所示，合成的加速度時程及其各點(diǎn)相干函數(shù)與目標(biāo)值對比如圖5所示，從圖中可以看出，不同地震動之間的相干函數(shù)計算值與目標(biāo)值吻合較好。

圖2 目標(biāo)譜迭代過程及所生成的目標(biāo)功率譜Fig.2 The iterative process of target spectrum and the generated target power spectrum

圖3 合成地震動反應(yīng)譜與校正項反應(yīng)譜對比Fig.3 Compare synthetic ground motion response spectrum with correction term spectrum

圖4 規(guī)范設(shè)計譜的最終對比情況Fig.4 Final comparison of specification design spectrum

圖5 合成的加速度時程及相干函數(shù)對比Fig.5 The synthetic acceleration time history and the comparision of coherence funciton

3 空間地震動合成的影響參數(shù)研究

在多點(diǎn)地震動合成過程中，導(dǎo)致地震動空間變化的重要因素大致分為以下3類：1)場地效應(yīng)，主要由于不同場地的地質(zhì)條件不同引起地震波的振幅和頻率變化；2)不相干效應(yīng)，主要由于地震波在不同土層介質(zhì)中傳播的散射和反射所引發(fā)；3)行波效應(yīng)，主要由于同所致。這3種因素分別與功率譜函數(shù)S(ω)、遲滯相干函數(shù)|γnm(iωk)|、視波速vapp有關(guān)。其中遲滯相干函數(shù)主要采用現(xiàn)有的相干函數(shù)模型；視波速可通過實測獲得，對于大部分無法進(jìn)行實測的場地，可以近似通過規(guī)范中各場地類型下的剪切波速范圍來代替視波速。

由于本文中局部區(qū)域所用各點(diǎn)的自功率譜相同，因此忽略了場地效應(yīng)對結(jié)果的印象。為進(jìn)一步研究視波速、所選取相干函數(shù)模型對空間地震動合成的影響，基于本文所應(yīng)用的空間地震動合成方法，分別選用不同大小的視波速或不同相干函數(shù)模型同時進(jìn)行合成實例中3點(diǎn)的空間地震動合成。由于在合成過程中，由式(9)可以看出點(diǎn)1并沒有考慮不相干效應(yīng)和行波效應(yīng)，僅僅通過該點(diǎn)的目標(biāo)功率譜合成。因此，只通過對比點(diǎn)2、點(diǎn)3在不同參數(shù)下的結(jié)果來驗證視波速及相干函數(shù)模型的影響。其中，視波速的大小選用100～1 500 m/s以100為步長的15組，其中，點(diǎn)2、3在不同視波速下的對比如圖6所示；同時除本文合成實例中選取Abrahamson模型外，又選取了4種比較常用的相干函數(shù)模型，表達(dá)式如下表1所示，其中，d表示兩側(cè)點(diǎn)間距，ω為圓頻率，為統(tǒng)一變量，視波速統(tǒng)一設(shè)為400 m/s，點(diǎn)2、3在不同相干函數(shù)模型下的對比如圖7所示。

圖6 不同視波速下所合成的空間地震動Fig.6 The spatial ground motion synthesized under different apparent wave velocities

表1 所選取模型及其表達(dá)形式Table 1 The selected model and its expression form

圖7 不同相干函數(shù)模型下所合成的空間地震動Fig.7 Spatial seismic motions synthesized under different coherent function models

由圖6可以看出，點(diǎn)2在不同視波速下所合成的加速度反應(yīng)譜除少數(shù)情況下存在一定偏差，在整體上并無明顯變化趨勢；點(diǎn)3在100～500 m/s內(nèi)所合成的加速度反應(yīng)譜在中短周期上要略大于其他范圍，且在超過500 m/s后，視波速的增大對加速度影響減弱；所合成的加速度峰值僅在一定范圍內(nèi)波動，無明顯變化趨勢。造成行波效應(yīng)對空間地震動合成無明顯影響的原因可能是由于局部區(qū)域內(nèi)各合成點(diǎn)的距離有限，地震波到達(dá)不同點(diǎn)的時間差異并不明顯，且隨著視波速增大，這種差異趨向于零。由圖7可以看出，點(diǎn)2在采用不同相干函數(shù)模型下所合成的加速度反應(yīng)譜在中短周期內(nèi)存在微弱的局部性差異，在長周期范圍內(nèi)無明顯影響；點(diǎn)3在采用不同相干函數(shù)模型下所合成的加速度反應(yīng)譜在中短周期內(nèi)存在明顯差異，且這種差異明顯強(qiáng)于當(dāng)視波速較大情況下下所造成的差異，在長周期范圍內(nèi)差異相對較弱；同時，點(diǎn)2、3所合成的加速度峰值在采用不同相干函數(shù)模型下也是不同的。

另一方面，點(diǎn)3對參數(shù)改變的敏感性要強(qiáng)于點(diǎn)2，這可能是由于在進(jìn)行空間地震動合成時，在生成第n個點(diǎn)的時候，只考慮其與已生成的前n-1個點(diǎn)的地震動相關(guān)性，因此在合成過程中，隨著生成個數(shù)的增加，參數(shù)改變所造成的影響也呈現(xiàn)疊加的趨勢。

綜上分析，可以得出，在合成空間地震動的過程中，不相干效應(yīng)發(fā)生變化時對結(jié)果的影響要強(qiáng)于行波效應(yīng)發(fā)生變化時對結(jié)果的影響。

4 結(jié)論

1)通過引入實測記錄，將目標(biāo)設(shè)計譜分解為實測記錄反應(yīng)譜及兩者之間校正項，并以所選記錄的Husid函數(shù)確定地震動非平穩(wěn)化的時間參數(shù)代替包絡(luò)函數(shù)中固定的時間參數(shù)。以此所模擬地震動在波形上能良好保持實測記錄的特性，同時不同點(diǎn)地震動之間滿足空間相關(guān)性要求。而選用不同記錄對結(jié)果影響較大，后續(xù)工作需與選波工作對接以選取合理記錄。

2)通過設(shè)置一系列不同視波速及相干函數(shù)模型，對比發(fā)現(xiàn)不相干效應(yīng)發(fā)生變化時對結(jié)果的影響要強(qiáng)于行波效應(yīng)發(fā)生變化時對結(jié)果的影響；而且在依次合成各點(diǎn)的過程中，由于每點(diǎn)與前面已合成各點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)，因此各效應(yīng)的影響呈現(xiàn)遞增趨勢。