姜溯佩

[摘 ?要] 三角函數(shù)知識(shí)的考點(diǎn)較多，其中概念定義、轉(zhuǎn)化方法、應(yīng)用策略、拓展方向是探究的重點(diǎn). 在復(fù)習(xí)備考階段需要把握知識(shí)重點(diǎn)，生成轉(zhuǎn)化思路，同時(shí)關(guān)注知識(shí)的綜合方式，掌握綜合性問題的突破策略. 文章將結(jié)合實(shí)例進(jìn)行解讀探究，并提出相應(yīng)的建議與同行商討.

[關(guān)鍵詞] 銳角三角函數(shù);概念;網(wǎng)格;數(shù)學(xué)文化;應(yīng)用

銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，近幾年的中考出現(xiàn)了眾多與其相關(guān)的考題，從概念定義、知識(shí)屬性、實(shí)際應(yīng)用等方向綜合考查銳角三角函數(shù). 關(guān)注問題背景、總結(jié)命題方向、剖析突破思路是復(fù)習(xí)備考的重點(diǎn). 下面對(duì)其進(jìn)行全方位探究.

概念剖析，建模求值

銳角三角函數(shù)編排在勾股定理之后，從教材的設(shè)計(jì)來看，是對(duì)直角三角形邊角關(guān)系的深入研究和拓展. 同時(shí)，該內(nèi)容是初中和高中的知識(shí)銜接，深入剖析概念，引導(dǎo)學(xué)生掌握銳角三角函數(shù)求值的方法. 初中時(shí)期，銳角三角函數(shù)的概念建立在直角三角形上，因此求解三角函數(shù)值需要依托直角三角形，利用邊長(zhǎng)比值轉(zhuǎn)化銳角三角函數(shù)值.

例1 ?如圖1所示，在△ABC中，已知tan∠ABC=，BC=5，∠CAB > 90°，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn). 現(xiàn)以CD為一邊作等腰直角三角形CDE，且∠EDC=90°，連接BE，當(dāng)S=時(shí)，則BD的長(zhǎng)度為______.

分析 ?本題為傳統(tǒng)的幾何問題，涉及特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）、動(dòng)點(diǎn)、圖形面積、三角函數(shù)等內(nèi)容. 需要轉(zhuǎn)化的核心條件有兩個(gè)：①tan∠ABC=，②S=. 其中條件①與銳角三角函數(shù)相關(guān)，轉(zhuǎn)化條件需要立足三角函數(shù)的概念，借助于直角三角形轉(zhuǎn)化為線段比值的關(guān)系.

解答 ?過點(diǎn)E作BA的垂線，設(shè)垂足為H;再過點(diǎn)C作BA的垂線，設(shè)垂足為G，如圖2所示. 由圖可得∠CDG=∠DEH，結(jié)合DE=DC可證△EDH≌△DCG（AAS），由全等性質(zhì)可得EH=DG. 而S=BD·EH=，所以EH==DG. 在Rt△BCG中，tan∠ABC=tan∠GBC==，所以BG=2CG. 由勾股定理可得BG2+CG2=BC2=25，所以CG=，BG=2. 又知BD+DG=BG，則BD+=2，解得BD=.

評(píng)析與總結(jié) ?本題是求線段的長(zhǎng)度，對(duì)于其中的銳角三角函數(shù)值，需要轉(zhuǎn)化為與線段比值相關(guān)的條件，故主要考查的是銳角三角函數(shù)的概念. 對(duì)于給定的任意三角形中的三角函數(shù)值，則可以充分利用幾何性質(zhì)，構(gòu)建與直角三角形的聯(lián)系，如等角代換、直角構(gòu)造等，將涉及的角放置在直角三角形中.

在備考中，建議引導(dǎo)學(xué)生深刻理解三角函數(shù)中“數(shù)”與“形”的本質(zhì)屬性，依托直角三角形的三角比進(jìn)行知識(shí)轉(zhuǎn)化，建立三角函數(shù)與三角比之間的聯(lián)系;同時(shí)總結(jié)特殊三角形和任意三角形中三角函數(shù)的求解策略，從概念剖析走向知識(shí)總結(jié)，由條件轉(zhuǎn)化過渡到模型構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的全方位覆蓋.

