王金水

（集美區(qū)后溪中學(xué)，福建 廈門 361024）

數(shù)學(xué)是關(guān)于思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開提問，有效提問又離不開追問.通過步步追問，步步精心，問出質(zhì)量，問出智慧，以此激活學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生積極思維，提升學(xué)生思維高度.然而，當(dāng)前課堂教學(xué)卻存在這樣的現(xiàn)象：追問等待時(shí)間過短，無法給予學(xué)生啟迪思維和想象的時(shí)空；追問內(nèi)容缺乏生成性，有預(yù)設(shè)沒生成；追問的問題過泛，導(dǎo)致追問沒有抓住問題的核心；追問時(shí)機(jī)不及時(shí)，難于誘發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考.

追問是教師對某一問題，在一問之后再提問，又再提問…是對初次提問的補(bǔ)充、深入、拓展或修正的一種教學(xué)行為.追問，在于探路，探索思維方向；在于激疑，激發(fā)質(zhì)疑思維；在于辨析，辨別反思能力；在于明理，提升思維水平；在于延伸，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)［1］.追問是教學(xué)的生命，追問是師生往來互動(dòng)、共同發(fā)展的過程.恰到好處的追問可以促進(jìn)學(xué)生深入思考，激活學(xué)生思維，從而拓寬思維的廣度，增進(jìn)思維的深度，鍛造思維的強(qiáng)度.行是知之路，學(xué)非問不明.如何在學(xué)生思維盲點(diǎn)處進(jìn)行的追問，將問題引出沖突，引出思考，是一個(gè)亟待解決的問題.

筆者以為追問要做到適時(shí)而問，難易恰當(dāng)，富有啟發(fā)，切中要害，尤其是在混淆處、矛盾處、“經(jīng)驗(yàn)”處、意外處的追問，問出方法，問出根源、本質(zhì)，不僅能使課堂錦上添花，化平淡為神奇，還能快速提升學(xué)生的思維品質(zhì).

一、追問于混淆之處——悟化

追問在于辨析，培養(yǎng)學(xué)生辨別領(lǐng)悟的能力.對于一些易混淆的概念，學(xué)生思維易困惑的地方，把握好追問的時(shí)機(jī)很重要.此時(shí)此處的追問，能引發(fā)學(xué)生的深思，幫助學(xué)生解除疑慮和消除模糊，促使學(xué)生豁然開朗.

例1 若關(guān)于x的方程無解，求m的值.

生1：無解相當(dāng)于方程有增根，故分母為0，易得增根為x=1.通過去分母，得x+1=-mx-1.當(dāng)x=1時(shí)，m=-3.

巡視發(fā)現(xiàn)普遍學(xué)生都是這樣做，顯然他們混淆增根與方程無解的概念.

追問1：無解相當(dāng)于方程有增根嗎？

追問旨在正視存在的問題，在于激疑，激發(fā)學(xué)生質(zhì)疑的思維，消除疑惑，形成解決問題的策略.事實(shí)上，追問引發(fā)學(xué)生從不同角度各抒己見，但觀點(diǎn)分散，論據(jù)不足，無法突破要害，得從方程無解概念入手，這顯然需要最簡方程.

師：解方程最終都要回歸到什么方程？

生眾：最簡方程ax=b.

追問2：最簡方程ax=b，何時(shí)會(huì)出現(xiàn)無解？

圍繞核心問題展開有效思考，旨在幫助學(xué)生轉(zhuǎn)換問題思考角度，回歸到原始概念上，化解抽象，減少學(xué)習(xí)思維負(fù)荷，打開思路.

生2：a=0 且b≠0.

追問3：當(dāng)a=0 且b≠0，最簡方程ax=b無解，能說它有增根嗎？

追問目的是理清學(xué)生疑慮和困惑，及時(shí)走出誤區(qū)，糾正認(rèn)識(shí)偏差.通過此追問，學(xué)生自然明白無解與增根不是一回事，即增根是方程有根，只是這個(gè)根會(huì)讓原方程失去意義.

生3：本題解法應(yīng)該是x+1=-mx-1，有x+mx=-2，得(1+m)x=-2，當(dāng)m=-1 時(shí)，x的系數(shù)為0，方程無解.

生反問：如果m≠-1 時(shí)，方程一定有解嗎？

學(xué)生的反問為引入增根做了鋪墊.其他學(xué)生自然認(rèn)為有解，方程的解為

追問4：此時(shí)x值是任意實(shí)數(shù)嗎？

追問目的是逐步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力.此追問很有針對性、啟發(fā)性.

生4：還有x≠1.因?yàn)閤=1，此時(shí)分母為0.

生5：對，x=1 是增根，應(yīng)舍去.要排除增根對應(yīng)的m的值，由，當(dāng)x=1 時(shí)，有m=-3.所以，本題m的值可以為-1，也可以為-3.

追問5：方程無解與方程有增根有什么關(guān)系？

此時(shí)學(xué)生可自主歸納：增根是造成方程無解一種因素，無解是無法找到方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

變式：若關(guān)于x的方程有增根，求m的值.

