朱海忠

[摘? 要] 以“數(shù)據(jù)的離散程度”教學(xué)為例，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主探究與合作交流的問題情境，構(gòu)建統(tǒng)計實驗活動，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動探索，讓學(xué)生在經(jīng)歷統(tǒng)計實驗活動的過程中體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，提煉方差的計算公式，領(lǐng)悟方差蘊含的統(tǒng)計思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，增強應(yīng)用意識，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念.

[關(guān)鍵詞] 統(tǒng)計實驗活動;極差;平均差;方差;標準差

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）將“數(shù)據(jù)分析觀念”作為數(shù)學(xué)課程的核心概念之一，要求學(xué)生對數(shù)據(jù)統(tǒng)計全過程有所體驗，強調(diào)發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念. 《課標（2011年版）》在統(tǒng)計內(nèi)容設(shè)置上，除了讓學(xué)生學(xué)習(xí)一些最基本的統(tǒng)計分析方法之外，更重要的是讓學(xué)生體會統(tǒng)計的作用和基本思想. 由于統(tǒng)計的學(xué)習(xí)特別強調(diào)學(xué)生對統(tǒng)計過程的參與性，要使學(xué)生真正理解統(tǒng)計的作用和基本思想，最有效的方法就是讓他們真正投入統(tǒng)計的過程中去. 只有在統(tǒng)計活動中，才能利用所學(xué)的統(tǒng)計知識和統(tǒng)計方法解決實際問題;只有熟悉統(tǒng)計活動的全過程，才能從整體上理解和把握所學(xué)的統(tǒng)計知識和其中蘊含的統(tǒng)計思想.

方差作為刻畫數(shù)據(jù)離中趨勢的統(tǒng)計量，它全面、平均地反映一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的偏離程度，是現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)中最常用的統(tǒng)計量之一. 《課標（2011年版）》要求“體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差，知道可以通過樣本方差推斷總體方差，能解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果做出簡單的判斷和預(yù)測，并能夠進行交流”[1]. 本文以北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第六章第4節(jié)“數(shù)據(jù)的離散程度”（第1課時）為例，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主探究與合作交流的問題情境，構(gòu)建統(tǒng)計實驗活動，讓學(xué)生在經(jīng)歷統(tǒng)計實驗活動的過程中體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，提煉方差的計算公式，領(lǐng)悟方差蘊含的統(tǒng)計思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，增強應(yīng)用意識，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念.

創(chuàng)設(shè)情境，溫故知新

案例1 某農(nóng)科院計劃為某地篩選出適應(yīng)性好、綜合性狀優(yōu)、產(chǎn)量潛力大且產(chǎn)量穩(wěn)定的水稻新品種. 為了解“南粳3908”“南粳5055”“南粳9108”三種水稻新品種的相關(guān)情況，農(nóng)科院各用10塊自然條件相同的試驗田進行比較試驗，得到各試驗田每公頃的產(chǎn)量（單位：t）如表1所示[2].

根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計，你認為農(nóng)科院應(yīng)該選擇哪一種水稻品種？

探究活動1：如何比較三種水稻的產(chǎn)量水平？

（1）你能結(jié)合表1的數(shù)據(jù)直接估計出三種水稻每公頃的平均產(chǎn)量嗎？請你先估計，再計算三種水稻每公頃的平均產(chǎn)量，并與你的估計進行比較（結(jié)果保留3位小數(shù)）.

（2）根據(jù)三種水稻每公頃的平均產(chǎn)量，你認為農(nóng)科院應(yīng)該選擇哪一種水稻品種？為什么？

（3）除了比較三種水稻每公頃的平均產(chǎn)量外，還可以從哪些方面對三種水稻每公頃的產(chǎn)量水平進行比較？

（4）表1中南粳3908每公頃的產(chǎn)量最大值是多少？最小值又是多少？它們相差多少？南粳5055和南粳9108呢？

（5）一組數(shù)據(jù)的極差有什么特點，它能反映這組數(shù)據(jù)的整體離散情況嗎？是否還有其他的數(shù)學(xué)量可以刻畫數(shù)據(jù)的波動情況呢？