文化滲透，概念衍生

數(shù)學(xué)文化對(duì)于學(xué)生素養(yǎng)的提升是潛移默化的，不僅可以使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到對(duì)應(yīng)的知識(shí)定理，還可以感悟到文化熏陶. 三角函數(shù)與勾股定理有著緊密的聯(lián)系，實(shí)際考查時(shí)常以古典數(shù)學(xué)名著為背景，將三角函數(shù)與勾股定理相結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)概念的理解.

例2 ?勾股定理有著悠久的歷史，曾引起眾人的研究. 在《周髀算經(jīng)》的“趙爽弦圖”中構(gòu)建了四個(gè)全等的直角三角形. 而英國佩里加（H.Perigal）曾用“水車翼輪法”證明了勾股定理. 該證法具體如下：用線段QX和ST將正方形BIJC分割為4個(gè)全等的四邊形，再將這4個(gè)四邊形與正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（如圖3所示）. 如果AD=，tan∠AON=，則正方形MNUV的周長(zhǎng)為______.

分析 ?本題以數(shù)學(xué)文化為背景，將三角函數(shù)與勾股定理相結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)值的轉(zhuǎn)化和勾股定理的證明. 實(shí)際只需要立足基本概念，充分利用幾何特性進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.

解答 ?延長(zhǎng)ON，與AE的交點(diǎn)設(shè)為H. 由題意可知，AO=AD=DE=，AE=2. 在Rt△AOH中，由于tan∠AON==，所以AH=，所以DH=AH - AD=. 由勾股定理可得OH==. 分析可知△NHD∽△AHO，由相似性質(zhì)可得==，所以DN=1，HN=. 所以O(shè)N=OH-HN=5，進(jìn)而可知MN=5-1=4，可得正方形MNUV的周長(zhǎng)為16.

評(píng)析與總結(jié) ?本題的結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，融合了數(shù)學(xué)文化是其特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)情感的培養(yǎng)有一定的幫助. 對(duì)該類題目的解析，需要引導(dǎo)學(xué)生讀懂?dāng)?shù)學(xué)文化，準(zhǔn)確定位其數(shù)學(xué)知識(shí)，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行問題探究.

網(wǎng)格創(chuàng)建，代換推導(dǎo)

正方形網(wǎng)格具有特殊的性質(zhì)，利用網(wǎng)格可命制與三角函數(shù)相關(guān)的創(chuàng)新問題，不僅可以考查四邊形的性質(zhì)、勾股定理等，還可以考查學(xué)生作圖構(gòu)形、等量轉(zhuǎn)化等技能. 對(duì)于網(wǎng)格中的三角函數(shù)問題，需要充分利用格點(diǎn)來構(gòu)建特殊的三角形，利用格點(diǎn)連成的線段或直線及網(wǎng)格的單位長(zhǎng)度來定位交點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)所涉角的量化.

1. 問題呈現(xiàn)

例3 ?如圖4所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接DN，EC，設(shè)DN與EC的交點(diǎn)為P，試求tan∠CPN的值.

2. 方法歸納

求銳角三角函數(shù)值，可尋找或構(gòu)造一個(gè)直角三角形. 觀察并發(fā)現(xiàn)題目中的∠CPN沒有位于直角三角形中，我們可以利用網(wǎng)格畫平行線來解決此類問題. 如連接MN，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN;再連接DM，則可將∠CPN變換到Rt△DMN中（如圖5所示）.

3. 解決問題

（1）直接寫出圖5中tan∠CPN的值是______.

（2）如圖6所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM的交點(diǎn)為P，試求cos∠CPN的值.

4. 思維拓展

（3）如圖7所示，已知AB⊥BC，AB=4BC，點(diǎn)M位于AB上，且AM=BC，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)N，使得BN=2BC. 連接AN，與CM的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為P，參照上述網(wǎng)格構(gòu)造的方法求∠CPN的度數(shù).

分析 ?本題為網(wǎng)格與三角函數(shù)相結(jié)合的創(chuàng)新題，以知識(shí)探究與應(yīng)用的形式呈現(xiàn)，其中“方法歸納”環(huán)節(jié)十分重要，總結(jié)了網(wǎng)格中銳角三角函數(shù)值的求解方法，即通過構(gòu)造或轉(zhuǎn)換來實(shí)現(xiàn)等量代換. 后續(xù)環(huán)節(jié)的問題探究要充分參照該方法，通過作圖實(shí)現(xiàn)角度的轉(zhuǎn)換.

解答 ?（1）參考圖5，可得tan∠CPN=tan∠DNM==2.

