李小燕

一、化繁為簡——基于學(xué)情精準(zhǔn)定位

師（出示?）：你能說出一些跟它相等的分?jǐn)?shù)嗎？

生：2/4、4/8……

師（板書1-24）：看到這幾個分?jǐn)?shù)，有同學(xué)提出了這樣的問題（課件展示）。

（1）為什么分?jǐn)?shù)會發(fā)生不同改變，但相同？（2）為什么有些分?jǐn)?shù)的分母和分子不一樣，但它們都相等？

（3）還有其他相等的分?jǐn)?shù)嗎？

師：這些是不是好問題？它們?yōu)槭裁聪嗟饶?？就讓我們從“為什?2=4”研究起吧！請同學(xué)們在學(xué)習(xí)單上寫出自己的想法。

生：都是一半。

生2：12-05，子-2405，g48-05，它們都等于0.5。

生，（出示圖1）：看，1個就等于2個等于4個所以相等。

師：還有其他的想法嗎？想一想，分?jǐn)?shù)的大小不變，但分子、分母卻變了，是怎么變的？

【賞析】學(xué)生對相等的分?jǐn)?shù)本就有初步感知，可到底了解到什么程度？什么是學(xué)生心底最困惑的？這些學(xué)情是上課之前教師必須準(zhǔn)確把握的。為此，黃老師設(shè)計了前測單：（1）有相等的分?jǐn)?shù)嗎？如果有，請你舉個例子，并說明理由。（2）仔細(xì)觀察這幾個分?jǐn)?shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（3）你有什么疑問嗎？前測的結(jié)果多數(shù)學(xué)生僅對1比較有感覺。學(xué)生對問題（3）的回答大多指向同一點：“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是什么？道理何在？”

基于前測，黃老師設(shè)計了大問題“為什么124n，這個問題看似簡單，背后所蘊涵的內(nèi)容卻很不簡單：學(xué)生知道1=2，僅僅是借助“一半”或是分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等來理解，這樣的理解是淺層的，而分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)要研究的是深層次的數(shù)學(xué)本質(zhì)，是分?jǐn)?shù)單位的變化特點，是分子和分母變化中的不變。從學(xué)生熟悉的開始，是合適的。因為它是基于學(xué)生的已有經(jīng)驗，切合學(xué)生的內(nèi)心所需，也更有思考的空間。在探究過程中，學(xué)生可以剪、可以拼、可以畫，可以用自己喜歡的方式去探究數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更容易獲得成功的體驗，且契合數(shù)學(xué)研究“從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般”的規(guī)律。這就是“知識的生長點”。當(dāng)學(xué)生把它弄明白了，其余的問題，如“還有其他相等的分?jǐn)?shù)嗎”也就迎刃而解了，達到“化繁為簡”的效果。

二、深析簡議一基于本質(zhì)精準(zhǔn)提煉

1.分一同倍縮小。（圖2）

生：我發(fā)現(xiàn)，是墓幅圖的一半，而2也是一半，所以它們的大小相等。

生，：其實2就是把的分子和分母的每一份都再平均分成兩份，所以它們的大小不變。

師（邊畫圖邊說）：如果我們把2的分子和分母的每一份再繼續(xù)往下分成兩小份，變成4呢？

生齊答：大小還是不變。

師：再繼續(xù)往下分呢？生：還是不變。

師：是啊，因為新的分?jǐn)?shù)是“再分”出來的。是把的分子和分母，每一份都“再分”成兩份，4又是把2的分子和分母每一份又“再分”成兩份，數(shù)字變大，分?jǐn)?shù)單位卻一直縮小，它們的整體“1”和所取的部分其實是不變的。

2.合——同倍擴大。

師：旁什么名會零于時？

（畫圖示意）：把二的分子和分母每兩份來變成一份，就變成，了，所以2

生：如果是，就是分子和分母的每3份都變成一份。

師：所以雖然它們的分?jǐn)?shù)單位一直擴大，也就是分子和分母的數(shù)字縮小，但分?jǐn)?shù)的大小不變。這樣的變化，其實就是“合并”。不論是“再分”還是“合并”，有一個關(guān)鍵的地方是什么呢？

