劉剛強(qiáng)，曹周鍵

(北京師范大學(xué) 天文學(xué)系，100875)

1 引 言

廣義相對論是繼牛頓萬有引力理論后，在強(qiáng)引力場、強(qiáng)動態(tài)時空區(qū)域更精準(zhǔn)的引力理論。廣義相對論預(yù)言的很多物理現(xiàn)象，包括星光偏折、引力紅移、夏皮羅時間延遲、參考系被拖拽的效應(yīng)和黑洞等都一一得到驗證。在廣義相對論發(fā)表100年后，2015年9月15日引力波被美國的激光干涉儀引力波天文臺(the laser interferometer gravitational-wave observatory,LIGO)成功直接探測到。引力波的成功探測完成了廣義相對論最后一個理論預(yù)言的實驗檢驗[1,2]，也為人們觀測天體和宇宙提供了一種全新手段[3,4]。

然而，廣義相對論仍然存在各種各樣的問題。暗物質(zhì)和暗能量始終是廣義相對論這片廣袤天空上的兩朵烏云。對于推動宇宙加速膨脹起到重要作用的暗能量[5]，我們只能考慮有效場論，唯象層面上在標(biāo)準(zhǔn)廣義相對論下加入一些修正(通常在標(biāo)準(zhǔn)廣義相對論下額外考慮一個標(biāo)量場)，最典型的是k-essence理論[6]。對于暗物質(zhì)同樣如此，1933年，F(xiàn)irtz Zwicy發(fā)現(xiàn)后發(fā)座星系團(tuán)中各個星系團(tuán)的速度彌散太高，最開始認(rèn)為只是一些不發(fā)光的物質(zhì)。20世紀(jì)80年代左右，大量的觀測表明，這種不發(fā)光的物質(zhì)并非我們之前所認(rèn)識到的基本粒子，這對基礎(chǔ)物理提出了一個很大的挑戰(zhàn)，這種物質(zhì)雖然具有很強(qiáng)的宏觀引力效應(yīng)，但是卻在局域上與物質(zhì)相互作用很弱[7]。另外，廣義相對論與量子理論在邏輯體系上不相容[8]；而且廣義相對論自身預(yù)言時空奇點的存在，這些都暗示著廣義相對論的理論缺陷。

對廣義相對論所有理論預(yù)言的成功檢驗既表明了廣義相對論的成功，也給人們帶來機(jī)會尋找廣義相對論失效的物理條件。牛頓萬有引力理論適用范圍對應(yīng)的弱場和低速，都是相對于廣義相對論黑洞致密程度對應(yīng)的強(qiáng)場和相對論預(yù)言的極限光速而言?？梢韵胂螅瑥V義相對論失效的物理條件是相對于一種新理論給出來的特征物理量而言，所以尋找廣義相對論失效物理條件的最好方法就是對比不同于廣義相對論的引力理論，用實驗數(shù)據(jù)來進(jìn)行理論選擇[9]。引力波實驗正好對應(yīng)強(qiáng)引力場、強(qiáng)動態(tài)時空區(qū)域的物理條件。引力波實驗正在以前所未有的標(biāo)準(zhǔn)檢驗著廣義相對論，同時眾多的其他引力理論被引力波實驗否定[5,10–14]。毫無疑問，科學(xué)研究進(jìn)展使人們對引力基本物理有了更深刻的理解。

本文以Einstein-aether理論為例，探討引力波對超越廣義相對論引力理論的實驗檢驗。Einstein-aether理論的引力作用量可寫為：

其中，Uμ是以太對應(yīng)的四速，gμν是時空度規(guī)，R是里奇標(biāo)量是Kronecker delta記號[15]。GEA是Einstein-aether理論的有效引力常數(shù)，有別于牛頓的萬有引力常數(shù)，c1,c2,c3,c4是Einstein-aether理論的4個參數(shù)，如果這4個參數(shù)都等于0，則Einsteinaether理論回到廣義相對論。Einstein-aether理論的參數(shù)組合為[16,17]：

