趙 云 丁 敏 韓盛柏 曹瓊瓊，2 蔣秀根*

(1.中國農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木工程學(xué)院，北京 100083；2.鐵總服務(wù)有限公司，北京 100844)

溫室是現(xiàn)代農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用最為廣泛的設(shè)施之一[1]。檁條是日光溫室、連棟塑料溫室、文洛型溫室等溫室結(jié)構(gòu)中的縱向支撐構(gòu)件，其受力變形情況比較復(fù)雜：一方面承受屋面重力荷載，產(chǎn)生彎曲及扭轉(zhuǎn)位移；另一方面承受縱向風(fēng)荷載，產(chǎn)生軸壓變形；同時，由于雨水、雪水及溫室室內(nèi)高溫高濕條件下大量水蒸汽上升形成的冷凝水均需集收及排出，溫室內(nèi)部檁條及檐口處天溝一般采用開口截面，以便集水排水，而開口截面桿件在壓彎扭共同作用下存在復(fù)雜的翹曲扭轉(zhuǎn)；另外，溫室結(jié)構(gòu)中的檁條通常為長細(xì)比較大的實(shí)腹開口截面直梁[2]，其截面形心與剪切中心常不重合，縱向失穩(wěn)現(xiàn)象嚴(yán)重。作為溫室結(jié)構(gòu)中除主拱架之外最重要的結(jié)構(gòu)構(gòu)件[3]，檁條的強(qiáng)度及穩(wěn)定安全性對溫室結(jié)構(gòu)整體安全性及穩(wěn)定性分析具有重要意義。

目前對溫室結(jié)構(gòu)的研究多從溫室光照、溫度、濕度等環(huán)境因子角度出發(fā)，對溫室結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究相對較少，溫室結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及分析缺少完整和系統(tǒng)的行業(yè)及國家標(biāo)準(zhǔn)。已有研究大都選擇利用ANSYS等有限元分析軟件，在考慮特定影響因素的前提下，通過建模計(jì)算對溫室結(jié)構(gòu)在正常使用條件及典型災(zāi)害下的承載力情況進(jìn)行分析[4-8]。然而，對于溫室結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力的研究多以整體結(jié)構(gòu)為研究對象，對單個構(gòu)件的受力變形特征及失穩(wěn)分析的研究很少。因此，提供一個能夠用于壓彎扭組合荷載條件下，檁條幾何非線性內(nèi)力、變形、分岔失穩(wěn)及極值點(diǎn)失穩(wěn)的通用分析計(jì)算模型十分必要。

對溫室結(jié)構(gòu)中開口截面檁條，可按壓-彎-扭耦合作用桿件進(jìn)行內(nèi)力、位移及穩(wěn)定分析。對于壓彎扭耦合作用桿件，已有研究在考慮特定影響因素的前提下提出了基于不同假定及側(cè)重點(diǎn)的分析理論,對壓彎扭耦合作用桿件的受力、位移及變形的基本特征進(jìn)行闡述并給出失穩(wěn)荷載等關(guān)鍵數(shù)據(jù)的計(jì)算方法[9-16]。然而，對于壓彎扭耦合作用桿件的研究至今沒有完善的理論體系，已有研究提出的分析理論及計(jì)算模型未綜合考慮翹曲、大位移及剪切變形影響，勢必對分析的準(zhǔn)確性及模型計(jì)算精度、計(jì)算效率和普適性存在一定影響。

本研究旨在建立考慮壓彎和壓扭二階效應(yīng)的壓彎扭桿件非線性靜力分析模型，為溫室結(jié)構(gòu)中開口截面檁條的靜力位移和內(nèi)力以及壓彎、壓扭和彎扭穩(wěn)定性分析提供依據(jù)。

1 基本模型與原理

1.1 模型參數(shù)與基本假定

按照右手螺旋法則建立三維坐標(biāo)系(圖1)：原點(diǎn)為桿件左截面形心，桿件軸線為x軸，向右為正；y軸垂直于桿件軸線，向上為正；z軸服從右手螺旋法則，向前為正。

桿件所受外荷載包括y方向分布力qy，x和z方向分布力矩mx及mz，外荷載與坐標(biāo)軸方向一致為正；內(nèi)力包括x方向軸力N、扭矩T，y方向豎向剪力Vy及法向彎矩Mz，z方向豎向彎矩My，當(dāng)截面外法線方向與坐標(biāo)軸正向一致時，截面內(nèi)力與坐標(biāo)方向一致為正，當(dāng)截面外法線方向與坐標(biāo)軸正向相反時，截面內(nèi)力與坐標(biāo)方向相反為正；初始內(nèi)力包括x方向初始軸力N0及初始扭矩T0，y方向豎向初始剪力Vy0及法向初始彎矩Mz0，z方向豎向初始彎矩My0，方向定義與內(nèi)力相同。

