崔克瓊

[摘 ?要] 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的并非簡(jiǎn)單地應(yīng)對(duì)高考，其主要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維習(xí)慣，為此，在教學(xué)中要摒棄簡(jiǎn)單機(jī)械的套用，要重視學(xué)習(xí)能力的提升. 在解題教學(xué)中，除了培養(yǎng)學(xué)生的“雙基”外，要重視解題技巧的探究，引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察，根據(jù)不同的題型實(shí)施不同的解決方案，巧妙地應(yīng)用概念、題設(shè)、數(shù)形結(jié)合等多種解題策略“巧解”問題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)課堂效果的最大化.

[關(guān)鍵詞] 學(xué)習(xí)習(xí)慣;思維習(xí)慣;巧解

談到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就不得不談解題教學(xué)，其是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是“用數(shù)學(xué)”的重要表現(xiàn)形式. 在素質(zhì)教育的影響下，現(xiàn)行高考更側(cè)重于考查學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的能力，即應(yīng)用數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本思想解決現(xiàn)實(shí)問題的能力，因此，培養(yǎng)學(xué)生的“雙基”是解決問題的前提和保障. 然而，在培養(yǎng)“雙基”的基礎(chǔ)上不能忽視解題效率的提升，眾所周知，高考數(shù)學(xué)題量大、題目新，若解題時(shí)不重視方法和技巧，將不利于學(xué)生縝密和靈活性思維的培養(yǎng)，那么學(xué)生在面對(duì)靈活多變的高考題目時(shí)勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)畏難情緒，進(jìn)而影響學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的積極性. 為此，在日常教學(xué)中，除了重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，也要關(guān)注解題技巧，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“巧用”數(shù)學(xué)，使解題過程由繁變簡(jiǎn)，進(jìn)而提升解題的成功率. 筆者選取了幾道典型性的案例進(jìn)行剖析，展示“巧解”在鍛煉學(xué)生思維能力，提升學(xué)生解題能力的妙用，以期激發(fā)學(xué)生探究“巧解”的熱情.

[?]巧用概念，化繁為簡(jiǎn)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，是數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，全面地、準(zhǔn)確地掌握概念有利于“雙基”的提升. 但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)概念的把握僅限于熟背，缺乏對(duì)概念內(nèi)涵和外延的挖掘，以至于對(duì)概念的理解缺乏深刻性和靈活性，進(jìn)而學(xué)生在面對(duì)應(yīng)用概念直接求解的問題時(shí)顯得束手無策，從而影響了解題效率.

例1：已知拋物線x2=2px（p>0）上存在A，B兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AB=l（l≥2p），試求線段AB的中點(diǎn)M到x軸的最小垂直距離時(shí)M的縱坐標(biāo).

分析：本題在求解時(shí)大多數(shù)學(xué)生都是構(gòu)造線段中點(diǎn)M到x軸的最小垂直距離的方程f（x，y）=0，再求y的值，雖然這樣求解思路簡(jiǎn)單，但其運(yùn)算過程煩瑣，運(yùn)算量大，若要順利求解不僅要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力而且需要消耗更多的時(shí)間，這樣勢(shì)必會(huì)影響解題的準(zhǔn)確率和解題效率. 為了規(guī)避煩瑣的運(yùn)算，在解題時(shí)可以嘗試回歸概念，調(diào)動(dòng)最原始的認(rèn)知重新審視題目，也許有意外的收獲. 本題根據(jù)拋物線的相關(guān)概念可以構(gòu)造出如圖1所示的圖形，在梯形ACDB中，ME=，即y+=. 由拋物線的定義可知，AC=AF，BD=BF，則AC+BD=AF+BF. 在△AFB中，AF+BF≥AB，則y+≥=，即y≥-，當(dāng)AB經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)，y的最小值為-（l≥2p）.

點(diǎn)評(píng)：本題求解中靈活應(yīng)用概念構(gòu)造出了圖1，通過應(yīng)用拋物線的定義得到AC=AF，BD=BF，從而將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，轉(zhuǎn)化后直接應(yīng)用三角形三邊知識(shí)得出了答案. 從上面的解題過程可以看出，應(yīng)用概念求解并不需要復(fù)雜的計(jì)算，同時(shí)思路更加清晰，步驟更加簡(jiǎn)潔，解題更加高效. 可見，在解題時(shí)巧用概念可以有效簡(jiǎn)化解題過程，有利于解題效率的提升，因此，在日常學(xué)習(xí)中一定要注意深化對(duì)概念的理解，進(jìn)而解題時(shí)可以靈活應(yīng)用，從而化繁為簡(jiǎn)，提升解題效率.

[?]巧用題設(shè)，優(yōu)化解題策略

學(xué)生在解題時(shí)常急于求成，看到熟悉的題目就直接生搬硬套原有的解題思路，不重視觀察題設(shè)信息，這樣稀里糊涂盲目套用往往容易造成思路中斷，不僅未能成功解決問題，而且浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間，因此，在解題前應(yīng)先仔細(xì)觀察題設(shè)信息，注意題設(shè)隱含信息的挖掘和提取，從而獲得解題的捷徑.

例2：已知方程（ac-bc）x2+（bc-ab）x+（ab-ac）=0的兩根相等，試證明，，是等差數(shù)列.

