摘 要：本文通過對(duì)新教材“4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)過程的解讀，探討核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程，分析如何在課堂中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)課堂;指數(shù)函數(shù)概念

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）明確指出，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的重點(diǎn)是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，這對(duì)數(shù)學(xué)教師提出了新的要求。通過校本教研、學(xué)習(xí)討論、教學(xué)實(shí)驗(yàn)、展示交流等途徑，數(shù)學(xué)教師要深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的育人價(jià)值。

以下是筆者執(zhí)教的新教材內(nèi)容高一數(shù)學(xué)必修一第四章第二節(jié)第一課時(shí)“4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)實(shí)踐流程。

一、 問題與情境

問題1 隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式。由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而B地則取消了景區(qū)門票。

比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？

為了有利于觀察規(guī)律，分別畫出A，B兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖象（圖1和圖2）：

觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)，A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長(zhǎng)），年增加量大致相等（約10萬次）;B地景區(qū)的游客人次則是非線性增長(zhǎng)，年增加量越來越大，但是從圖象和年增加量都難看出變化規(guī)律。

探究：我們知道，年增加量是對(duì)相鄰兩年的游客人次做減法得到的。能否通過對(duì)B地景區(qū)每年的游客人次做其他運(yùn)算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢？

從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到：

2002年游客人次2001年游客人次=309278≈1.11

2003年游客人次2002年游客人次=344309≈1.11

……

2015年游客人次2014年游客人次=12441118≈1.11

結(jié)果表明，B地景區(qū)的游客人次的年增長(zhǎng)率都約為1.11-1=0.11，是一個(gè)常數(shù)。

像這樣，增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)增長(zhǎng)。因此，B地景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長(zhǎng)。

顯然，從2001年開始，B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：

1年后，游客人次是2001年的1.111倍;

2年后，游客人次是2001年的1.112倍;

2年后，游客人次是2001年的1.113倍;

……

x年后，游客人次是2001年的1.11x倍。

如果設(shè)x年后的游客人次為2001年的y倍，那么

y=1.11x（x∈[0，+∞）。這是一個(gè)函數(shù)，其中x是自變量。

設(shè)計(jì)意圖：以上是一個(gè)旅游經(jīng)濟(jì)的問題，屬于增長(zhǎng)問題，學(xué)生通過解決實(shí)際問題，引出新的函數(shù)，體會(huì)數(shù)學(xué)是有用的，產(chǎn)生學(xué)習(xí)研究的興趣。

問題2 當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”。按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么

根據(jù)已知條件，（1-p）5730=12，從而算出

設(shè)計(jì)意圖：以上是碳14衰減的問題，生物體內(nèi)的碳14含量隨時(shí)間呈連續(xù)的指數(shù)衰減變化，這是一個(gè)經(jīng)典的指數(shù)函數(shù)實(shí)例，有利于指數(shù)函數(shù)概念的理解。

二、 知識(shí)與技能

15730x，這幾個(gè)關(guān)系式能否構(gòu)成x和y之間的函數(shù)關(guān)系呢？

生答：可以，因?yàn)閷?duì)每一個(gè)確定的x，都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)。

問題2 類似這樣的函數(shù)，你能再舉幾個(gè)例子嗎？這些函數(shù)有什么共同特征？能否用一般形式表示？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)和引導(dǎo)學(xué)生思考這類食物的本質(zhì)屬性是什么，讓學(xué)生產(chǎn)生研究這一組新對(duì)象的興趣，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)新問題。

共同特征：都是指數(shù)形式，自變量在指數(shù)位置，底數(shù)是常數(shù)。

問題3 形如y=ax（x∈R）的函數(shù)就是本節(jié)要學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)，自變量是x，底數(shù)a是常數(shù)。以上例子的不同之處，是底數(shù)不同。那么你覺得底數(shù)能取哪些值？底數(shù)的允許范圍是什么？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)的定義域，進(jìn)而討論底數(shù)的允許值范圍。