生：分子和分母的變化必須相同。

師：對，分和合的倍數(shù)都要一樣，用數(shù)學(xué)的語言來說，也就是“同時乘或除以一個不為0的數(shù)”。只有這樣，分?jǐn)?shù)的大小才能保持不變。

【賞析】“再分”和“合并”這兩個詞語極妙，它們通俗易懂，卻把分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的兩種變化講得清清楚楚。我們知道，小學(xué)生正處于具體運算階段，他們的思維還偏形象化，需要實物或圖形來支持?jǐn)?shù)學(xué)思維，而數(shù)學(xué)語言卻是高度抽象化的。為此，黃老師借助圖形，引導(dǎo)學(xué)生畫圖發(fā)現(xiàn)“變化中的不變”一“乘”即相當(dāng)于畫圖中的“再分”，“除”就是“合并”，只要圖形中的每一份“分”或“合”的倍數(shù)是一致的，所取的總量就不會改變，分?jǐn)?shù)值的大小也不會改變。這樣簡單的話語，配合圖形的變化，極具動感，使得抽象的數(shù)學(xué)用語在學(xué)生的腦海中形象起來，學(xué)生很容易就能明白知識背后的道理所在。此時，再引出“同時乘或除以一個不為0的數(shù)”這樣的數(shù)學(xué)語言也就水到渠成了。

三、以簡挈全一基于極限精準(zhǔn)概括

1.分一窮究極限。課件出示數(shù)線（圖3）：

師：這條數(shù)線的中間這一點，表示幾呢？

生：?，2/4……

師：到底有多少個呢？

生：有無數(shù)個，因為的每一份都可以不斷地往下分。

師：是啊，每一種分法，都會產(chǎn)生一個新的分?jǐn)?shù)，所以這一點可以用無數(shù)個分?jǐn)?shù)來表示。但是，它的大小必須都等于——

生齊答：?。

2.合一以一代萬。師：這一點上的所有的分?jǐn)?shù)，我們可以把它看成一個集合。（如圖4所示）

師：如果讓你選擇一個分?jǐn)?shù)來作為這個集合的代表，你會選誰呢？為什么？

生：我會選），因為它數(shù)字最小。

生2：我覺得，其他的任何一個都可以，因為它們的大小其實都一樣。

生：我贊成生2。像可以“再分”成2，4也可以“合并”出?。

【賞析】如果說前一次的“再分”與“合并”還處于感官認(rèn)知的層次，這次的“再分”與“合并”則完全是理性建模的高度。通過“表示數(shù)線中間點的分?jǐn)?shù)有幾個”這個問題的引導(dǎo)，學(xué)生明白了分?jǐn)?shù)的每一部分都可以無限地“再分”下去，每一次的分割，都會產(chǎn)生一個新的分?jǐn)?shù)。分法無數(shù)種，則新的分?jǐn)?shù)就有無數(shù)個，于此學(xué)生感受到了極限思想。而“選擇一個分?jǐn)?shù)來作為這個集合的代表”這個問題設(shè)置得更妙。在這個環(huán)節(jié)中，“再分”與“合并”得到了“歸一”——學(xué)生通過探討得出了結(jié)論，許多分?jǐn)?shù)，既可以用“再分”的方法得到，也可以用“合并”的方法得到，只不過想的角度不一樣，因此任何一個數(shù)都可以當(dāng)成這個集合的代表。這樣簡樸的話語說明學(xué)生真正理解了分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的內(nèi)涵，也為這堂課畫下了圓滿的句號。

大道至簡！因為“簡”，才能讓知識本質(zhì)凸顯，更容易使人掌握知識要素，也更有生長的空間。但“簡”，又不是普通意義上的簡單，它要建立在對數(shù)學(xué)知識深度理解的基礎(chǔ)之上，去引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的道理、描述數(shù)學(xué)知識的法則，并建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。黃偉華老師正是基于對本課內(nèi)容的深刻領(lǐng)悟，才能提取出“再分”和“合并”這兩個接地氣的話語。言簡意賅，卻又直入人心。由此，分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)在學(xué)生的心中生根發(fā)芽，建立了比較完善的知識結(jié)構(gòu)。

（作者單位：福建省石獅市第三實驗小學(xué)責(zé)任編輯：王彬）