變式強(qiáng)化了學(xué)生對方程無解與方程有增根的理解.追問堪比追蹤，不在于問題多少，而是找到關(guān)鍵之處，讓人有一種意猶未盡的感覺，并在充分思考中有所感悟，在感悟中有所獲得，這樣學(xué)生的思維才有廣度與深度，課堂才有厚度.

二、追問于矛盾之處——催化

學(xué)生常會(huì)對某個(gè)問題出現(xiàn)相左的見解，應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，展開追問，催化學(xué)生數(shù)學(xué)思維.追問不僅啟迪學(xué)生思維，找出錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，激發(fā)學(xué)生的求知欲.追問也能理清思路，問出本質(zhì)，化解矛盾，并通過創(chuàng)造性回答，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).

例2 已知直線y=mx-x+m是一次函數(shù)，求m的取值范圍.

旨在讓學(xué)生理解掌握一次函數(shù)一般形式及其概念.學(xué)生化解析式為y=(m-1)x+m，由一次函數(shù)概念，易得m≠1.

師：若直線y=(m-1)x+m的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2，4)，m為何值？

知識(shí)性問題，旨在讓學(xué)生掌握一次函數(shù)對應(yīng)點(diǎn)與線間的關(guān)系.

追問1：直線y=(m-1)x+m的圖像能不能經(jīng)過點(diǎn)B(-1，4)？

理解性問題，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)換問題思考角度.

生1：不能，把B(-1，4)代入y=(m-1)x+m，發(fā)現(xiàn)等式不成立.

生2：m是變量，意味著直線可以平移或旋轉(zhuǎn)，根據(jù)線動(dòng)成面，點(diǎn)B 也是平面內(nèi)一點(diǎn)，按理說這些變化的線所構(gòu)成的面會(huì)覆蓋B 點(diǎn).

學(xué)生從代數(shù)與幾何方面切入，卻得出對立的結(jié)論.怎么會(huì)這樣？這是一種求助信號(hào).教會(huì)質(zhì)疑，引起思考，引發(fā)反“追問”，才有可能解惑.

追問2：不論m為何值，直線y=(m-1)x+m的圖像能垂直x軸嗎？

追尋學(xué)生思維軌跡，釋放潛能，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性、積極性和創(chuàng)造性.

生3：當(dāng)m=1 時(shí)，直線平行x軸，當(dāng)m≠1 時(shí)，直線是一次函數(shù)，不能垂直x軸.

追問3：從圖形上看，不論m怎樣變化，直線y=(m-1)x+m有何特點(diǎn)？

筆者引導(dǎo)學(xué)生任取m 的值，在各自導(dǎo)學(xué)案上對應(yīng)的直角坐標(biāo)系作圖.再任取部分同學(xué)的畫法，重疊，投影，展示.學(xué)生猛然發(fā)現(xiàn)這些線都會(huì)過點(diǎn)（-1，1）.然后再引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察解析式y(tǒng)=(m-1)x+m.

追問4：從解析式上看，能不能把y=(m-1)x+m看成y是m的函數(shù)？

生4：可以，轉(zhuǎn)化成y=(x+1)m-x.

引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，對于y=(x+1)m-x，此時(shí)，當(dāng)x=-1 時(shí)，y恒為1.通過數(shù)與形結(jié)合讓學(xué)生明白，不論m怎樣變化，直線y=(m-1)x+m繞定點(diǎn)（-1，1）旋轉(zhuǎn)，但直線永遠(yuǎn)不會(huì)與x軸垂直，當(dāng)然就不能過B點(diǎn)了.

追問5：直線y，經(jīng)過A(2，4)，B(3，b)，C(4，c),如何比較b，c 大?。?/p>

從幾何代數(shù)等多角度追問，旨在讓學(xué)生提出不同見解，在交流辨析中形成共識(shí)：由圖像經(jīng)過定點(diǎn)（-1，1）與A(2，4)，可確定直線走向，此時(shí)y的值隨著x的值增大而增大.易得b＜c.追問中也培養(yǎng)了學(xué)生勇于放棄或修正自己的觀點(diǎn)，催化了學(xué)生把思維引向廣處，拓展學(xué)生的邏輯思維，達(dá)到對知識(shí)的深度解讀，實(shí)現(xiàn)了思維課堂的本質(zhì).

三、追問于“經(jīng)驗(yàn)”之處——點(diǎn)化

由于許多學(xué)生受思維定式的影響，通過追問消除定勢，點(diǎn)化思維，開啟智慧，積累基本經(jīng)驗(yàn)，提高解決現(xiàn)實(shí)問題的能力.

例3 甲乙兩店在一次促銷活動(dòng)中，甲店推出4.5折優(yōu)惠，乙店則買100 送120 購物券.

師：若你去購物，你會(huì)選擇哪一店？

旨在積淀數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).通過引發(fā)學(xué)生激烈的爭論，關(guān)注學(xué)生之間經(jīng)驗(yàn)的差異.

生1：買100 送120 購物券，那商家不是虧本？

生2：打4.5 折太少了，應(yīng)該選擇買100 送120 購物券.