（2）如圖8所示，取格點(diǎn)D，連接CD，DM，則可將∠CPN轉(zhuǎn)換到Rt△DCM中. 所以cos∠CPN=cos∠DCM=.

（3）如圖9所示，取格點(diǎn)D，連接AD，DN. 分析可知∠CPN=∠AND. 又知AD=DN，∠ADN=90°，所以∠AND=∠DAN=45°，從而可得∠CPN=45°.

評(píng)析與總結(jié) ?上述探究網(wǎng)格中的三角函數(shù)，充分利用格點(diǎn)的特性構(gòu)建兩線平行，實(shí)現(xiàn)等角代換. 網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)求值問題有兩種解析策略：一是直接構(gòu)造直角，適用于所涉角較為特殊之時(shí);二是利用平移變換實(shí)現(xiàn)等角代換.

教學(xué)中，建議拓展學(xué)生的思維，引入創(chuàng)新題，綜合解析方法以構(gòu)建思路. 對(duì)于網(wǎng)格類問題，從幾何視角加以剖析，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注網(wǎng)格的特性，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行構(gòu)造、變換，實(shí)現(xiàn)條件的等量代換. 同時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生逐步形成感知，從思想層面理解問題.

與圓同行，知識(shí)綜合

在圓中同樣可以構(gòu)建三角函數(shù)類問題，實(shí)現(xiàn)圓與三角函數(shù)的綜合，其特殊之處在于引入圓，使得幾何特性更加豐富，角度代換更加靈活. 其中的圓周角定理、圓心角定理是角度轉(zhuǎn)化的常用策略，解析時(shí)要充分利用這些定理來構(gòu)建角度關(guān)系，結(jié)合概念推導(dǎo)三角函數(shù)值.

例4 ?如圖10所示，AB為☉O的直徑，CD⊥AB于E，點(diǎn)F是CD上的一點(diǎn)，且BF=DF. 延長(zhǎng)FB至點(diǎn)P，再連接CP，使得PC=PF;延長(zhǎng)BF，與☉O的交點(diǎn)為G，連接BD，GD.

（1）連接BC，證明CD=GB;

（2）證明PC是☉O的切線;

（3）如果tanG=，且AE-BE=，試求FD的值.

分析 ?本題以圓為背景構(gòu)建了復(fù)合圖形，其中第（3）問設(shè)定了三角函數(shù)值，實(shí)際處理時(shí)可將其等角代換，放置在直角三角形中，轉(zhuǎn)化為與線段比值相關(guān)的條件，同時(shí)充分利用圓的特性進(jìn)行輔助分析.

解答 ?第（1）問、第（2）問略.

（3）連接AD，由于AB是☉O的直徑，則∠ADB=90°. 又知AB⊥CD，則=，從而可知∠BDE=∠A=∠G. 在Rt△ADE中，tanA=tanG==，則AE=3DE. 同理可得DE=3BE. 所以AE-BE=3DE-DE=，解得DE=，則CD=2DE=2，BE=DE=，BD=. 可證△BCD∽△FDB，則=，結(jié)合BC=BD可得FD==.

評(píng)析與總結(jié) ?上述第（3）問給出了三角函數(shù)值，解析時(shí)需將其轉(zhuǎn)化為與線段相關(guān)的條件，基本策略依然是等角代換，構(gòu)建直角三角形. 其特殊之處在于圓的性質(zhì)定理，無論是圓周角定理還是圓心角定理，均與圓的弧長(zhǎng)相關(guān)，需要構(gòu)建“弧長(zhǎng)→角度→線段”的推導(dǎo)關(guān)系，形成系統(tǒng)的推理邏輯.

教學(xué)中，建議教師深入探究圓的性質(zhì)定理，充分與三角函數(shù)相融合，以等角代換為主體，探索條件、轉(zhuǎn)化思路、探究過程、注重模型構(gòu)建，挖掘直角模型的構(gòu)建方式，如直徑對(duì)直角、垂徑定理等.

應(yīng)用探究，解構(gòu)直角

應(yīng)用銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題，這是新課標(biāo)對(duì)此內(nèi)容的基本要求. 解析問題通常需要經(jīng)歷三個(gè)環(huán)節(jié)：數(shù)學(xué)建模、條件轉(zhuǎn)化、定理解析. 第一環(huán)節(jié)，將實(shí)物轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)模型量化;第二環(huán)節(jié)，提取模型的幾何性質(zhì)，進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化;第三環(huán)節(jié)，充分利用性質(zhì)定理構(gòu)建幾何關(guān)系，求解問題.