脈沖雙星的觀測[16]和宇宙學(xué)的觀測[17]將其限制為：

文章余下部分的安排如下：第2章介紹筆者提出的Einstein-aether理論中圓軌道雙星系統(tǒng)的后愛因斯坦引力波波形形式；第3章介紹本文使用的Fisher Matrix參數(shù)估計方法；第4章給出引力波對Einstein-aether理論中參數(shù)的限制結(jié)果和檢驗Einstein-aether理論的結(jié)果；第5章是小結(jié)和討論。

2 Einstein-aether理論中圓軌道雙星系統(tǒng)的后愛因斯坦引力波波形

根據(jù)文獻(xiàn)[18]的計算結(jié)果，結(jié)合圓軌道雙星系統(tǒng)的TaylorF2引力波波形模型[19,20]，我們把Einstein-aether理論中圓軌道雙星系統(tǒng)的后愛因斯坦引力波波形寫成如下形式[21]：

其中，γ是歐拉常數(shù)，M=m1+m2是雙星總質(zhì)量，是雙星系統(tǒng)的對稱質(zhì)量比，flso是最后穩(wěn)定軌道的頻率，f是引力波的頻率，p0,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7和l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7是引力波相位Ψ1和Ψ2的展開系數(shù)。本文提出的波形模型與文獻(xiàn)[21]略有不同。文獻(xiàn)[21]關(guān)注后牛頓近似，波形公式(包括式(7),(9),(20)和(27))中的質(zhì)量都是啁啾質(zhì)量(chirp mass)。我們關(guān)注波形的準(zhǔn)確性，使用了總質(zhì)量。我們的波形模型在α=β?1=β0=0時，嚴(yán)格回到LIGO數(shù)據(jù)處理使用的TaylorF2波形模型。在唯象層次上，我們的上述模型很容易直接推廣到LIGO數(shù)據(jù)分析軟件庫中最先進(jìn)的IMRPhenom波形模型[22,23]。文獻(xiàn)[24]中的公式(2)(即文獻(xiàn)[25]的公式(2.5))里的ψn和ψ(l)n，以及文獻(xiàn)[2]中的ψ?2和ψ0與本文采用的參數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下：

考慮到GW170817的多信使天文學(xué)對引力波速度的精確測定(精度約為10?15)[5,10–12,26]，我們直接把引力波速度設(shè)定為光速。于是將上述波形表達(dá)式與文獻(xiàn)[18]的計算結(jié)果相結(jié)合，我們得到：

其中，ψ是引力波偏振角，F(xiàn)b,FL,FX,FY是引力波探測器對相應(yīng)引力波偏振模式的響應(yīng)函數(shù)，γb,γL,γX1,γX2,γY1,γY2是Einstein-aether理論中相應(yīng)引力波偏振模式的強(qiáng)度系數(shù)。相應(yīng)函數(shù)和偏振模式強(qiáng)度系數(shù)可以表達(dá)為Einstein-aether理論參數(shù)c1,c2,c3,c4的函數(shù)，相關(guān)表達(dá)式的信息參考文獻(xiàn)[18]。?x和κ3是Einstein-aether理論給出的參數(shù)，也是c1,c2,c3,c4的函數(shù)，分別定義在文獻(xiàn)[18]中的公式(4.6)和(6.7)。廣義相對論對應(yīng)?x=0和κ3=1。本文接下來介紹如何利用引力波探測來限制α,β?1和β0。

高級LIGO探測器自2015年9月開機(jī)以來，已經(jīng)歷了三次觀測運(yùn)行，其探測靈敏度還在不斷提高。高級LIGO探測器的噪聲功率譜可以近似成下面的形式[25]：

其中，f為引力波頻率，x為約化頻率，S0為總的噪聲水平。

3 Fisher Matrix的參數(shù)估計方法

引力波探測器所測得的數(shù)據(jù)d包含信號s和噪聲n，即d(t)=s(t)+n(t)。在理想情況下，探測器的噪聲是高斯穩(wěn)態(tài)噪聲，即d(t)?s(t)是一個隨機(jī)過程，而且各種聯(lián)合概率分布都是與時間無關(guān)的高斯分布。

