楊穎

[摘 要]定理的教學(xué)不能只是告訴學(xué)生運用結(jié)論去解題，而應(yīng)該展現(xiàn)定理探究及驗證的完整過程，教師要鼓勵學(xué)生大膽動手去畫圖、實驗、猜想、驗證、分析、歸納，讓學(xué)生經(jīng)歷“用適當(dāng)方法提出問題、用適當(dāng)方法進(jìn)行特殊化探索、猜想一般性結(jié)論、分析證明思路、陳述證明過程、多樣化表達(dá)定理”的完整過程，從而使學(xué)生逐步掌握幾何研究的一般方法.探討幾何定理教學(xué)方法與策略，能提升教師的教學(xué)能力，提高課堂教學(xué)效率.

[關(guān)鍵詞]角的平分線;性質(zhì);教學(xué)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）08-0008-02

初中幾何證明是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的重要內(nèi)容，研究幾何定理的教學(xué)方法是學(xué)生學(xué)好初中幾何的前提.教師在進(jìn)行定理教學(xué)時，如果忽略對定理本身的探究，則不利于學(xué)生幾何直觀能力以及推理能力的培養(yǎng).本文展示湖北省宜昌市西陵區(qū)“幾何定理教學(xué)研討會”上的一節(jié)公開課.本課通過定理的引入、定理的證明、定理的表達(dá)以及應(yīng)用等環(huán)節(jié)，展現(xiàn)了幾何定理教學(xué)的完整過程.現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)介紹如下，與同行分享.

一、教學(xué)設(shè)計

環(huán)節(jié)一：從生活中的角平分線到幾何中的角平分線

問題1：在紙片上畫一個角，怎樣得到這個角的平分線？（可以用量角器，也可以用折紙的方法）

追問：請大家評價一下，在實際生活中，這些方法可行嗎？（量角器比較方便，但是有誤差;折疊的方法很便捷，但是在木板、鋼板等材料上操作，此方法就不可行了）

問題2：如圖1，是一個平分角的儀器，其中[AB=AD]，[BC=DC]，將點A放在角的頂點.AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個角的平分線，你能說明它的道理嗎？

分析：在角平分儀中，[AB=AD]，B[C=DC]，AC是公共邊，符合全等三角形“邊邊邊”的判定條件.

問題3：通過上面的探究，你有什么啟發(fā)？你能用尺規(guī)作圖作已知角的平分線嗎？請你試試看.

分析：引導(dǎo)學(xué)生將實物模型抽象為數(shù)學(xué)模型，并運用全等三角形的知識進(jìn)行證明，明確作圖的理論依據(jù).

作法：以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N;分別以M、N為圓心，大于[12MN]的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點C;作射線OC，射線OC即為所求，如圖2所示.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生運用全等三角形的知識，闡述角平分儀的幾何原理，感受數(shù)學(xué)理論與實際生產(chǎn)應(yīng)用的聯(lián)系.用尺規(guī)作角的平分線，增強(qiáng)作圖技能，讓學(xué)生在簡單推理的過程中體會作法的合理性.

環(huán)節(jié)二：探究角平分線的性質(zhì)

問題4：用折紙的方法作角平分線，使角的兩邊疊合在一起，把對折后的紙片繼續(xù)折疊，第二次折疊后的兩條折痕長度有何關(guān)系？任意折疊呢？若折出兩條折痕垂直于角的兩邊，觀察兩條折痕，你能得出什么結(jié)論？

設(shè)計意圖：折紙的方法簡潔明了，增加了幾何直觀性，學(xué)生可以依據(jù)測量、疊合等方法得出“兩條線段相等”的結(jié)論.首先由一般到特殊，告訴學(xué)生在研究幾何性質(zhì)時，我們總是會研究圖形之中存在的一些特殊位置關(guān)系及特殊數(shù)量關(guān)系;然后讓學(xué)生對這一結(jié)論加以描述.學(xué)生的說法多種多樣，通過個人理解、小組理解和全班理解，相互補(bǔ)充、相互糾正、共同提高;最后得出關(guān)于角平分線的性質(zhì)的猜想.

猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

問題5：如何證明這個猜想？

如圖3，已知OC平分[∠AOB]，點P在OC上，[PD⊥OA]于D，[PE⊥OB]于E.

求證：[PD=PE].

分析：根據(jù)全等三角形中“角角邊”的判定方法證明[△DOP≌△EOP]，然后很容易就可以得出[PD=PE]，從而證明出了猜想是正確的.

環(huán)節(jié)三：定理的表達(dá)

文字語言：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

圖形語言：如圖3.