桿件位移包括x方向扭轉(zhuǎn)角θx；y方向撓度v，豎向彎曲軸線轉(zhuǎn)角φz，豎向彎曲截面轉(zhuǎn)角θz，豎向剪切截面轉(zhuǎn)角γz；z方向撓度w。桿件變形包括x方向扭率κx及y方向豎向彎曲曲率κz。桿件位移及變形方向均為與坐標(biāo)軸一致為正。

Mz,Vy,T分別為桿件左端法向彎矩、豎向剪力及扭矩；Mz+dMz,Vy+dVy,T+dT分別為桿件右端法向彎矩，豎向剪力及扭矩；mx及mz為x、z方向分布力矩；qy為y方向分布力。

本研究中公式的推導(dǎo)過程基于以下假定：

1)將研究對象視為Timoshenko細(xì)長桿，即認(rèn)為軸線轉(zhuǎn)角為截面轉(zhuǎn)角與剪切角之和。

2)采用Volasov約束扭轉(zhuǎn)模型的基本理論[17]對桿件進(jìn)行扭轉(zhuǎn)分析，即認(rèn)為桿件發(fā)生翹曲扭轉(zhuǎn)時，截面剪應(yīng)力及正應(yīng)力同時存在。

3)采用Wanger翹曲模型的基本理論[18]對桿件進(jìn)行翹曲分析，即認(rèn)為桿件彎曲和扭轉(zhuǎn)使得截面各點(diǎn)線位移不同，對應(yīng)的縱向纖維合力不變、轉(zhuǎn)角不同。

4)截面及桿件的壓縮、彎曲、剪切及扭轉(zhuǎn)均服從線彈性模型特征。

5)小變形，小轉(zhuǎn)角：位移的高次微量為零；同時，對于截面角位移θ，存在sinθ=θ，cosθ=1，tanθ=θ

6)大位移，變形獨(dú)立：位移對桿件的平衡條件造成影響，產(chǎn)生二階內(nèi)力；在計(jì)算二階內(nèi)力時，將初始內(nèi)力參數(shù)看成是與變形無關(guān)的常數(shù)。

1.2 基本方程與控制方程

壓彎扭桿件的位移控制方程以平衡方程、物理方程及幾何方程為基礎(chǔ)建立，為進(jìn)行微段隔離體平衡分析建立平衡方程，需對微段二階內(nèi)力進(jìn)行分析與計(jì)算。

1.2.1微段二階內(nèi)力原理

在軸壓力、彎矩及扭矩耦合作用下，考慮大位移因素，初內(nèi)力將產(chǎn)生二階內(nèi)力，其原理為：

1)微段截面上，撓度增量及扭轉(zhuǎn)角增量使截面各點(diǎn)產(chǎn)生線位移增量，截面線位移增量導(dǎo)致微段縱向纖維出現(xiàn)轉(zhuǎn)動增量。

2)微段各纖維的初應(yīng)力為初內(nèi)力在截面上的應(yīng)力之和，包括初始正應(yīng)力和初始剪應(yīng)力，而且無論纖維如何轉(zhuǎn)動，初始應(yīng)力合力大小及方向保持不變。

3)微段上，由于纖維發(fā)生了轉(zhuǎn)動，盡管纖維上應(yīng)力總量不變，但纖維發(fā)生了切向及法向方向上的應(yīng)力調(diào)整，調(diào)整前后的應(yīng)力差值即為應(yīng)力增量，應(yīng)力增量包括初始正應(yīng)力引起的正應(yīng)力增量和剪應(yīng)力增量、初始剪應(yīng)力引起的正應(yīng)力增量和剪應(yīng)力增量。初應(yīng)力產(chǎn)生的截面二階應(yīng)力見圖2。

4)微段二階內(nèi)力即為應(yīng)力增量在截面上對應(yīng)的積分。根據(jù)產(chǎn)生原理，微段二階內(nèi)力的計(jì)算步驟為：首先對截面點(diǎn)位移進(jìn)行分析，得到對應(yīng)微段纖維傾角；然后計(jì)算初內(nèi)力下的截面應(yīng)力，并進(jìn)行應(yīng)力分解，進(jìn)而求出應(yīng)力增量；最后將應(yīng)力增量在截面上進(jìn)行積分運(yùn)算，得到對應(yīng)的微段二階內(nèi)力。

σ0為初始正應(yīng)力；τ0為初始剪應(yīng)力；dx，dφz，dv分別為微段長度、微段軸線轉(zhuǎn)角及微段撓度增量。

1.2.2截面點(diǎn)位移分析

1.2.3微段二階內(nèi)力計(jì)算

根據(jù)二階內(nèi)力產(chǎn)生原理，結(jié)合截面點(diǎn)位移分析結(jié)果，將應(yīng)力增量在截面上積分，可得微段二階內(nèi)力為：