基于引力波探測器的靈敏度，我們定義兩組時間序列h1(t)和h2(t)的內(nèi)積如下：

這里h1和h2頭上的“?”代表傅立葉變換，“?”代表取復(fù)共軛，“?”代表取實部，(fmin,fmax)對應(yīng)探測器的敏感頻率范圍。對于高斯穩(wěn)態(tài)噪聲n(t)，其內(nèi)積應(yīng)該滿足高斯分布：

于是我們就有條件概率分布：

對于引力波探測，我們關(guān)心的是基于探測數(shù)據(jù)d(t)，獲得信號h(t)的概率是多大，也就是條件概率p(h|d)。根據(jù)貝葉斯定理，我們可得：

上式分母實為分子對應(yīng)的概率歸一化因子。在貝葉斯統(tǒng)計學(xué)里，p(h|d)被稱為后驗概率，p(h)被稱為先驗概率，p(d|h)被稱為似然函數(shù)。

對于某一種類引力波源，如雙星系統(tǒng)，引力波波形除了是時間的函數(shù)外，還依賴于波源的參數(shù)，如雙黑洞的質(zhì)量、自旋和軌道離心率等。我們把這些參數(shù)記作，則可得h()。概率分布p(h|d)和p(h)是相對于的函數(shù)，即是參數(shù)空間上的函數(shù)。∫p(d|h)p(h)是對整個參數(shù)空間積分。

后驗概率p(h|d)作為參數(shù)空間上的函數(shù)，其最大值所對應(yīng)的點被稱為最可幾參數(shù)0。在引力波的匹配濾波數(shù)據(jù)處理中，0對應(yīng)最好匹配的那組參數(shù)[1]。我們再進(jìn)一步假設(shè)信號很強(qiáng)，即信噪比很高，噪聲n基本可忽略不計，則有d≈h(0),?n,n?≈?n,h?≈?n,?λih?≈?n,?λi?λjh?≈0。如果我們簡化認(rèn)為先驗均勻分布p(h)∝1，則根據(jù)式(36)和(37)可得：

其中，C是概率分布的歸一化因子。我們考慮點處的泰勒展開近似：

上式右邊的矩陣??λih,?λjh?剛好對應(yīng)統(tǒng)計學(xué)里的Fisher Matrix。也就是說在高信噪比條件下，后驗概率分布在最可幾參數(shù)點可近似為協(xié)方差矩陣Σij，等于Fisher Matrix逆的高斯分布。本文接下來使用Fisher Matrix的方法來估計引力波測量的參數(shù)誤差

本文使用的Einstein-aether理論中，圓軌道雙星系統(tǒng)的后愛因斯坦引力波波形模型包含參數(shù)(A,M,η,tc,?c,α,β?1,β0)，它們分別是引力波幅度(與引力波源的光度距離和方位角等有關(guān))、啁啾質(zhì)量、對稱質(zhì)量比、并合時間與相位，以及Einstein-aether理論對應(yīng)的后愛因斯坦參數(shù)。我們在計算中發(fā)現(xiàn)A與其他參數(shù)的關(guān)聯(lián)度很弱，該參數(shù)是否參與Fisher Matrix，所得其他參數(shù)的誤差基本相同。使用高級LIGO探測器的靈敏度，對典型雙星系統(tǒng)參數(shù)誤差結(jié)果如表1所示。我們的結(jié)果與文獻(xiàn)[21]的一致。由于我們的波形模型與其的細(xì)微差別導(dǎo)致了定量上的細(xì)微差別，從差別可以看出，我們采用更精確的波形模型(等效到3.5階后牛頓)求出的參數(shù)誤差比采用文獻(xiàn)[21]的波形模型(等效到2階后牛頓)算得的略小。

表1 使用Fisher Matrix方法針對高級LIGO靈敏度對典型雙星系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)估計的結(jié)果

