葛敏輝

[摘 要]“小數(shù)點(diǎn)搬家”的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要是探索小數(shù)點(diǎn)位置移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律，緊扣本質(zhì)提出問題，通過問題導(dǎo)引學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生真正理解規(guī)律背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。通過問題導(dǎo)學(xué)，激活學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，層層深入地引領(lǐng)學(xué)生探索規(guī)律、深化理解，從而體會到十進(jìn)位值制的優(yōu)越性。

[關(guān)鍵詞]理解;本質(zhì);問題;導(dǎo)學(xué)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0011-04

“小數(shù)點(diǎn)搬家”這一課在不同的教材里有不同的要求，有些教材單獨(dú)給它安排了1課時，有些教材卻沒有。這一內(nèi)容到底該不該教？如果教，要教給學(xué)生什么？怎樣才能幫助學(xué)生理解這個規(guī)律背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)？這值得一線教師深入思考、探索和實(shí)踐。

一、學(xué)前思考

（一）教之困——可以不教嗎？

北京海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué)的陳千舉老師通過研究發(fā)現(xiàn)，不管有沒有專門學(xué)習(xí)“小數(shù)點(diǎn)搬家”這一內(nèi)容，學(xué)生在解答相關(guān)題目時并沒有明顯差異。那么，有的教材為什么要安排這一內(nèi)容呢？

（二）學(xué)之惑——小數(shù)點(diǎn)會搬家嗎？

在學(xué)習(xí)“小數(shù)點(diǎn)搬家”的過程中，經(jīng)常有學(xué)生產(chǎn)生疑問：小數(shù)點(diǎn)一直在數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的中間，并沒有“搬家”，教材是不是錯了？數(shù)學(xué)課堂應(yīng)關(guān)注學(xué)生的真問題，以問導(dǎo)學(xué)，所以本節(jié)課就可以這個問題為核心，引領(lǐng)學(xué)生深入探究“小數(shù)點(diǎn)會搬家嗎？到底是誰在搬家？為什么叫小數(shù)點(diǎn)搬家？”這樣，有了真問題的課堂，學(xué)習(xí)才會真正發(fā)生。

（三）學(xué)情分析——理解水平如何？

為了了解學(xué)生對于“小數(shù)點(diǎn)搬家”的理解水平，筆者對四年級130名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。

【問題1】觀察0.01、0.10、1.00這組數(shù)據(jù)，小數(shù)的大小發(fā)生了什么變化？

[ 特征描述 占比 水平0 錯誤描述 3.1% 水平1 籠統(tǒng)描述“從小到大” 14.6% 水平2 描述“相差關(guān)系” 3.8% 水平3 描述“倍比關(guān)系” 78.5% ]

通過分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在學(xué)習(xí)“小數(shù)點(diǎn)搬家”之前，已經(jīng)有78.5%的學(xué)生能描述數(shù)據(jù)之間的倍比關(guān)系。那么學(xué)生是否能解釋這種變化？為此，筆者隨機(jī)對40名學(xué)生進(jìn)行了訪談，其中有24名學(xué)生可以借助十進(jìn)制、位值制來解釋這種變化，有3名學(xué)生能借助元角分來解釋，二者占全部學(xué)生的67.5%。

【問題2】你認(rèn)為是誰的變化引起小數(shù)的大小發(fā)生變化？

[ 特征描述 占比 水平0 錯誤描述 37.7% 水平1 數(shù)據(jù)中“形”變化 3.1% 水平2 十進(jìn)制或數(shù)位變化 26.9% 水平3 1的位置變化 32.3% ]

水平1的學(xué)生關(guān)注的是數(shù)據(jù)中形的變化，包括0的位置變化、0和1的位置交換以及“小數(shù)點(diǎn)的搬家”;水平2的學(xué)生能結(jié)合十進(jìn)制、數(shù)位等已有知識關(guān)注到“十進(jìn)制或者數(shù)字的數(shù)位發(fā)生變化，引發(fā)這組小數(shù)大小的變化”;水平3的學(xué)生能感受到“因?yàn)?所在的數(shù)位不同，所以位值不同引發(fā)了數(shù)據(jù)的變化”的本質(zhì)。

