黃 迪 黃云鷹 王宇翔

(①沈機(jī)(上海)智能系統(tǒng)研發(fā)設(shè)計(jì)有限公司，上海 200041；②沈陽(yáng)機(jī)床(集團(tuán))有限公司上海研究院，上海200441)

電子凸輪技術(shù)利用伺服電機(jī)系統(tǒng)的受控運(yùn)行來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)械凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。就現(xiàn)有的工程手段而言，電子凸輪系統(tǒng)大多使用電子凸輪表[1]，通過(guò)規(guī)定主/從軸相對(duì)位移的關(guān)鍵位置控制點(diǎn)來(lái)描述預(yù)期的機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律。該方法對(duì)于各個(gè)控制點(diǎn)之間的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律不做描述，工程實(shí)踐上大多由各種伺服設(shè)備基于各自的性能自由運(yùn)行實(shí)現(xiàn)，另外該方法無(wú)法在設(shè)計(jì)階段確認(rèn)執(zhí)行系統(tǒng)一定能夠無(wú)震蕩連續(xù)運(yùn)行，很多時(shí)候存在需要反復(fù)在線調(diào)試的麻煩。

使用電子凸輪曲線則相較于傳統(tǒng)的電子凸輪表可以更容易地設(shè)計(jì)出運(yùn)行平滑無(wú)沖擊的系統(tǒng)，此外電子凸輪曲線能夠?qū)崿F(xiàn)一定程度的運(yùn)行軌跡控制，能夠完成許多傳統(tǒng)凸輪機(jī)構(gòu)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜動(dòng)作。電子凸輪曲線技術(shù)的運(yùn)用依賴于對(duì)運(yùn)行曲線的進(jìn)行簡(jiǎn)便且良好的描述，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制學(xué)當(dāng)中使用高次多項(xiàng)式曲線連接相鄰的路徑點(diǎn)[2]，最終形成軌跡曲線的方法對(duì)這一類運(yùn)行軌跡的描述和解算提供了非常好的示范。本文研究了基于多項(xiàng)式連接位置控制點(diǎn)構(gòu)成的實(shí)際電子凸輪曲線的算法，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行需要的實(shí)際控制對(duì)象給出了數(shù)學(xué)解算，考慮了實(shí)際運(yùn)行系統(tǒng)當(dāng)中從軸平滑耦合到凸輪曲線的問(wèn)題并給出了解決方案。文章后半部分介紹了基于相關(guān)研究?jī)?nèi)容快速構(gòu)建一套多軸聯(lián)動(dòng)的同步?jīng)_壓線控制系統(tǒng)的具體應(yīng)用案例。

1 構(gòu)建電子凸輪曲線

按照傳統(tǒng)的電子凸輪表描述主從軸相對(duì)位移的思路構(gòu)建坐標(biāo)系[3]，以主軸位置作為坐標(biāo)系的橫軸M；以從軸位置作為坐標(biāo)系的縱軸S，如此則一般凸輪表中的關(guān)鍵位置控制點(diǎn)都可以表達(dá)為該M-S直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)。采用5次多項(xiàng)式[4]曲線逐一連接所有的位置控制點(diǎn)則構(gòu)成了完整的凸輪曲線，如圖1所示。

1.1 求取多項(xiàng)式曲線：

在上述M-S坐標(biāo)系內(nèi)，令有兩控制點(diǎn)A(PMA,PSA)與B(PMB,PSB)，存在5次多項(xiàng)式：

(1)

通過(guò)A、B兩點(diǎn)，其中PS為S軸變量，PM為M軸變量,a～f為未知參數(shù)，將PS對(duì)PM多次求導(dǎo)，可得：

(2)

(3)

考慮到凸輪系統(tǒng)的從軸位置一定是關(guān)聯(lián)于主軸位置的，此處可定義：

VS為M-S坐標(biāo)系下從軸以主軸位移為參照系的速度；AS為M-S坐標(biāo)系下從軸主軸位移為參照系的加速度；將A、B兩控制點(diǎn)的位置坐標(biāo)值(PMA,PSA)，(PMB,PSB)代入式(1)；同時(shí)根據(jù)實(shí)際的需要，設(shè)定必要的A、B兩點(diǎn)處的VSA、ASA，VSB，ASB值，分別代入式(2)、(3)，可得到6個(gè)聯(lián)立方程組：

考慮軟件實(shí)現(xiàn)的方便，此處利用矩陣來(lái)求得a～f的解[5]，首先將方程組右側(cè)變量前的系數(shù)提取出組成矩陣M：

方程組左側(cè)的結(jié)果組成矩陣N：

矩陣M的逆矩陣與矩陣N的乘積，這里記作R，顯然：

R=M-1×N

矩陣R為1列6行矩陣，各行的值即為需要求解的式(1)中a～f值，依據(jù)上述的計(jì)算方法，即可確定M-S坐標(biāo)系內(nèi)任意兩個(gè)相鄰控制點(diǎn)之間5次曲線的描述，進(jìn)而確定M-S坐標(biāo)系內(nèi)的任意一個(gè)電子凸輪曲線的全部描述。