例5 ?如圖11所示是某大型商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯示意圖. 已知自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為30°，在自動(dòng)扶梯下方底面的C處測(cè)得扶梯頂端B處的仰角為60°，A與C之間的距離為4 m，則自動(dòng)扶梯的垂直高度BD=______m.

分析 ?本題為與三角函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題，需要充分利用其中的方位角來求解線段長(zhǎng)，故首先需要構(gòu)建幾何模型，然后通過解直角三角形求BD的長(zhǎng).

解答 ?因?yàn)椤螧CD=∠BAC+∠ABC，∠BAC=30°，∠BCD=60°，所以∠ABC=∠BCD-∠BAC=30°，所以∠BAC=∠ABC，所以BC=AC=4 m. 在Rt△BDC中，由于sin∠BCD=，所以sin60°==，可得BD=2m.

評(píng)析與總結(jié) ?上述求扶梯的垂直高度，其中有兩個(gè)方位角特別關(guān)鍵：“AB的傾斜角為30°→∠BAC=30°”“C處測(cè)得扶梯頂端B處的仰角為60°→∠BCD=60°”. 確定角度大小后，構(gòu)建直角模型是解題的關(guān)鍵.

備考中需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩大角度體系，一是方向角，以觀測(cè)者為中心構(gòu)建的角度;二是方位角，以標(biāo)準(zhǔn)方向?yàn)榛鶞?zhǔn)構(gòu)建的角度. 不同體系下的角度的釋義是不同的，探究時(shí)可結(jié)合具體問題剖析角度關(guān)系，形成深刻的角度認(rèn)識(shí).

解后思考，備考建議

1. 知識(shí)強(qiáng)化，明確核心

三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，具有“數(shù)”“形”的雙重特性，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生立足基本的概念定理，從幾何角度探索轉(zhuǎn)化思路，生成解題策略. 同時(shí)要明確考查核心，立足知識(shí)核心開展教學(xué)探究活動(dòng). 對(duì)于三角函數(shù)，要指導(dǎo)學(xué)生理解對(duì)應(yīng)的概念，強(qiáng)化銳角三角函數(shù)的求解方法，掌握三角函數(shù)解決實(shí)際問題的思路，并合理拓展，生成綜合性問題的解決思路. 因此復(fù)習(xí)備考階段，要研讀知識(shí)考點(diǎn)，明確復(fù)習(xí)方向，梳理知識(shí)定理，構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2. 把握本質(zhì)，總結(jié)解法

三角函數(shù)的命題形式十分多樣，知識(shí)交匯點(diǎn)也較多，涉及特殊圖形、網(wǎng)格、函數(shù)曲線等內(nèi)容，這也是后續(xù)中考的命題趨勢(shì). 但無論命題形式如何變化，考查的知識(shí)定理、方法本質(zhì)是不變的，始終圍繞著等量代換進(jìn)行模型構(gòu)建，如平移代換、構(gòu)建直角模型等. 因此在解題探究中要關(guān)注圖形中的角度關(guān)系，提取其中的直角三角形，合理利用勾股定理推導(dǎo)線段長(zhǎng)，結(jié)合三角函數(shù)的概念進(jìn)行條件與問題的轉(zhuǎn)化. 復(fù)習(xí)中，建議精設(shè)考題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘解法、提煉解題模型、總結(jié)解題規(guī)律.

3. 強(qiáng)化應(yīng)用，拓展思維

三角函數(shù)具有極強(qiáng)的應(yīng)用屬性，可利用對(duì)應(yīng)的知識(shí)求解距離問題、安全范圍問題等. 在探究教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的方向角和方位角，掌握數(shù)學(xué)建模的方法;指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)應(yīng)用題的解析步驟，生成“讀題審題→數(shù)學(xué)建?！匦苑治觥鷹l件轉(zhuǎn)化→定理求解”的解題思路. 同時(shí)注意拓展學(xué)生的思維，合理改編教材習(xí)題，如將三角函數(shù)與拋物線、正方形網(wǎng)格相融合，生成綜合性探究問題. 復(fù)習(xí)備考要重點(diǎn)突出三角函數(shù)的特性，提升學(xué)生的思維水平.

3193500589291