關(guān)于tc和?c這兩個參數(shù)，我們還嘗試了使用F統(tǒng)計方法來處理[19]。對于參數(shù)誤差，使用F統(tǒng)計與否，Einstein-aether理論對應(yīng)的后愛因斯坦參數(shù)限制結(jié)果基本沒有差別。在下文計算中，我們得到的結(jié)果都是沒有使用F統(tǒng)計的計算結(jié)果。

4 對Einstein-aether理論進(jìn)行限制

高級LIGO主導(dǎo)的LIGO科學(xué)合作組織第一次觀測運(yùn)行從2015年9月12日到2016年1月19日，共發(fā)現(xiàn)GW150914,GW151012和GW151226三個雙黑洞并合事件。高級LIGO主導(dǎo)的LIGO科學(xué)合作組織第二次觀測運(yùn)行從2016年11月30日開始到2017年8月25日結(jié)束。其中高級VIRGO從2017年8月1日開始加入第二次觀測運(yùn)行。LIGO科學(xué)合作組織第二次觀測運(yùn)行共發(fā)現(xiàn)GW170104,GW170608,GW170729,GW170809,GW170814,GW170817,GW170818和GW170823八個雙星并合事件。

我們把LIGO科學(xué)合作組織第一次和第二次觀測運(yùn)行發(fā)現(xiàn)的11個雙星并合事件對Einstein-aether理論進(jìn)行參數(shù)估計的結(jié)果列在了表2中。因為只有GstLAL數(shù)據(jù)處理流水線發(fā)現(xiàn)了所有的11個事件，所以表2里所列信噪比SNR和雙星系統(tǒng)的質(zhì)量m1和m2都是由GstLAL數(shù)據(jù)處理流水線所得[27]。我們將LIGO-VIRGO第一次和第二次探測到的11個引力波事件的參數(shù)代入到式(5)—(8)中，得出帶有Einstein-aether理論的3個參數(shù)的模擬波形，再使用Fisher Matrix方法估計引力波事件對這3個參數(shù)的限制能力。從該表結(jié)果可以看出，雙星系統(tǒng)的質(zhì)量越小，則對Einstein-aether理論的參數(shù)限制越嚴(yán)格；這是因為質(zhì)量越小，落到高級LIGO和高級VIRGO探測器頻段中的引力波信號越多，對Einstein-aether理論的驗證就越有效。當(dāng)雙星系統(tǒng)的質(zhì)量增大，直到并合頻率落到探測器頻段中，雖然并合信號會較強(qiáng)，但我們所使用的引力波波形模型無法利用上并合短信號，導(dǎo)致所得限制不強(qiáng)。

表2 11個雙星并合事件對Einstein-aether理論進(jìn)行參數(shù)估計的結(jié)果

綜合LIGO科學(xué)合作組織第一次和第二次觀測運(yùn)行發(fā)現(xiàn)的11個雙星并合事件對Einstein-aether理論進(jìn)行參數(shù)限制的結(jié)果，可以得到：

但我們要注意，以上限制結(jié)果基于假定廣義相對論的引力波模板可以完全匹配探測器所測得的信號。引力波對α參數(shù)限制不好，對β?1和β0限制不錯；這是因為α與引力波的幅度相關(guān)，β?1和β0與引力波的相位相關(guān)。而匹配濾波本來就只是敏感依賴于相位。

為了估計廣義相對論波形模板匹配Einstein-aether理論引力波信號的程度，我們引入引力波匹配因子FF[28,29]。給定兩個引力波波形h1(t)和h2(t)，它們間的匹配因子為：

當(dāng)用一個波形近似另一個波形信號時，信噪比會被降低FF倍。如果降得太多，這樣的波形近似就會失效。

我們以GW170817的雙星參數(shù)為例，研究廣義相對論與Einstein-aether理論的引力波波形匹配情況。鑒于匹配濾波與引力波幅度不是敏感依賴，我們只討論匹配因子與β?1和β0的關(guān)系，結(jié)果見圖1。從圖1我們可以看出，只要β?1和β0偏離0分別在10?6和10?3的量級，Einstein-aether理論的引力波波形與廣義相對論的波形完全不匹配。所以只要GW170817的引力波信號是廣義相對論描述的波形，Einstein-aether理論的β?1和β0參數(shù)就可以得到很好的限制。