生3：買100 元得120 元購物券.相當(dāng)于花100 元，賺20 元，不買豈不是虧了？

…

營造真實(shí)的交流氛圍，促進(jìn)思維展開.發(fā)現(xiàn)學(xué)生全憑經(jīng)驗(yàn)，出現(xiàn)這種現(xiàn)象，不是缺少必備的知識(shí)，而是缺少實(shí)踐智慧，掩蓋了他們對生活現(xiàn)象的洞察力.

追問1：什么情況下才能得到120 元購物券？

似懂非懂時(shí)實(shí)施追問，才能使學(xué)生產(chǎn)生頓悟，才能把學(xué)生的思維引向關(guān)鍵處，讓知識(shí)由模糊走向清晰.

生4：乙店要購買100 元或以上，而購買100 元以下就沒有了.

生5：乙店有沒有優(yōu)惠，得看你購物多少.

由于在甲店有購買就有優(yōu)惠，學(xué)生明白了買100元以內(nèi)的要選甲店.有學(xué)生反問道：100 元以上怎么辦？從被追問走向主動(dòng)追問，培養(yǎng)學(xué)生愛思考、會(huì)追問的學(xué)習(xí)品質(zhì).

追問2：按乙店方案：假設(shè)你買了120 元的商品，超過了100 元，超過部分不足100，只得120 元券（又用來購物），相當(dāng)于你用120 元現(xiàn)金得到240 元商品，是這樣嗎？

用特例揭示事實(shí)真相，讓學(xué)生對知識(shí)的理解由片面走向全面.

生眾：是的，100 元以上200 以內(nèi)，只得120 元的購物券.

追問3：現(xiàn)在的折扣率是多少？

生6：折扣率是120÷240=0.5，只打5 折.超過100部分沒有折扣，顯然更不合算.

不妨乘勢而上、趁熱打鐵，再追一問.

追問4：如果購買的商品價(jià)格剛好100 元？

生7：折扣率是100÷220＞0.45.

在連續(xù)的追問、問中有問的情況下，啟發(fā)了學(xué)生的發(fā)散思維，使學(xué)生真正明白了乙店不管買多少都不比甲店便宜.

通過適時(shí)地追問，讓前一問的具體內(nèi)容和思維角度成為下一問的“原點(diǎn)”.我們要做的就是尋著學(xué)生的思維軌跡，緊追不舍，由此及彼、由淺入深地追問，從而實(shí)現(xiàn)思路就越追越清，問題就越追越明，知識(shí)就越追越多.

四、追問于意外之處——激化

通過捕捉課堂意外，激化思維創(chuàng)意，循序漸進(jìn)地將思維引向深處，從而促進(jìn)知識(shí)的引申與生成，感受到獲得新知的成就感.

例4 如圖1，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=45°，∠BOC=120°，求的值.

圖1

把學(xué)生的思維引向開闊地帶，激活思維，培養(yǎng)問題意識(shí)和求知欲望.

圖2

圖3

生3：在圖4 中，若延長BA、CD 交于點(diǎn)E，所以∠E=90°.因?yàn)锳D∥BC，△EAD∽△EBC，所以

生3 的解法令人驚喜，也令人意外.此時(shí)，學(xué)生思緒飛揚(yáng)，tan 15°值是多少？一石激起千層浪，大家情緒高漲，躍躍欲試，讓學(xué)生主動(dòng)追問是追問的最高境界.

師：探究tan15°的值.

旨在引導(dǎo)學(xué)生思維的方向，喚起學(xué)生強(qiáng)烈探求欲望，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4 的結(jié)構(gòu)，啟發(fā)30°，45°，60°這些特殊值與15°之間的關(guān)系，為學(xué)生提供架構(gòu)性支持.

順勢一擊，抓住一點(diǎn)，將學(xué)生的思維引向遠(yuǎn)方.

圖4

圖5

師：還可以用兩幅三角板拼出15°的角，如圖6 到圖8 等［2］，均求出tan 15°的值.有興趣的同學(xué)課后再做深入研究.

圖6

圖7

圖8

追問追求的是一種“激活效應(yīng)”，讓學(xué)生產(chǎn)生對預(yù)授知識(shí)的向往，為高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)埋下伏筆.通過追問感受到了學(xué)生思維的激流涌動(dòng)，讓學(xué)生有突發(fā)奇想的機(jī)會(huì)，讓“節(jié)外生枝”演繹出獨(dú)特的價(jià)值，從而起到了“一石激起千層浪”的效果.

課堂教學(xué)應(yīng)抓住稍縱即逝的契機(jī)，以之為生長點(diǎn)，巧妙地引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)每一個(gè)思維的增長點(diǎn)，從而驅(qū)動(dòng)思維不斷生長.靈活、自然地實(shí)施課堂追問，尤其是在混淆處、矛盾處、“經(jīng)驗(yàn)”處、意外處的追問，可以起到畫龍點(diǎn)睛、迷途知返、余音繞梁、撥云見日之功效.我們要做的是把握好追問的時(shí)機(jī)，在追問中統(tǒng)籌兼顧數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，引發(fā)學(xué)生與教師思維火花的碰撞，將思維引向深處，從而提升思維品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長.