設(shè)計意圖 案例1力圖讓學(xué)生經(jīng)歷解決一個統(tǒng)計問題的全過程，激活學(xué)生用數(shù)據(jù)說話的意識，讓其通過數(shù)據(jù)分析做出判斷，解決實際問題，體會數(shù)據(jù)中蘊含的信息. 探究活動1意在引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)據(jù)集中趨勢的角度分析數(shù)據(jù). 問題（1）旨在讓學(xué)生直觀估計三種水稻的平均產(chǎn)量，然后通過具體計算評判自己的估計水平，調(diào)整自己的估計;問題（2）（3）意在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)南粳3908與南粳5055的平均產(chǎn)量最高，且相同，僅靠比較二者的平均產(chǎn)量還無法做出判斷，讓學(xué)生意識到僅考查數(shù)據(jù)的集中趨勢是不夠的，還需要從數(shù)據(jù)離散程度的角度進行考查，從而借助問題（4）引入刻畫離散程度的一個量——極差;問題（5）旨在讓學(xué)生明確極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差值，它可以描述一組數(shù)據(jù)的波動范圍，但它僅反映了這組數(shù)據(jù)中兩個極端值的離散程度，沒有充分利用整組數(shù)據(jù)信息，不能反映這批數(shù)據(jù)離散的整體情況，還需尋找其他的數(shù)學(xué)量精確刻畫數(shù)據(jù)的整體離散程度.

建構(gòu)活動，領(lǐng)悟意義

探究活動2：考查一組數(shù)據(jù)的離散程度需要有一個比較標準，用什么量作為比較標準比較合適？如何與這個標準進行比較呢？[3]請你思考如下問題.

（1）把表1的數(shù)據(jù)表示成如圖1所示的散點圖. 觀察圖1，三種水稻每公頃的產(chǎn)量分布有什么特點？

（2）在圖1中畫出縱坐標等于平均數(shù)的直線，觀察數(shù)據(jù)的分布與其平均數(shù)所在的直線之間的位置關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（3）如何量化單個數(shù)據(jù)相對其平均數(shù)的偏離程度？又如何量化整組數(shù)據(jù)相對其平均數(shù)的偏離程度？

實驗活動1：發(fā)放表2，指導(dǎo)學(xué)生利用Excel軟件或者計算器，合作完成表2的探究內(nèi)容（結(jié)果保留3位小數(shù)）.

（4）如何對“離差”進行數(shù)學(xué)處理以避免出現(xiàn)正負相消的情況？你有哪些方案？

實驗活動2：發(fā)放表3和表4，指導(dǎo)學(xué)生利用Excel軟件或者計算器，合作完成表3和表4的探究內(nèi)容（結(jié)果保留3位小數(shù)）.

設(shè)計意圖 探究活動2意在讓學(xué)生經(jīng)歷利用“平均差”和方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的過程，讓學(xué)生意識到要刻畫數(shù)據(jù)的離散程度首先要找到一個可以進行比較的參照對象. 為此，設(shè)置問題（1）讓學(xué)生直觀分析數(shù)據(jù)的離散程度，再通過問題（2）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三種水稻每公頃的產(chǎn)量均集中分布在各自的平均產(chǎn)量附近，且圍繞其平均產(chǎn)量上下波動. 從而讓學(xué)生意識到，刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的比照對象就是這批數(shù)據(jù)最集中的位置，即反映數(shù)據(jù)集中趨勢的平均數(shù);問題（3）意在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并采用“離差”（數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差）來量化單個數(shù)據(jù)相對其平均數(shù)的偏離程度，通過將這些“離差”求和或求平均數(shù)的方式來量化整組數(shù)據(jù)相對其平均數(shù)的偏離程度. 然而通過實驗活動1，學(xué)生自然會發(fā)現(xiàn)，這些“離差”的總和為0，從而導(dǎo)致這批數(shù)據(jù)的離散程度由于這批“離差”中的正負抵消而不能真正刻畫數(shù)據(jù)的離散程度. 為此，通過問題（4）繼續(xù)引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在討論與交流中得出兩種常見的數(shù)學(xué)處理方式——對“離差”作絕對值或平方. 通過實驗活動2完成三種水稻每公頃的產(chǎn)量的離散程度的量化，為后續(xù)生成“平均差”和方差（標準差）的概念做好鋪墊.

