劉頓

我們知道，雙曲線既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形. 在解題時(shí)，若能對(duì)雙曲線的對(duì)稱性加以充分利用，則可使問(wèn)題化難為易、避繁為簡(jiǎn). 現(xiàn)歸納兩類題型，供同學(xué)們參考.

[一、求交點(diǎn)坐標(biāo)]

例1 如圖1，已知直線y = mx與雙曲線y = [kx]的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），則它們的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）.

A. （-3，4） B. （-4，-3）

C. （-3，-4） D. （4，3）

分析：由雙曲線的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且直線y = mx過(guò)原點(diǎn)，利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求解.

解：依題意，這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由于一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-4）. 故選C.

點(diǎn)評(píng)：雙曲線是中心對(duì)稱圖形，則雙曲線與經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線的兩個(gè)交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

[二、判斷圖形形狀]

例2 如圖2，直線l與雙曲線交于A，C兩點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0<α ≤ 45）度角，與雙曲線交于B，D兩點(diǎn)，則四邊形ABCD的形狀一定是（ ）.

A. 平行四邊形 B. 矩形

C. 菱形 D. 正方形

分析：根據(jù)反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得OA = OC，OB = OD，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可得到答案.

解：∵反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA = OC，OB = OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形. 故選A.

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握雙曲線的中心對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

雙曲線有兩條對(duì)稱軸，分別是第一、三象限和第二、四象限的角平分線所在的直線，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn). 同學(xué)們解題時(shí)要注意靈活運(yùn)用雙曲線的對(duì)稱性.