1.2 實(shí)際運(yùn)行系統(tǒng)的參照系轉(zhuǎn)換

上述M-S坐標(biāo)系運(yùn)算中，從軸S的速度、加速度的描述是基于主軸M為參照系計(jì)算的，實(shí)際的運(yùn)行條件下需要將其轉(zhuǎn)換為的真實(shí)物理速度和加速度，具體算法如下：

實(shí)際運(yùn)行系統(tǒng)的主軸位置PM=f(t)，從軸位置PS=g(t)，即主/從軸的位移是時(shí)間t的函數(shù)，顯然基于速度和加速度的物理意義，存在：

將這4個(gè)t的函數(shù)代入之前1.1中式(2)、(3)可得：

VSt=VS·VM

(4)

=[g＂(t)f′(t)-g′(t)f＂(t)]/f′(t)3

(5)

通過(guò)式(4)、(5)，即可獲得實(shí)際運(yùn)行時(shí)從軸對(duì)應(yīng)于M-S坐標(biāo)系內(nèi)凸輪曲線的實(shí)際物理運(yùn)行速度和加速度的數(shù)學(xué)解。

1.3 從軸耦合到凸輪曲線的切入方法：

實(shí)際系統(tǒng)的從軸和主軸有時(shí)會(huì)處于解耦狀態(tài)——比如系統(tǒng)開始上電運(yùn)行之初，此時(shí)需要將從軸耦合到預(yù)設(shè)的凸輪曲線上，具體方法為：

系統(tǒng)運(yùn)行的開始時(shí)刻，讀取當(dāng)前主軸與從軸的位置(PM0,PS0)作為一個(gè)臨時(shí)的關(guān)鍵位置控制點(diǎn)P0，并以此臨時(shí)構(gòu)建出一條連接預(yù)設(shè)凸輪曲線首個(gè)位置控制點(diǎn)P1的5次多項(xiàng)式曲線。解算該曲線需要的主/從軸速度VM、VSt、加速度AM,ASt可以直接從物理驅(qū)動(dòng)器讀出獲得，按照上述式(2)～(5)解算出M-S坐標(biāo)系內(nèi)的從軸VS、AS，即可完成耦合段多項(xiàng)式的解算。還是以圖1為例子，構(gòu)建出的曲線如圖2所示。

2 用于拉管機(jī)同步?jīng)_壓生產(chǎn)線的實(shí)例

實(shí)際設(shè)備見圖3。

沖孔機(jī)作為下位機(jī)，不能反向控制拉管機(jī)主軸的出料時(shí)間與出料速度，僅能通過(guò)其編碼器的值讀到位置信息，因此實(shí)際執(zhí)行為跟隨主軸出料長(zhǎng)度的追沖的形式[6]。該同步?jīng)_壓生產(chǎn)線中包含三個(gè)運(yùn)動(dòng)軸：

(1)主軸：理解為拉管機(jī)的出料機(jī)構(gòu)，將金屬棒料擠出，主軸為單一方向持續(xù)運(yùn)行。

(2)跟隨軸：推動(dòng)沖孔軸機(jī)構(gòu)跟隨主軸的運(yùn)行到達(dá)并保持在預(yù)設(shè)位置點(diǎn)的伺服軸，需要往復(fù)運(yùn)行。

(3)沖孔軸：在跟隨軸到達(dá)預(yù)設(shè)的主軸跟隨位置點(diǎn)時(shí)執(zhí)行沖孔動(dòng)作的伺服軸，需要往復(fù)運(yùn)行。

實(shí)例中主軸每出料1 200 mm完成一個(gè)加工循環(huán)，每次循環(huán)執(zhí)行3個(gè)孔的沖孔動(dòng)作，位置分別在主軸循環(huán)長(zhǎng)度的150 mm、510 mm與1 050 mm處。跟隨軸與沖孔軸分別使用各自的凸輪表與主軸同步。

2.1 凸輪表和凸輪曲線設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

圖4～5為隨沖系統(tǒng)兩個(gè)伺服軸的電子凸輪曲線的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)，相應(yīng)的表1～2為對(duì)應(yīng)軸的凸輪關(guān)鍵位置控制點(diǎn)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。

表1 跟隨軸凸輪表

表2 沖孔軸凸輪表

3 結(jié)語(yǔ)

本文使用5次多項(xiàng)式生成的電子凸輪曲線可使得伺服電機(jī)系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中加速度處處可導(dǎo)，大幅度消除了機(jī)械硬性沖擊；實(shí)現(xiàn)了運(yùn)行過(guò)程中從動(dòng)軸伺服的關(guān)鍵位置和過(guò)程運(yùn)動(dòng)完全可控。另外在具體的實(shí)現(xiàn)方法上，主從軸可動(dòng)態(tài)耦合和解耦，適應(yīng)更多復(fù)雜場(chǎng)景；可以實(shí)現(xiàn)多個(gè)從軸耦合于一個(gè)主軸進(jìn)而執(zhí)行多軸同步運(yùn)動(dòng)控制；如有必要還可以進(jìn)一步使用虛擬主軸，完成傳統(tǒng)機(jī)械凸輪系統(tǒng)無(wú)法完成的動(dòng)作。