范睿超 孔憲仁 胡文坤 鐘智雄

0 引言

隨著航天技術(shù)的快速發(fā)展,小推力推進技術(shù)的日益成熟,以及航天器空間在軌服務(wù)、交會對接、高精度觀測等復(fù)雜航天任務(wù)的相繼出現(xiàn),對航天器動力學(xué)建模以及控制系統(tǒng)設(shè)計等問題提出了更嚴苛的要求．航天器姿軌一體化建模與控制策略充分考慮了航天器姿軌耦合動力學(xué)特性,可以實現(xiàn)姿態(tài)以及軌道的同步控制,并能夠保證更優(yōu)良的控制精度、更強的機動性能和更高的控制效率,因此受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-4]．特別是基于對偶四元數(shù)建立的航天器姿軌一體動力學(xué)模型,具有形式簡潔、結(jié)構(gòu)緊湊、清晰明了等優(yōu)勢,近年來越來越多的學(xué)者進行了深入研究,并且已產(chǎn)出了豐富的理論成果[6-11]．

另一方面,從實際工程角度出發(fā),受到航天器成本、體積、質(zhì)量、可靠性以及技術(shù)的限制,或者由于測量元件的故障、失效等情況,很多航天器的速度信息都無法精確測得,所以在角/線速度信息未知的情況下進行航天器姿軌控制器的設(shè)計具有很大的工程意義．目前針對速度信息缺失問題的航天器控制方式主要有三種:一種是利用卡爾曼濾波及其衍生算法對速度信息進行估計,而后利用估計的速度進行控制器的設(shè)計[12-14],但卡爾曼濾波器具有計算量較大、參數(shù)選取無固定方法、觀測狀態(tài)的收斂性無法嚴格論證等缺陷,限制了其在高精度速度估計方面的進一步應(yīng)用;第二種方法是結(jié)合無源理論設(shè)計無需速度信息的輸出反饋控制器[15-17],但控制系統(tǒng)收斂速度較慢,難以在較短的時間內(nèi)到達期望狀態(tài),且對外界干擾的魯棒性較差;第三種也是最為常用的方式為利用已知的航天器狀態(tài)信息設(shè)計基于模型的狀態(tài)觀測器,再基于該觀測器設(shè)計航天器姿軌控制器,這種狀態(tài)觀測器因其較快的收斂速度、較高的收斂精度而得到廣泛的應(yīng)用,特別是針對無角速度的航天器姿態(tài)控制問題有著較為完善的研究成果[18-23]．值得注意的是,目前已存在的文獻中,大量的研究均是圍繞無角速度的航天器姿態(tài)控制問題,而針對速度信息缺失下航天器姿軌一體化控制器設(shè)計的相關(guān)研究雖然也取得了一定的進展[24-31],但同時考慮了模型參數(shù)不確定性、外界干擾等因素的研究成果較少．

本文針對航天器在軌運行期間由于測量裝置故障等原因?qū)е聼o法精確獲得速度旋量信息的情況,基于對偶四元數(shù)建立航天器姿軌一體化模型,考慮模型參數(shù)不確定性與外界干擾的影響因素,設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器并基于Lyapunov穩(wěn)定性定理分析了觀測器觀測誤差的有限時間收斂性；接著基于該擴張觀測器,設(shè)計了航天器姿軌一體快速終端滑?？刂破?并論證了該控制系統(tǒng)的有限時間收斂性；最后通過數(shù)值仿真,驗證了該觀測器與控制器的有效性．

1 航天器姿軌一體化動力學(xué)模型

本節(jié)給出基于對偶四元數(shù)的航天器姿軌一體化動力學(xué)建模．為便于描述,首先給出對偶數(shù)、旋量與對偶四元數(shù)的運算規(guī)則．

其中,四元數(shù)Q=[q0qT]T與Qi=[qi0qiT]T的對數(shù)運算與乘法運算分別如下:

Q1°Q2=[q10q20-q1·q2(q10q2+q20q1+q1×q2)T]T,

此時,航天器姿軌一體化誤差動力學(xué)方程可如下表示:

(1)

2 擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計

本節(jié)針對無速度旋量信息反饋的問題,同時考慮模型參數(shù)誤差與外界擾動,設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器．

可得如下方程組:

(2)

其中

(3)

(4)

其中

但由于仿真過程中容易產(chǎn)生控制器的抖振,影響控制性能與控制效率,因此在仿真中由飽和函數(shù)sat(·)代替符號函數(shù)．其中δ為一個充分小的正數(shù)．

(5)

其中

證明

選取如式(6)所示Lyapunov函數(shù):

(6)

則其關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)

(7)

假設(shè)

則可知

-(β1-l1)‖e1‖-(β′1-l′1)‖e′1‖.