式中：dΔN,dΔVy及dΔT分別為微段二階軸力，微段二階剪力及微段二階彎矩；τz及τy分別為z方向及y方向剪應(yīng)力；σN,σMz及σMy分別為軸力、y方向彎矩及z方向彎矩產(chǎn)生的正應(yīng)力。

1.2.4平衡方程

通過對微段進(jìn)行平衡分析，建立考慮二階內(nèi)力的壓彎扭桿件平衡方程。

微段豎向受力合為0，有Vy+dVy+dΔVy+qydx-Vy=0，進(jìn)一步可寫出豎向力平衡方程為：

(1)

(2)

微段軸向受力合為0，有T+dT+dΔT+mxdx-T=0，進(jìn)一步可寫出扭矩平衡方程為：

(3)

1.2.5幾何方程及物理方程

幾何方程為：

(4)

物理方程為：

(5)

式中：GId為圣維南抗扭剛度；E1Iw為約束扭轉(zhuǎn)剛度；EIz為y方向彎曲剛度；GA/μ為剪切剛度。

1.2.6位移控制方程

綜合平衡方程、物理方程及幾何方程，式(1)～(5)，可以得到關(guān)于扭轉(zhuǎn)角與撓度的壓彎扭桿件位移控制方程為：

(6)

(7)

2 位移、變形與內(nèi)力

2.1 位移

2.1.1位移控制方程的簡化

位移控制方程為關(guān)于扭轉(zhuǎn)角與撓度的4階微分方程，由于不同結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)不同，為求解微分方程，需保證結(jié)構(gòu)自由度數(shù)、微分方程階數(shù)、微分方程通解項(xiàng)數(shù)、微分常系數(shù)數(shù)及邊界條件數(shù)統(tǒng)一。因此，在不同結(jié)構(gòu)下，需首先對位移控制方程進(jìn)行階數(shù)變換及消元變換。

1)自由扭轉(zhuǎn)(E1Iw=0，GId≠0)。位移控制方程式(6)和式(7)為：

(8)

(9)

2)翹曲扭轉(zhuǎn)(E1Iw≠0，GId≠0)。若My0-N0zs≠0，位移控制方程式(6)和式(7)為：

(10)

(11)

若My0-N0zs=0，位移控制方程式(6)和式(7)為：

(12)

(13)

2.1.2位移表達(dá)式

對簡化后的位移控制方程式(8)～(13)進(jìn)行求解，可以得到位移表達(dá)式的一般格式。求解式(8)及式(9)，可得自由扭轉(zhuǎn)時扭轉(zhuǎn)角和撓度表達(dá)式的一般格式。

當(dāng)N0≠0時：

當(dāng)N0=0時：

求解式(10)及式(11)，可得翹曲扭轉(zhuǎn)且My0-N0zs≠0時扭轉(zhuǎn)角和撓度表達(dá)式的一般格式。

當(dāng)N0≠0時：

當(dāng)N0=0時：

式中：

求解式(12)及式(13)，可得翹曲扭轉(zhuǎn)且My0-N0zs=0時扭轉(zhuǎn)角和撓度表達(dá)式的一般格式。

當(dāng)N0≠0時：

當(dāng)N0=0時：

特征根可分為實(shí)根、虛根、零根及重根，不同類型特征根對應(yīng)位移表達(dá)式中的不同格式項(xiàng)，組合后可得到不同適用條件下扭轉(zhuǎn)角及撓度表達(dá)式通解部分的簡化格式，位移通解的簡化格式見表1。

以扭轉(zhuǎn)角和撓度表達(dá)式為基礎(chǔ)，結(jié)合壓彎扭桿件幾何方程式(4)及物理方程式(5)，即可得到豎向軸線轉(zhuǎn)角φz、豎向截面彎曲轉(zhuǎn)角θz、豎向截面剪切轉(zhuǎn)角γz的表達(dá)式。

表1 位移通解簡化格式

2.2 變形及內(nèi)力

以扭轉(zhuǎn)角和撓度表達(dá)式為基礎(chǔ)，結(jié)合壓彎扭桿件幾何方程式(4)及物理方程式(5)，即可得到扭率κx、翹曲率κ′x、豎向彎曲曲率κz及扭矩T、彎矩Mz、剪力Vy、雙力矩B的表達(dá)式。

3 應(yīng)用與算例

3.1 計(jì)算步驟

采用本研究提出的壓彎扭桿件非線性靜力計(jì)算模型進(jìn)行計(jì)算時，首先需明確桿件邊界條件，將其代入壓彎扭桿件位移、變形及內(nèi)力表達(dá)式，求出位移常系數(shù)；然后將位移常系數(shù)反代入壓彎扭桿件位移、變形及內(nèi)力表達(dá)式，得到對應(yīng)的物理量方程；最后求出桿件任意位置的位移、變形及內(nèi)力值。

