新疆石河子148 團中學(xué) 徐新賢

一、問題提出

該學(xué)生提供了一個公式（如（1）式所示）和一個截圖（如圖1所示），他直覺認為（1）式中的第二個式子有錯誤，因為該式的兩項因子明顯不對稱，不知道為什么會是這樣的，因為原文獻中并沒有原始公式和推導(dǎo)過程。

二、分析思路

圖1

先明確一下，文獻中的這個公式是涉及光在硅波導(dǎo)與介質(zhì)狹縫交界面處任意一點的電場強度問題。圖1 中S 表示介質(zhì)狹縫，H 表示狹縫兩側(cè)的硅薄膜波導(dǎo)，C 表示硅外側(cè)的包層（折射率為nC）。如果在高折射率的硅波導(dǎo)（折射率為nH）中間引入納米寬度的低折射率介質(zhì)狹縫（折射率為nS），光場將會被限制在狹縫中。三層介質(zhì)的折射率關(guān)系為：

nH＞nS＞nC（2）

顯然，要回答（1）式有沒有問題，就需要得到Ex(x)的定量表達式。我們知道光的本質(zhì)是電磁波，是變化的電場強度矢量和變化的磁場強度矢量相互激發(fā)所形成的，而解決電磁波的問題就必須從電磁波所遵循的基本規(guī)律——麥克斯韋方程組入手，推導(dǎo)出電磁波的場分布。

三、利用物理知識建立單一介質(zhì)中的電場及磁場所滿足的方程

因為需要得出電磁場中任意一點的電場強度的表達式，所以我們選擇麥克斯韋方程組的微分形式并進行矢量分析：

這是兩組獨立互不關(guān)聯(lián)的方程組，（12）式只含有Ey、Hx、Hz三個分量，其中Ey是電場的唯一分量，且垂直于傳播方向，因而電場是橫場，簡稱TE 模。（13）式含有另外三個分量Hy、Ex、Ez，其中Hy是磁場的唯一分量，且垂直于傳播方向，因而磁場是橫場，該方程組所描述的傳播模式稱為橫磁模，簡稱TM 模。以上兩組方程組表明在硅波導(dǎo)中存在兩種不同偏振狀態(tài)的傳播模式，TE 模和TM 模都是偏振模。

從（13）式的第一個式子可以看出，只有解出Hy，才可以得到我們所需要的Ex的表達式，為此對這兩個方程組分別進行變量代換可得到單變量微分方程。在（12）式及（13）式中分別消去磁場分量和電場分量后就可分別得到TE 模場Ey以及TM 模場Hy所遵從的方程：

四、轉(zhuǎn)換為符合題意要求的方程

由于（1）式中涉及的物理量是nH、kH、γH等，所以下面擬通過數(shù)學(xué)代換，得到符合圖1 所示情況（介質(zhì)狹縫硅波導(dǎo)）的具體表達式。結(jié)合光在真空中的傳播常數(shù)（或稱波數(shù)） ，介電常數(shù)ε=ε0εr=ε0n2，非磁性物質(zhì)磁導(dǎo)率μ=μ0μr≈μ0，可把（14）式寫成（15）式所示的形式。（15）式中的下角標(biāo)j 可分別取S、H、C，分別對應(yīng)著介質(zhì)狹縫、硅薄膜和包層。這兩個式子稱為介質(zhì)中電磁場的波動方程，分別稱為TE 波和TM 波的標(biāo)量亥姆霍茲方程，它們適用于無源、無損耗、各項同性、均勻和非磁性的介質(zhì)薄膜波導(dǎo)。

（15）式是微分算符的本征方程，其本征值γ（γ2=k20n2-β2）決定了模場函數(shù)的性質(zhì)，如果γ＞0，那么方程的解是余弦振蕩函數(shù)，如果γ＜0，那么方程的解是指數(shù)函數(shù)。

對于介質(zhì)狹縫硅波導(dǎo)三個層區(qū)介質(zhì)的折射率在圖1 中已經(jīng)假定了（2）式的關(guān)系，傳播常數(shù)β 在三個層區(qū)必須一致，這是邊界條件所需求的。另一方面，必須考慮物理的合理性，對于可傳播的導(dǎo)波模，硅薄膜層的電磁場必然是波動的，而狹縫和包層的電磁場必然是阻尼的，這就要求γ 在硅薄膜層和包層的符號必須是相反的，即知導(dǎo)波的必要條件是：k0ns＜β＜k0nH。依據(jù)導(dǎo)波條件，各層參數(shù)設(shè)置如下：

五、確定各層區(qū)磁場強度的解

分別寫出（16）式的三個二階常系數(shù)線性齊次方程的特征方程并求出特征根，即可得出在各層區(qū)的磁場解。

首先，介質(zhì)狹縫層的磁場解為（17）式。

六、利用邊界條件確定磁場解的常數(shù)項

下面利用邊界條件確定各層區(qū)磁場強度的常數(shù)項。由圖1 可知：

（1）當(dāng)x=a 時切向的Hy連續(xù)，即Hys=HyH，由（18）式和（20）式可得：

把（28）式代入（24）式，合并同類項，并應(yīng)用兩角差的三角函數(shù)公式可得：

七、得出TM 模的場分量的解析式

把（28）式和（29）式分別代入（18）（20）（22）式并化簡，可得如圖1 所示的介質(zhì)狹縫硅波導(dǎo)TM 模的磁場分量的解析式：

注：（30）式、（32）式中的常數(shù)A 可通過歸一化函數(shù)求得。

由（32）式可知，本文開篇所提到的（1）式的第二個式子的確是存在問題的，而（1）式的第一個式子與第三個式子是正確的。

從上面問題的解決過程，我們看到數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用必須與所研究的具體的實際問題結(jié)合起來，首先建立物理模型，然后根據(jù)物理方程的具體形式和需要解決的問題選用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識與方法逐步解決，本例為類似問題的解決提供了較為詳盡的參考。