基于以上情況，筆者有了以下的學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)：學(xué)生已經(jīng)可以借助數(shù)位順序表、十進(jìn)制、位值制等知識描述0.01、0.10、1.00的大小變化及關(guān)系，且思維已有一定的抽象水平，因此教材中大篇幅地借助元角分以及直觀模型圖來說明大小關(guān)系這個環(huán)節(jié)可以刪去;可以問題引導(dǎo)學(xué)生通過遷移、自學(xué)、觀察、比較、辨析等深度理解“小數(shù)點(diǎn)搬家”的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維的生長。

二、學(xué)習(xí)活動

（一）任務(wù)驅(qū)動，喚醒學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

1.觀察數(shù)字1在數(shù)位順序表中的位置變化，初步感知數(shù)的大小變化

師：大家已經(jīng)很熟悉數(shù)位順序表了。數(shù)字1在個位安了一個家，你說這是幾??？（在數(shù)位順序表的個位貼上“數(shù)字1”）

生1：1。

師：這個1很調(diào)皮，它想“搬家”了，它“搬到”了十位，這時候你會用哪個數(shù)來表示呢？

生2：10。

師：為什么要在1后面添1個0？

生3：因?yàn)闆]有0它就變成了1。

生4：要用0占位。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生4：數(shù)字1“搬家”后，改變了位置，數(shù)的大小也變了。

生5：1擴(kuò)大了10倍，變成了10。

生6：乘10，1×10=10。

師：也就是，“1→10”得到的數(shù)是原數(shù)的10倍（也就是乘10）。

2.深入體驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)字移動位置的變化規(guī)律

師：現(xiàn)在數(shù)字1又“搬家”了（數(shù)字1移到百位），這時是什么數(shù)？

生7：100。

師：你們還發(fā)現(xiàn)了什么？

生8：1從十位移到百位，擴(kuò)大了10倍。

生9：1在不同的數(shù)位上就會得到不同的數(shù)。

生10：數(shù)字“搬家”會引起數(shù)的大小發(fā)生變化。

師：如果1又“搬家”了，從百位“搬回”到十位，數(shù)又發(fā)生了什么變化？

生11：從百位到十位，100變成了10，相鄰兩個單位之間的進(jìn)率是10，所以縮小了十倍。

師：你們說的縮小了十倍，除以10，也就是平均分成10份，取一份，也可以說得到的數(shù)是原數(shù)的十分之一。假如移到個位呢？

生12：從100到1，得到的數(shù)是原數(shù)的百分之一。

生13：從10到1，得到的數(shù)是原數(shù)的十分之一。

師：通過剛才的活動你有什么發(fā)現(xiàn)？

生14：數(shù)字1從個位移到十位，數(shù)擴(kuò)大10倍;從個位移到百位，數(shù)擴(kuò)大100倍。

生15：增大一位（指移到高位），得到的數(shù)是原數(shù)的10倍。如果倒退一位（指移到低位），得到的數(shù)是原數(shù)的十分之一。

生16：數(shù)字1往左“搬”一位，就擴(kuò)大到原來的10倍，往左“搬”兩位，就擴(kuò)大到原來的100倍。

生17：數(shù)字1往左“搬”一位就乘10，往右“搬”一位就除以10。

師：說得真好！為什么變化規(guī)律是“移動一位就是10倍”？

生18：因?yàn)橄噜弮蓚€計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是10。

[思考：數(shù)位順序表實(shí)現(xiàn)了自然數(shù)和小數(shù)的完美統(tǒng)一，以此為工具，引導(dǎo)學(xué)生觀察1在數(shù)位順序表整數(shù)部分中的位置變化，可以激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生感悟到“數(shù)字搬家”引起數(shù)的大小變化的規(guī)律和內(nèi)涵，為學(xué)生自主構(gòu)建規(guī)律搭好認(rèn)知支架。]

（二）自主遷移，構(gòu)建知識體系

師：是不是只有在整數(shù)部分移動位置才有這樣的變化規(guī)律？請驗(yàn)證你的猜想，并在作業(yè)紙上寫下來。

生1：小數(shù)部分也有這樣的規(guī)律。1從十分位移到百分位，也就是0.1到0.01，得到的數(shù)是原數(shù)的十分之一。

生2：如果反過來，1從千分位移到百分位，也就是從0.001到0.01，得到的數(shù)是原數(shù)的10倍。從百分位移到十分位，也就是0.01到0.1，得到的數(shù)是原數(shù)的10倍。（如圖2）

生3：我發(fā)現(xiàn)在小數(shù)部分和整數(shù)部分之間也存在這樣的規(guī)律。1從十分位到個位，0.1乘10等于1，1從十分位到十位，0.1乘100等于10。（如圖3）