3.1.1邊界條件

壓彎扭桿件的邊界條件與支座形式直接相關(guān)，以鉸支座為例，在桿件兩端支座x=0和x=l處，邊界條件為：扭轉(zhuǎn)角為零，即θx(0)=θx(l)=0；撓度為零，即v(0)=v(l)=0；雙力矩為零，即B(0)=B(l)=0；豎向彎曲曲率為零，即κz(0)=κz(l)=0。

3.1.2位移常系數(shù)求解

根據(jù)截面位移表達(dá)式及邊界條件，可以得到壓彎扭桿件位移常系數(shù)的定解方程為：

Ac+δq=δe

(14)

式中：A為依據(jù)各類邊界條件，由桿件特定位置截面各物理量方程的基函數(shù)所組成的矩陣；δq為對應(yīng)特解向量；δe為對應(yīng)各特定位置截面物理量向量；c為位移常系數(shù)矩陣。

由方程式(14)，可得位移常系數(shù)的計(jì)算公式為：

c=A-1δe-A-1δq

(15)

3.2 算例分析

本研究中，將溫室結(jié)構(gòu)中開口截面檁條抽象為壓-彎-扭耦合作用桿件，因而此處選取典型非完全對稱開口截面桿件，采用本研究提出的計(jì)算模型計(jì)算其在5種不同荷載工況下的位移、變形及內(nèi)力，并與文獻(xiàn)[11]中的解析解進(jìn)行比較，以驗(yàn)算本研究提出計(jì)算模型的適用性及準(zhǔn)確性。

由表3可見，采用本研究提出的壓彎扭桿件靜力計(jì)算模型，當(dāng)忽略剪切變形時，在5種荷載工況下，桿件變形、位移及內(nèi)力計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11]中解析解完全相同(相對誤差為0)。

考慮剪切變形時，與文獻(xiàn)[11]中解析解相比：工況1，支座扭率減少10.19%，跨中扭轉(zhuǎn)角減少5.12%，左支座扭矩增加0.73%，說明在集中扭矩荷載工況下，剪切變形不可忽略；工況2，支座扭率增加11.64%，跨中扭轉(zhuǎn)角增加13.52%，左支座扭矩減少2.47%，說明在分布扭矩荷載工況下，剪切變形不可忽略；工況3，支座扭率、跨中扭轉(zhuǎn)角及左支座扭矩變化量均在0.005%以下，說明在壓扭荷載工況下，剪切變形可以忽略；工況4，左右支座扭率分別減少2.60%及3.89%，跨中扭轉(zhuǎn)角減少5.72%，左支座扭矩增加3.31%，說明在彎扭荷載工況下，剪切變形不可忽略；工況5，除右支座扭率增加0.002%外，其余位移結(jié)果與文獻(xiàn)解析解完全相同，說明在壓彎扭荷載工況下，剪切變形可以忽略。5種荷載工況下，壓扭及壓彎扭荷載工況下的變形、位移及內(nèi)力計(jì)算可忽略剪切變形影響，而集中扭矩、分布扭矩、彎扭荷載工況下的變形、位移及內(nèi)力計(jì)算則不可忽略剪切變形影響。

計(jì)算結(jié)果表明，本研究得到的壓彎扭桿件非線性靜力計(jì)算模型可用于溫室結(jié)構(gòu)中開口截面檁條在任意荷載工況組合條件下的變形、內(nèi)力及位移計(jì)算。同時，與文獻(xiàn)[11]相比，本研究計(jì)算模型考慮了剪切變形的影響，計(jì)算結(jié)果更為精確合理。

表2 桿件承受的荷載工況

表3 不同荷載工況下桿件內(nèi)力、變形及位移計(jì)算結(jié)果Table 3 Calculation results of internal force, deformation and deflection of the bar under different load cases

4 結(jié)束語

1)本研究在分析壓彎扭桿件二階內(nèi)力的基礎(chǔ)上，考慮了壓-彎-扭耦合作用、約束翹曲、剪切變形等因素，建立了桿件微段隔離體平衡方程，結(jié)合幾何方程及物理方程，推導(dǎo)出關(guān)于扭轉(zhuǎn)角和撓度的位移控制方程，獲得了壓彎扭桿件非線性內(nèi)力、位移及變形計(jì)算模型，并給出其計(jì)算步驟。

2)本研究提出的壓彎扭桿件靜力計(jì)算模型可適用于溫室結(jié)構(gòu)中開口截面檁條在任意荷載工況組合條件下的變形、位移及內(nèi)力計(jì)算，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確可靠。

3)在溫室結(jié)構(gòu)開口截面檁條變形、位移及內(nèi)力計(jì)算中，剪切變形的影響不可忽略。