鐘曉靜 楊宇琨 趙志甲

0 引言

謠言是人類社會交往過程中一種典型的社會現(xiàn)象，它利用各種手段對一個未經(jīng)證實的事物、事情或問題進行闡述或解釋，來吸引公眾關(guān)注.同時，由于互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展和移動網(wǎng)絡(luò)社交平臺如Facebook、Twitter、微博和其他社交應(yīng)用的廣泛使用,人們的交流方式也發(fā)生了改變.謠言在互聯(lián)網(wǎng)上傳播速度快、范圍廣，會產(chǎn)生損害個人聲譽、影響金融市場穩(wěn)定、導(dǎo)致社會恐慌和不穩(wěn)定等問題[1-3].因此，了解在互聯(lián)網(wǎng)上的謠言傳播機制，制定相關(guān)措施對謠言進行監(jiān)督和控制具有非常重要的意義.

謠言傳播的動態(tài)行為與疾病傳播類似但又有區(qū)別.相似之處如建模、模型描述和分析問題等，不同之處是傳播機制的不同.1964年，Daley等[4]提出了一類經(jīng)典的DK謠言傳播模型，該模型在揭示謠言傳播基本規(guī)律的同時也指出了謠言傳播與疾病傳播的區(qū)別.1973年，Maki等[5]對DK模型進行修改并提出了MT謠言傳播模型.隨后，許多研究者對謠言傳播進一步研究并取得很多有意義的成果.在建模方面，建立了SIR、SPNR、SEIR等模型[6-8]；在理論分析方面，平均場理論等方法相繼被提出[9]；在傳播機制方面，猶豫機制、遺忘機制等豐富了謠言傳播的研究[10];在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)方面，基于同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播模型和基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播模型被提出[11-13].實證研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中有很多情況符合無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特性，如社會網(wǎng)絡(luò)、生物網(wǎng)絡(luò)、信息網(wǎng)絡(luò)等.因此，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的研究已成謠言傳播的研究熱點.

雖然上述模型對謠言傳播的研究做出了貢獻，但是它們沒有考慮在社交網(wǎng)絡(luò)中人群的評論對謠言傳播的影響.當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，彈幕、評論點贊、評論排序等新機制的興起與流行，謠言的傳播方式發(fā)生了改變.當(dāng)一個人在看到他人發(fā)布或分享的謠言信息時，他(她)可能會根據(jù)自己的理解去評論這個謠言，而評論的個體可能由于看到其他人的評論而變成一個謠言傳播者或謠言靜默者.同時，謠言在傳播過程中，可能受到相關(guān)隨機因素的影響.

本文將人群細(xì)化為無知者(I)、評論者(C)、傳播者(S)和靜默者(T)四類，提出了一種具有評論機制的ICST謠言傳播模型，建立了謠言傳播的動力學(xué)方程，求出了謠言傳播的平衡點，并證明了平衡點的全局穩(wěn)定性.最后對模型進行了數(shù)值模擬，分析了研究結(jié)果.

1 謠言傳播模型

假設(shè)存在一個社交網(wǎng)絡(luò)，由N個個體構(gòu)成，個體可以看作網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，個體之間的關(guān)系可以看作是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的連邊.在整個網(wǎng)絡(luò)中，人群可以被分成四類:無知者I，不知道謠言但是容易受到影響的群體；評論者C，看到謠言信息并且根據(jù)自己的經(jīng)驗和知識去評論謠言信息的群體；傳播者S，相信謠言并且傳播謠言的群體；靜默者T，表示對謠言不感興趣的群體.為簡化模型描述，可以將謠言傳播模型寫為ICST模型.在社交網(wǎng)絡(luò)中的謠言傳播機制表述如下：

1)假設(shè)在單位時間進入網(wǎng)絡(luò)中的個體為b,每類節(jié)點的遷出率為μ.

2)當(dāng)一個無知者看到一條謠言信息或者接觸到一個謠言傳播者時，其可能以概率α去評論這條消息變成評論者，α為評論率，或者以概率β分享這條信息變?yōu)閭鞑フ?β為分享率.

3)當(dāng)評論者再次看到謠言信息時，可能因為謠言的吸引性會以概率η轉(zhuǎn)變成傳播者，或者由于謠言的失真性以概率γ轉(zhuǎn)變?yōu)殪o默者.當(dāng)傳播者再次看到謠言信息時，可能會因?qū)χ{言的興趣減弱而以概率為δ轉(zhuǎn)變成靜默者.

基于上述謠言動力學(xué)傳播機制，各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移關(guān)系如圖1所示，其所有參數(shù)為正.令I(lǐng)k(t),Ck(t),Sk(t),Tk(t)分別是度為k的無知者、評論者、傳播者、靜默者的概率密度隨時間t的變化關(guān)系.