分析：本題在求解時(shí)很多學(xué)生僅關(guān)注“兩根相等”這一信息，解題時(shí)直接利用方程“Δ=0”，即（bc-ab）2-4（ac-bc）（ab-ac）=0，顯然若要化簡(jiǎn)要經(jīng)歷開方、配方等復(fù)雜的過程，而且在計(jì)算前并不能預(yù)判此方法是否能獲得解題信息，解題處于“走一步算一步”的狀態(tài)，缺乏對(duì)整體解題思路的把控，進(jìn)而難以保障解題的準(zhǔn)確率. 此題在動(dòng)手前應(yīng)先觀察，看看除了“Δ=0”這一信息外是否還隱藏著其他已知條件. 經(jīng)過觀察方程的系數(shù)知曉“（ac-bc）+（bc-ab）+（ab-ac）=0”，由此可知方程的兩個(gè)相等的根為“1”，分析至此，完整的解題思路就形成了，求解也就水到渠成了.

根據(jù)韋達(dá)定理可知：=2，即2ac=ab+bc，=+，所以，，是等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)：本題解題時(shí)通過觀察獲得了“（ac-bc）+（bc-ab）+（ab-ac）=0”這一重要信息，成功地找到了解決問題的突破口，有效規(guī)避了常規(guī)解題思路所帶來的復(fù)雜運(yùn)算過程，使解題效率大大提升. 要知道，高考重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算能力，但運(yùn)算絕非簡(jiǎn)單機(jī)械的套用，其更主要的是考查學(xué)生是否能夠根據(jù)題設(shè)條件尋求最合理、最簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“巧算”. 為此，在教學(xué)中教師要避免解題機(jī)械化、模式化，要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察題設(shè)的外部結(jié)構(gòu)，尋找個(gè)性化解題方案，進(jìn)而優(yōu)化解題策略，提升學(xué)生的解題能力.

[?]巧用數(shù)形結(jié)合，捕捉問題切入點(diǎn)

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)老生常談卻不得不談的問題，因?yàn)榻柚皵?shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)，“形”的直觀往往可以收獲許多意外的驚喜. 有時(shí)在解題時(shí)若單一從“數(shù)”或單一從“形”的角度出發(fā)，絞盡腦汁也難以求解，而將二者相結(jié)合不僅容易找到解題的突破口，而且可以避免煩瑣冗長(zhǎng)的計(jì)算，進(jìn)而提高解題效率.

例3：已知方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的兩個(gè)實(shí)根為x，x，滿足0

分析：根據(jù)題設(shè)信息學(xué)生很容易從代數(shù)的角度出發(fā)，調(diào)用解一元二次方程的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)韋達(dá)定理和根的取值范圍進(jìn)行求解，顯然，應(yīng)用該方案不僅求解困難，而且思路容易混亂，很難求解，若將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助函數(shù)圖像的直觀性更容易找到解題的切入點(diǎn)，方便求解.

令f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2，根據(jù)方程的兩個(gè)實(shí)根為x，x，滿足0

f（0）>0，

f（1）<0，

f（2）>0，即k2-k-2>0，

k2-2k-8<0，

k2-3k>0.

由k2-k-2>0得k<-1或k>2;由k2-2k-8<0得-20得k<0或k>3. 將結(jié)果用數(shù)軸表示（如圖3），則k的取值范圍為（-2，-1）或（3，4）.

點(diǎn)評(píng)：本題求解時(shí)將方程、函數(shù)、不等式等問題相串聯(lián)，先將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，根據(jù)方程根“0

[?]巧妙轉(zhuǎn)化，規(guī)避分類討論

分類討論其實(shí)質(zhì)就是根據(jù)題設(shè)條件將含有不確定因素的大問題拆分成若干小問題來解決，其可使解題思路更加清晰，但應(yīng)用分類討論其解題過程往往會(huì)較為煩瑣，這也是分類討論無法回避的一個(gè)問題，同時(shí)，有時(shí)因分類不清可能也會(huì)增加錯(cuò)解的風(fēng)險(xiǎn)，因此，在解題時(shí)，有時(shí)將問題巧妙轉(zhuǎn)化往往可以有效規(guī)避分類風(fēng)險(xiǎn).

例4：已知集合A={x

ax2+3x+2=0，x∈R}，若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍.

分析：A中元素有三種情況：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)，但要滿足“至多一個(gè)元素”，則需要分兩類進(jìn)行討論，即0個(gè)和1個(gè)，顯然若求出A中有兩個(gè)元素的情況，再應(yīng)用補(bǔ)集則可以規(guī)避分類，進(jìn)而減少運(yùn)算過程. 對(duì)于a而言，不論a取任何實(shí)數(shù)，集合A都有意義，所以全集=R.

假設(shè)A中有兩個(gè)元素，即ax2+3x+2=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，則a≠0，Δ=9-8a>0，解得a<，且a≠0. 求出A后，根據(jù)補(bǔ)集的思路可得a的取值范圍為{0}∪

，+∞

.

評(píng)注：本題求解過程中利用“補(bǔ)集”有效地規(guī)避了分類討論. 有時(shí)解題時(shí)若順勢(shì)分析可能會(huì)有多種情況，不妨逆向而上，往往可以優(yōu)化解題策略. 雖然分類討論有明顯的優(yōu)勢(shì)，但有時(shí)巧妙地規(guī)避，也會(huì)有意外驚喜.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)中的“巧解”不拘泥于這幾類，其分散于教學(xué)的每個(gè)角落，為此，教師要注意各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行滲透，讓學(xué)生在掌握“雙基”的基礎(chǔ)上可以跳一跳，根據(jù)不同的知識(shí)點(diǎn)、不同的題設(shè)結(jié)構(gòu)、不同的題型采取不同的解決策略，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)、簡(jiǎn)化流程，最終提升解題效率的目的.