模型歸納，生成概念

1. 模型歸納，醞釀概念？搖

師生共同回顧刻畫數(shù)據(jù)離散程度的過程（見圖2），總結(jié)計算“平均差”和方差的基本步驟[4].

2. 語言轉(zhuǎn)化，生成概念？搖

3. 對比分析，了解優(yōu)劣

問題：通過實驗活動2，我們分別計算出三種水稻每公頃產(chǎn)量的“平均差”和方差（表5），如果利用“平均差”和方差分析三種水稻每公頃產(chǎn)量的波動狀況，你能得出什么結(jié)論？

探究活動3：觀察南粳9108每公頃產(chǎn)量的“平均差”和方差的計算演示過程，你能結(jié)合加權(quán)平均數(shù)的知識進行分析嗎？談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn).

4. 概念延伸，回歸精確

問題：通過探究活動3，我們發(fā)現(xiàn)在實際應(yīng)用中，用方差來描述數(shù)據(jù)的離散程度時，由于計算中進行了平方，從而可能放大該組數(shù)據(jù)離散的程度，并且其單位與原來數(shù)據(jù)的單位不一致，你能繼續(xù)改進這個量嗎？

設(shè)計意圖 首先通過模型歸納，由特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)求一組數(shù)據(jù)的平均差和方差的一般步驟與計算公式. 通過對比分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“平均差”或方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大;“平均差”或方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小. 通過探究活動3繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“平均差”是離差的簡單算術(shù)平均數(shù)，離差的大小并不影響其權(quán)重，所以對于“平均差”來說，極端數(shù)據(jù)的變異性被同等看待了. 而方差則可以看成是以離差本身大小為權(quán)重的加權(quán)平均數(shù)，所以越極端的數(shù)據(jù)會被給予越多的關(guān)注，這一點也更符合人們對于數(shù)據(jù)變異性的直接感[5]，因此，采用方差就比較有效地衡量出這種變異性. 最后通過概念延伸，引出標準差s的概念，即s=. 讓學(xué)生明確標準差既能從量上反映這批數(shù)據(jù)的離散程度，又能使單位與實際相一致，同時也避免方差由于平方后可能夸大離散的程度.

案例研習(xí)，運用概念

1. 典例示范，提升學(xué)力

案例2 2019年10月1日上午10時，北京天安門廣場隆重舉行慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式活動. 寬闊的長安街上，大軍列陣，鐵甲生輝. 巍峨的天安門前，旌旗飄揚，舉世矚目. 這是中國特色社會主義進入新時代的首次國慶閱兵，也是共和國武裝力量改革重塑后的首次整體亮相. 古老滄桑的中華民族，久經(jīng)風(fēng)雨的偉大祖國，在這場舉世關(guān)注的閱兵盛典中煥發(fā)出勝利與自豪的榮光（播放國慶70周年閱兵分列式視頻片段，約2分鐘）.

我們知道接受檢閱的儀仗隊必須精挑細選，整齊劃一，特別注重隊員的身高，表6是從甲、乙兩支儀仗隊隊員中隨機選取的10名隊員的身高（單位：cm），哪支儀仗隊隊員的身高更為整齊？你是怎么判斷的？

探究活動4：當樣本數(shù)據(jù)較大時，方差的計算較為繁復(fù)，你有什么方法可以簡化計算嗎？

（1）如果以185（cm）為基準，將甲、乙兩組數(shù)據(jù)都減去185后再計算兩組新數(shù)據(jù)的方差會有什么結(jié)果？你有什么發(fā)現(xiàn)？

實驗活動3：發(fā)放表7，讓學(xué)生利用Excel軟件或者計算器，合作完成表7的探究內(nèi)容（結(jié)果保留2位小數(shù)）.