生答：底數(shù)不能取負(fù)數(shù)，如果底數(shù)取負(fù)數(shù)或0，x就不能取任意實(shí)數(shù)了。

師補(bǔ)充：為了研究的方便，我們要求底數(shù)a>0。另外，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)就是常函數(shù)y=1，對(duì)于這個(gè)函數(shù)我們已經(jīng)比較了解了，通常我們還規(guī)定a≠1。

通過討論，得到體現(xiàn)自變量在指數(shù)位置這一本質(zhì)特征的最基本、最簡(jiǎn)潔、最合理的形式：y=ax（a>0且a≠1），從而完成對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的建構(gòu)。

三、 新知運(yùn)用

設(shè)計(jì)意圖：不僅可以讓學(xué)生熟悉指數(shù)函數(shù)的解析式和對(duì)應(yīng)關(guān)系，還可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)利用函數(shù)解析式列方程求底數(shù)a的值。

例2 在問題1中，如果平均每位游客出游一次可以給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況。

這說明，在2001年，游客給A地帶來的收入比B地多412000萬元;隨后10年，雖然f（x）>g（x），但g（x）的增長(zhǎng)速度大于f（x）;根據(jù)上述數(shù)據(jù)并考慮實(shí)際情況，在2011年2月某個(gè)時(shí)刻就有f（x）=g（x），這時(shí)游客給A地帶來的收入和B地差不多;此后，f（x）

設(shè)計(jì)意圖：通過利用指數(shù)函數(shù)概念來解決問題，讓學(xué)生進(jìn)一步了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，并理解指數(shù)函數(shù)的概念。同時(shí)引出形如y=kax（k≠0，a>0，且a≠1）的刻畫指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型。

以上是基于新教材的“4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)課堂設(shè)計(jì)，與以往不同的是，指數(shù)函數(shù)的概念占據(jù)一個(gè)課時(shí)，而指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)留做下一個(gè)課時(shí)的內(nèi)容來進(jìn)行探究，筆者認(rèn)為新教材這樣設(shè)計(jì)是合理且有必要的，有助于核心素養(yǎng)在課堂中的落實(shí)，以下對(duì)本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行分析：

1. 概念教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落腳點(diǎn)

本節(jié)課從旅游人次的增長(zhǎng)問題和碳14的衰減問題這兩個(gè)實(shí)例引入指數(shù)函數(shù)的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過程，從具體到抽象的深化，自然地提出問題，熟悉數(shù)學(xué)抽象的基本思路，順利展開數(shù)學(xué)活動(dòng)，在概念形成的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象。

2. 創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是對(duì)新鮮問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。通過創(chuàng)設(shè)情境，有利于學(xué)生更好地感受指數(shù)函數(shù)模型，促進(jìn)學(xué)生了解中國文化、關(guān)心社會(huì)。通過對(duì)問題情境的完美解決，有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

3. 思路探究環(huán)節(jié)發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是教思維的，數(shù)學(xué)是教推理的，數(shù)學(xué)是講邏輯的。邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)新命題的思維過程。思路探究需要鋪設(shè)合適的臺(tái)階，邏輯推理才能順利進(jìn)行。本節(jié)課的知識(shí)技能環(huán)節(jié)通過設(shè)計(jì)一系列的問題鏈，讓學(xué)生不斷地處于問題探究的過程之中，引發(fā)學(xué)生思維的碰撞。在探究過程中自然而然提升了邏輯推理能力。

4. 結(jié)論運(yùn)用環(huán)節(jié)提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

本節(jié)課的例題教學(xué)2與情景引入相呼應(yīng)，對(duì)旅游人次的增長(zhǎng)問題進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，從而比較A，B兩地旅游收入變化情況。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和數(shù)據(jù)分析，是現(xiàn)代公民在信息化時(shí)代的基本能力和基本素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識(shí)的過程。通過例2的數(shù)據(jù)分析，學(xué)生不僅解決了實(shí)際問題，還能夠從中體會(huì)指數(shù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)呈“爆炸”型增長(zhǎng)。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)新課程對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的新要求，也是課堂教學(xué)新的風(fēng)向標(biāo)。在新教材、新課標(biāo)的大背景下，一線教師更應(yīng)該注重在平常的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)，使得學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以發(fā)展和提升。

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作者簡(jiǎn)介：朱晴晴，福建省廈門市，廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū)。