符號語言：∵[∠AOC=∠BOC]，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]，

∴[PD=PE].

問題6：通過剛才的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？

1.明確命題中的已知和求證;

2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證;

3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.

設(shè)計意圖：通過問題串引導(dǎo)學(xué)生動手探究、觀察猜想和推理證明，體驗幾何證明的基本思路，從而提高邏輯思維理能力.

環(huán)節(jié)四：定理的應(yīng)用

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析幾何證明的思路，使學(xué)生思維的嚴(yán)密性得到了加強(qiáng)，思維的指向性更加清晰.分析法和綜合法是幾何證明中常用的基本方法，教學(xué)時充分關(guān)注學(xué)生思維習(xí)慣的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)會方法到學(xué)會思考.

二、教學(xué)思考

本節(jié)課的教學(xué)基于章建躍博士提出的“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”而設(shè)計.

1.理解數(shù)學(xué)

角的平分線的性質(zhì)反映了角的平分線的基本特征，是證明線段之間相等關(guān)系的重要工具.本節(jié)課的內(nèi)容是角平分線的定義和全等三角形等知識的運用和延續(xù)，同時又為后面進(jìn)一步研究幾何圖形的特征提供思路和方法.在設(shè)計本節(jié)課時，教師首先思考如下問題：什么是角平分線？怎樣畫出角平分線？角平分線有什么作用？想清楚這些問題，對教師理解數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系是有幫助的，能幫助教師迅速厘清教學(xué)的基本思路.本節(jié)課以全等三角形的相關(guān)知識為基礎(chǔ)，從生活中的角平分儀器入手，引入數(shù)學(xué)中的角平分線.通過學(xué)生尺規(guī)作圖的活動，讓學(xué)生直觀認(rèn)識角平分線并分析其內(nèi)在特征，歸納得出結(jié)論，再用幾何推理證明結(jié)論.用三種語言——文字語言、圖形語言、符號語言描述性質(zhì)，最后再運用性質(zhì).這些教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計正是基于對教學(xué)內(nèi)容的理解.

2.理解學(xué)生

美國著名教育心理學(xué)家奧蘇伯爾曾說：“影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué).”由此可知，教學(xué)活動應(yīng)圍繞著學(xué)生的認(rèn)知起點展開.在七年級，學(xué)生已經(jīng)比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了角的相關(guān)知識以及角平分線的定義，在此基礎(chǔ)上，八年級上冊教材編排了角的平分線的性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容.在教學(xué)中，如果不注意新舊知識的銜接，很容易讓學(xué)生有定理從天而降的感覺，從而無法產(chǎn)生對新知識的學(xué)習(xí)興趣.此外，如果壓縮定理探究過程，過快地使學(xué)生聚焦幾何題的解決而不是邏輯推理能力的培養(yǎng)，必將導(dǎo)致學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的“苦海無邊”.

學(xué)生學(xué)習(xí)幾何難，最主要的原因是在學(xué)習(xí)過程中沒有形成一定的幾何直觀能力以及幾何推理能力.因此，在幾何教學(xué)中，尤其要關(guān)注對學(xué)生這兩方面能力的培養(yǎng).為了幫助學(xué)生加深對幾何圖形的直觀認(rèn)識，教學(xué)中可以采取讓學(xué)生自己畫圖觀察或利用學(xué)具來體現(xiàn)幾何圖形的變化等方法.

3.理解教學(xué)

角的平分線的性質(zhì)是初中幾何教學(xué)中非常重要的內(nèi)容，在圖形證明和計算中都有廣泛應(yīng)用.通過本節(jié)課的教學(xué)要讓學(xué)生體驗研究一個幾何圖形的一般思路：背景→定義→性質(zhì)、判定→運用.

數(shù)學(xué)定理是分析數(shù)學(xué)問題以及推理證明的重要依據(jù)，弄清定理的來龍去脈，不僅有利于學(xué)生條理清晰地說理及證明，而且也是學(xué)生形成邏輯思維的前提.定理的教學(xué)不能只是告訴學(xué)生運用結(jié)論去解題，而應(yīng)該展現(xiàn)定理探究及驗證的完整過程，教師要鼓勵學(xué)生大膽動手去畫圖、實驗、猜想、驗證、分析、歸納，讓學(xué)生經(jīng)歷“用適當(dāng)方法提出問題、用適當(dāng)方法進(jìn)行特殊化探索、猜想一般性結(jié)論、分析證明思路、陳述證明過程、多樣化表達(dá)定理”的完整過程，從而使學(xué)生逐步掌握幾何研究的一般方法.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）