……

師：能不能對你們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律做個總結(jié)？

生4：不管是整數(shù)部分還是小數(shù)部分，只要數(shù)字往高位移動一位，得到的數(shù)是原數(shù)的10倍，往低位移動一位，得到的數(shù)是原數(shù)的十分之一。

師：是的，在整個數(shù)位順序表上，“數(shù)字搬家”1位，都會有10倍的變化規(guī)律。為什么有這樣的變化規(guī)律？

生5：因?yàn)橄噜弮蓚€數(shù)位的進(jìn)率都是10。

[思考：從“數(shù)的搬家”入手，通過整數(shù)部分的體驗(yàn)遷移到小數(shù)部分，學(xué)生自主借助數(shù)位順序表，在探究、溝通、聯(lián)系的學(xué)習(xí)中理解“數(shù)字搬家”引起數(shù)的大小變化規(guī)律，充分經(jīng)歷知識形成和關(guān)聯(lián)的過程。]

（三）沖突融合，深化規(guī)律理解

1.自學(xué)反饋，認(rèn)同課本中關(guān)于小數(shù)點(diǎn)“搬家”的規(guī)律介紹

師：課本是怎么介紹今天學(xué)的知識呢？請自學(xué)課本第35頁。（學(xué)生自學(xué)）

生1：一個數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，得到的數(shù)是原數(shù)的10倍;一個數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動一位，得到的數(shù)是原數(shù)的十分之一。

師：能不能結(jié)合例子說說？

生2：0.01的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位變成0.1，所以得到的數(shù)擴(kuò)大了10倍;0.1的小數(shù)點(diǎn)向左移動一位變成0.01，得到的數(shù)是原數(shù)的十分之一。

師：這樣的規(guī)律在其他小數(shù)那里也存在嗎？請舉例驗(yàn)證。

生3：其他小數(shù)也存在這樣的規(guī)律。

學(xué)生作品（如圖4）：

2. 引發(fā)沖突，讓學(xué)生深度思辨變化中蘊(yùn)含的實(shí)質(zhì)

師：我們發(fā)現(xiàn)的是“數(shù)字搬家”有數(shù)的大小變化規(guī)律，可是課本上介紹的是“小數(shù)點(diǎn)搬家”有數(shù)的大小變化規(guī)律，到底是誰在“搬家”？

生4：我覺得是“小數(shù)點(diǎn)搬家”。

生5：我覺得是“數(shù)字搬家”。

師：你同意誰的意見？請說出理由。

生6：我同意“小數(shù)點(diǎn)搬家”。比如說8.88乘10等于88.8，小數(shù)點(diǎn)前面原來有一個8，擴(kuò)大10倍后小數(shù)點(diǎn)前面有兩個8，“小數(shù)點(diǎn)搬家”了。

生7：我同意“數(shù)字搬家”。因?yàn)樾?shù)點(diǎn)是隔開整數(shù)部分和小數(shù)部分的，不會“搬家”。

師：誰聽懂了生6的意思？

生8：小數(shù)點(diǎn)一直在整數(shù)部分和小數(shù)部分的中間，怎么會“搬家”？

生9：我也認(rèn)為小數(shù)點(diǎn)是不會“搬家”的，在數(shù)位順序表上就看得很清楚（上臺演示），它一直是整數(shù)部分和小數(shù)部分的分界。

師：生6，你覺得呢？

生6：表面上看是“小數(shù)點(diǎn)搬家”，其實(shí)是“數(shù)字搬家”。

師：為什么你改變了想法？

生6：因?yàn)樾?shù)點(diǎn)在數(shù)位順序表中的位置是固定的，其他數(shù)字的位置都是可以移動的。

3.思辨交流，體會數(shù)學(xué)人為規(guī)定的合理性

師：是啊，表面上看是“小數(shù)點(diǎn)搬家”，但是實(shí)際上小數(shù)點(diǎn)是不會“搬家”的，其實(shí)是數(shù)字在“搬家”。那么明明是“數(shù)字搬家”，為什么教材卻說是“小數(shù)點(diǎn)搬家”？

生6：“小數(shù)點(diǎn)搬家”可能更加方便一點(diǎn)。

師：怎么能讓大家看出“小數(shù)點(diǎn)搬家”的方便？

生7：0.057×10=0.57，如果說“數(shù)字搬家”，5往高位移一位，從百分位移到十分位，7也往高位移一位，從千分位移到百分位。這樣很麻煩！如果用“小數(shù)點(diǎn)搬家”，只要說“小數(shù)點(diǎn)往右移動了一位”就好了。