（2）你能利用完全平方公式和離差的性質(zhì)（數(shù)據(jù)離差的代數(shù)和為0），化簡方差的計算公式嗎？

2. 公式應(yīng)用，內(nèi)化新知

案例3 某單位要買一批直徑為60 mm的螺絲.現(xiàn)有甲、乙兩個螺絲加工廠，它們生產(chǎn)的螺絲的材料相同，價格也相同. 該單位分別從甲、乙兩廠的產(chǎn)品中抽樣調(diào)查了20個螺絲，它們的直徑（單位：mm）如下：

甲廠：60，59，59.8，59.7，60.2，60.3，61，60，60，60.5，59.5， 60.3，60.1，60.2，60，59.9，59.7，59.8，60，60;

乙廠：60.1，60，60，60.2，59.9，60.1，59.7，59.9，60，60，60， 60.1，60.5，60.4，60，59.6，59.5，59.9，60.1，60.

你認為該單位應(yīng)買哪個廠的螺絲？[6]

設(shè)計意圖 案例2旨在讓學(xué)生重溫國慶70周年閱兵分列式的震撼場面，切身感受到祖國的強大和繁榮，增強學(xué)生的民族自豪感，培養(yǎng)愛國主義情懷. 構(gòu)建探究活動4引發(fā)學(xué)生深入思考，通過簡化方差的計算公式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷處理數(shù)學(xué)問題的過程，提升學(xué)生形式化的推理能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計和數(shù)學(xué)的興趣. 案例3則意在讓學(xué)生進一步熟練應(yīng)用平均數(shù)、方差（標準差）解決實際問題，體會二者的統(tǒng)計意義，明確在實際應(yīng)用中，對不同組別的數(shù)據(jù)進行比較選擇時，當各組數(shù)據(jù)的差異較大時，應(yīng)當首先考慮平均數(shù)的作用;當各組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或者很接近時，要結(jié)合數(shù)據(jù)的離散程度進行分析，根據(jù)離散程度來進行選擇.

梳理小結(jié)，歸納提升

問題：（1）本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識？你能刻畫“成績更穩(wěn)定”這種直觀判斷嗎？

（2）極差、平均差和方差（標準差）有什么作用？

（3）怎樣合理利用方差（標準差）解決實際生活中的問題？

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生回顧極差、平均差和方差（標準差）等相關(guān)知識的產(chǎn)生和獲得過程，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)框圖（圖3）[7]，培養(yǎng)學(xué)生歸納和總結(jié)知識的能力，重點在回顧方差的概念生成過程和理解方差（標準差）的統(tǒng)計意義上.

結(jié)束語

本文通過創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主探究與合作交流的問題情境，構(gòu)建有效的統(tǒng)計實驗活動，使學(xué)生經(jīng)歷完整的統(tǒng)計過程，包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、展示數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息，并利用這些信息說明問題. 本文旨在讓學(xué)生在這樣的過程中，不斷積累統(tǒng)計經(jīng)驗，加深理解統(tǒng)計思想與方法，使統(tǒng)計學(xué)的教學(xué)散發(fā)出它原本應(yīng)有的活力與樂趣，增強中學(xué)生對統(tǒng)計學(xué)的學(xué)習(xí)興趣與能力.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 張鵬，王中德，周寶紅，步學(xué)林，王君，溫凱. 水稻品種比較試驗[J]. 現(xiàn)代農(nóng)業(yè)科技，2020（21）.

[3] 萬榮慶. 清晰認識概念 理解數(shù)學(xué)本質(zhì)——對“方差”概念的分析與思考[J]. 復(fù)印報刊資料：中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)， 2009（06）.

[4] 王華. 關(guān)注概念形成 激活學(xué)生思維——“方差與標準差”概念形成過程的兩次教學(xué)設(shè)計[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014（05）.

[5] 梅林晨. 對于平均差與標準差的數(shù)學(xué)關(guān)系和應(yīng)用價值比較研究[J]. 赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，31（15）.

[6] 馬復(fù). 義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級上冊）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[7] 封小波. 構(gòu)建統(tǒng)計實驗活動 樹立數(shù)據(jù)分析觀念——以“平均數(shù)”教學(xué)為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（29）.