圖1 類似GW170817的廣義相對論引力波波形和Einstein-aether理論的引力波波形匹配情況

這里還存在一個問題：是否GW170817實為Einstein-aether理論描述，只是因為β?1和β0與啁啾質(zhì)量的參數(shù)簡并使得廣義相對論模板沒有遺漏這個信號？接下來我們研究這個問題。為此，我們設(shè)定β?1=6×10?5,β0=0和β?1=0,β0=0.002，然后改變啁啾質(zhì)量，研究波形匹配因子，結(jié)果見圖2。從圖2可以看出，的確可以通過改變啁啾質(zhì)量來使得廣義相對論的引力波波形與Einstein-aether理論的引力波波形相匹配，即β?1和β0與啁啾質(zhì)量存在參數(shù)簡并。所以在不確定所探測到的引力波信號可由廣義相對論描述的情況下，引力波的探測不能被認(rèn)已經(jīng)對Einstein-aether理論給出了很好的限制，現(xiàn)在我們只能說廣義相對論能很好地解釋所有探測到的引力波信號[2]。

圖2 Einstein-aether理論中β?1和β0與啁啾質(zhì)量的參數(shù)簡并情況

5 結(jié)論和討論

自2015年LIGO首次直接探測到引力波以來，高級LIGO和高級VIRGO一起進(jìn)行了三次觀測，共探測到幾十例引力波事件，包括雙黑洞、雙中子星和黑洞-中子雙星系統(tǒng)的并合，以引力波為觀測手段的引力波天文學(xué)被很好地建立起來。

引力波天文學(xué)可以用來研究基本物理學(xué)中的引力相互作用[22,24,30]。GW170817就被成功應(yīng)用到引力理論的檢驗中，若干不同于廣義相對論的引力理論得到了很強(qiáng)的限制。

在文獻(xiàn)[18]的計算結(jié)果基礎(chǔ)上，結(jié)合TaylorF2引力波波形的模式，我們提出了Einstein-aether理論中雙星系統(tǒng)的引力波波形模型?；谒岢龅牟ㄐ文Ｐ停覀兝肍isher Matrix方法，結(jié)合LIGO科學(xué)合作組織公開的第一、第二次觀測運(yùn)行結(jié)果數(shù)據(jù)中的11個雙星系統(tǒng)，對Einstein-aether理論進(jìn)行了限制、研究。Fisher Matrix方法只對參數(shù)微小偏離，或者說只在Einstein-aether理論微小修正廣義相對論引力波波形的情形下有效。這種情形下，使用Einstein-aether理論的引力波波形模板對引力波實際數(shù)據(jù)的處理會得出與廣義相對論相似的結(jié)果，所以我們只需要使用Fisher Matrix方法對后驗概率分布做微擾研究即可。這樣的條件使得我們可以把LIGO已經(jīng)測出的11個雙星對應(yīng)的參數(shù)輸入到Fisher Matrix方法進(jìn)行分析。反之，一旦參數(shù)微小偏離不成立，F(xiàn)isher Matrix方法將失效。我們采用匹配濾波中匹配因子的方法，探討廣義相對論引力波波形與Einstein-aether理論的引力波波形存在顯著偏離的可能性及其對引力波數(shù)據(jù)處理的影響。

結(jié)果表明，如果Einstein-aether理論只是廣義相對論的微小偏離(在引力波波形意義上)，則我們可以把Einstein-aether理論中的參數(shù)限制為α<0.166,β?1<8.07×10?6,β0<7.79×10?2。但只是基于引力波探測，我們還不能完全排除Einstein-aether理論顯著偏離廣義相對論的可能性，這時Einstein-aether理論的參數(shù)和雙星系統(tǒng)的啁啾質(zhì)量存在簡并。我們計劃在后續(xù)工作中，使用貝葉斯模型選擇的方法來研究這種簡并的可能性有多大。