師：你們有什么感覺？

生8：這樣的話既可以讓語言變得簡潔，也能說出想表達(dá)的意思。

生9：一個數(shù)如果數(shù)字很多，說“數(shù)字搬家”會很浪費(fèi)時間，說“小數(shù)點(diǎn)搬家”就很方便。

師：是啊，確實(shí)是“數(shù)字搬家”，但是用“小數(shù)點(diǎn)搬家”來表達(dá)會顯得更方便，因此人們就把這個規(guī)律叫“小數(shù)點(diǎn)搬家”。

4.練習(xí)（略）

[思考：你有什么收獲？你有什么疑問？為什么明明是“數(shù)字搬家”，教材卻說“小數(shù)點(diǎn)搬家”？三個問題的遞進(jìn)，讓學(xué)生經(jīng)歷了“平衡—失衡—新的平衡”，第一問發(fā)展學(xué)生自學(xué)和梳理知識的能力，第二問發(fā)展學(xué)生自主辨析知識的能力，第三問讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)發(fā)展的合理性，學(xué)生逐步走近知識本質(zhì)，走向思維生長。]

三、學(xué)后反思

（一）緊扣本質(zhì)提出問題，讓導(dǎo)學(xué)有一個靶向

在思考并教學(xué)這一內(nèi)容的過程中，筆者真切感受到，遠(yuǎn)離本質(zhì)的提問和練習(xí)，難以讓學(xué)生理解本質(zhì)、舉一反三。本文中的問題指大問題，大問題是指那些直指本質(zhì)的、涵蓋教學(xué)重難點(diǎn)的、具有高水平的、以探究為主的問題?！暗降资钦l在搬家？”顯然是一個好問題，以此來引導(dǎo)學(xué)生深入開展學(xué)習(xí)，自然事半功倍。

（二）立足學(xué)生分析問題，讓數(shù)學(xué)有一些溫度

在課堂中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識與學(xué)生理解常常是兩張皮，數(shù)學(xué)變得生硬而難以理解，學(xué)生把主要精力花在模仿和操練上，數(shù)學(xué)似乎顯得有些冰冷。事實(shí)上，學(xué)生已經(jīng)知道了什么？疑惑在哪里？有哪些經(jīng)驗(yàn)可以支撐他們思考？回歸學(xué)生，暴露他們的困惑，讓他們在需要和思考中找到獲得感。這節(jié)課的知識對于學(xué)生來說，困惑點(diǎn)在“小數(shù)點(diǎn)怎么會搬家？”“明明是數(shù)字移動，為什么要說成小數(shù)點(diǎn)移動？”。學(xué)生在自我需求中分析問題、理解規(guī)律，從而體會到十進(jìn)位值制的優(yōu)越性。如此的活動充滿思考，如此的數(shù)學(xué)富有溫度！同時，學(xué)生在活動中學(xué)會了思考，釋放了潛能，生成了智慧。

（三）自主建構(gòu)解決問題，讓課堂有一個旋律

聚焦本節(jié)課，自主性的學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)、開放性的思辨場域、及時性的反思活動共同促成了學(xué)生的自主建構(gòu)和思維爬坡。學(xué)生在與同伴對話、與教師對話、與教材對話、與自己對話的過程中不斷質(zhì)疑、反思、辨析，透過表象，結(jié)合數(shù)位順序表認(rèn)識到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，即小數(shù)點(diǎn)不會動，它是整數(shù)部分和小數(shù)部分的分界;它是數(shù)字的移動引發(fā)數(shù)的大小變化規(guī)律的關(guān)鍵點(diǎn);人們?yōu)榱吮磉_(dá)方便稱這規(guī)律為“小數(shù)點(diǎn)搬家”;規(guī)律變化的根源是十進(jìn)制;等等。不難發(fā)現(xiàn)，課堂上始終是學(xué)生在自主活動、主動對話、積極思辨，解決問題的過程就是他們自主建構(gòu)的過程。

總之，教師要把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，利用好學(xué)生的認(rèn)知沖突和思維活動，要善于“把握學(xué)情，順學(xué)而導(dǎo)”，導(dǎo)在疑難時，導(dǎo)在關(guān)聯(lián)處，要以問導(dǎo)學(xué)、以問促學(xué)，實(shí)現(xiàn)“不教之教”。

（責(zé)編 金 鈴）