(8)

-(β1-l1)‖e1‖-(β′1-l′1)‖e′1‖+

(β1-l1)‖e1‖+(β′1-l′1)‖e′1‖=0.

(9)

(10)

選取如式(11)所示Lyapunov函數(shù):

(11)

則其導(dǎo)數(shù)為

(12)

(13)

(14)

選取如式(15)所示Lyapunov函數(shù):

(15)

則其導(dǎo)數(shù)為

(16)

(17)

3 基于擴張觀測器的航天器姿軌一體化終端滑?？刂?/h2>

設(shè)如式(18)所示快速終端滑模面:

(18)

設(shè)計如式(19)所示控制器:

(19)

ε(z′2-z2×?！鋏).

證明

同理控制器(19)可寫作:

選取Lyapunov函數(shù)如下:

(20)

其導(dǎo)數(shù)為

(21)

系統(tǒng)狀態(tài)可在觀測器收斂后有限時間內(nèi)到達滑模面,記Te=Te1+Te2+Te3,則到達滑模面時間為

接下來證明控制系統(tǒng)可在抵達滑模面后有限時間內(nèi)抵達期望狀態(tài)．選取如式(22)的Lyapunov函數(shù):

(22)

其導(dǎo)數(shù)為

記σ2=min{2λ2i,2λ′2i},i∈{1,2,3},有

因此可得結(jié)論,系統(tǒng)到達滑模面之后,系統(tǒng)在有限時間T2內(nèi)即可到達期望狀態(tài):

綜上所述,基于擴張觀測器(3)的控制系統(tǒng)可在有限時間Te+T1+T2內(nèi)收斂．

4 仿真分析

為驗證如式(3)所示觀測器與式(19)所示航天器姿軌一體化控制器的有效性,本節(jié)進行該航天器系統(tǒng)的數(shù)值仿真驗證．如表1所示為航天器目標軌道的軌道根數(shù)．初始真近點角θ(0)=0°．

表1 航天器目標軌道根數(shù)

航天器受環(huán)境干擾力與干擾力矩分別為

設(shè)初始狀態(tài)誤差為

觀測器參數(shù)與控制器參數(shù)設(shè)置如下:

考慮實際航天器任務(wù)中,控制輸入為有限值,因此在仿真中設(shè)置

|(fu)|≤1 N，|(τu)|≤0.1 N·m，i∈{1，2，3}.

為使仿真結(jié)果展示更為直觀,本文直接將對偶四元數(shù)與旋量等變量解算、分解為姿態(tài)四元數(shù)與矢量形式．仿真結(jié)果如圖1—6所示．

圖1 擴張觀測器的觀測誤差實部(上)與對偶部(下))Fig.1 Observation error of ESO (real part (upper) and dual part (lower))

圖2 擴張觀測器的觀測誤差實部(上)與對偶部(下))Fig.2 Observation error of ESO (real part (upper) and dual part (lower))

圖3 擴張觀測器的觀測誤差實部(上)與對偶部(下))Fig.3 Observation error of ESO (real part (upper) and dual part (lower))

圖4 誤差四元數(shù)(上)與位置誤差(下)Fig.4 Error quaternion (upper) and position error (lower)

圖5 角速度誤差(上)與速度誤差(下)Fig.5 Angular velocity error (upper) and velocity error (lower)

圖6 控制力矩(上)與控制力(下)Fig.6 Control torque (upper) and control force (lower)

由以上仿真分析可知,本文所設(shè)計的擴張狀態(tài)觀測器與航天器姿軌一體快速終端滑模控制器有效解決了在軌運行中航天器速度信息不可知的控制問題,并補償了由于模型參數(shù)不確定性與外界擾動引起的無法測量的干擾因素,使得航天器在速度信息缺失且模型參數(shù)存在誤差和外界干擾的情況下仍可以充分滿足快速、高精度的控制需求,從而驗證了本文所設(shè)計擴張觀測器與快速終端滑?？刂破鞯目尚行耘c有效性．

5 結(jié)論

針對航天器在軌運行期間無法獲得精確速度旋量信息的情況,考慮存在模型參數(shù)不確定與外界干擾的影響,本文設(shè)計了基于擴張觀測器的航天器無速度旋量信息姿軌一體化控制方法．首先基于對偶四元數(shù)建立航天器姿軌一體誤差動力學(xué)模型,設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器,接著基于該擴張觀測器設(shè)計了航天器姿軌一體快速終端滑?？刂破?并利用Lyapunov穩(wěn)定性定理分析了航天器控制系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性．最后通過數(shù)值仿真驗證了本文所設(shè)計擴張觀測器與控制策略的可行性與有效性．