圖1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.1 State transfer in rumor spreading model

通過以上假設(shè)，ICST謠言傳播模型動力學(xué)方程為

(1)

其中Θ(t)代表在時間t時一個無知者連接到傳播者的概率,滿足：

節(jié)點度為k的總?cè)巳篘k(t)滿足：

N′k(t)=b-μNk(t).

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中遷入個體數(shù)量等于遷出個體數(shù)量，即b=μ,則I(t)+C(t)+S(t)+T(t)=1.

2 平衡點存在性

謠言傳播模型的動力學(xué)分析中，首先需要確認(rèn)的是平衡點的存在性，包括沒有謠言和存在謠言兩個大的分類.對于具體的平衡點的個數(shù)和存在條件，本文給出下述定理.

可先假設(shè)Θ*為已知量，聯(lián)立上述方程組可得：

f(Θ*)=

觀察上述表達(dá)式，Θ*=0時等式成立.但根據(jù)Θ*的定理，Θ*>0，因此為使等式成立,函數(shù)f(Θ*)需滿足：

f′(Θ*)|Θ*=0>1，f(1)<1.

通過計算可得：

根據(jù)動力學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，定義基本再生數(shù)為

因此，當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)存在唯一的正平衡點E*.

3 平衡點穩(wěn)定性

謠言傳播模型平衡點的局部穩(wěn)定性問題，可通過下一代矩陣方法證明[14]，但平衡點的全局穩(wěn)定性，需要李雅普諾夫第二方法證明.接下來就設(shè)計不同的李雅普諾夫函數(shù)證明平衡點的全局穩(wěn)定性.

定理2系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)由基本再生數(shù)R0決定，確切的：

1) 當(dāng)R0<1，無謠言平衡點E0全局漸近穩(wěn)定；

2) 當(dāng)R0>1，謠言持續(xù)流行平衡點E*全局穩(wěn)定.

證明首先證明無謠言平衡點的全局穩(wěn)定性.定義李雅普諾夫函數(shù)為

求導(dǎo)可得：

分別代入Ck(t)，Sk(t)的微分表達(dá)式可得：

βkΘ(t)Ik(t)-δSk(t)-μSk(t)).

由模型解的可行區(qū)間可知：

V′1(t)可看作關(guān)于Ik(t)的單調(diào)遞增函數(shù)，由比較原理可得:

當(dāng)R0<1時，V′1(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)Sk(t)=0，即為無謠言平衡點E0.由拉薩爾不變原理可知，當(dāng)R0<1時，無謠言平衡點E0是全局穩(wěn)定的.

其次證明謠言持續(xù)流行平衡點的全局穩(wěn)定性.定義李雅普諾夫函數(shù)為

ηCk(t)-(δ+μ)SK(t)],

將持續(xù)流行平衡點滿足的公式代入上式可組合得到：

再由Θ(t)的定義，最終可以得到：

其中g(shù)(x)=x-1-lnx>0，因此

4 仿真

本節(jié)通過兩個仿真實例觀察謠言傳播趨勢.不失一般性，假設(shè)謠言傳播所在的網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，分布概率p(k)服從p(k)=2m2k-3，節(jié)點度k的變化區(qū)間為1≤k≤500，因此可以計算〈k〉=1.368 8.

首先，選取表1第1行中的參數(shù)，代入基本再生數(shù)R0可知R0=0.135<1，由定理2可得，無謠言平衡點全局穩(wěn)定.如圖2所示，不同節(jié)點度的評論者和傳播者人群數(shù)量均趨于零.為體現(xiàn)全局性特點，選取9組不同的初始條件，如圖3所示，最終評論者和傳播者的人數(shù)均趨于零，這正是說明了解的全局穩(wěn)定性.

其次，選取表1第2行的系統(tǒng)參數(shù)，代入基本再生數(shù)計算公式可求得R0=2.43>1.根據(jù)定理2可知無謠言平衡點不再穩(wěn)定，謠言持續(xù)流行平衡點全局穩(wěn)定，圖4展示出解均不再趨于零，而是趨于正實數(shù)，這表明謠言不會自然滅亡，而是持續(xù)傳播下去.

表1 系統(tǒng)參數(shù)

圖2 子人群傳播趨勢(R0<1)Fig.2 Time series of rumor spreading with R0 < 1

圖3 不同初始點出發(fā)軌跡Fig.3 Trajectories under nine initial conditions

圖4 子人群傳播趨勢(R0>1)Fig.4 Time series of rumor spreading with R0 >1

5 結(jié)論

本文以謠言的傳播為研究對象，充分考慮人群評論在謠言傳播過程中的影響，建立了一類新型的基于社交網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播模型.首先證明了平衡點的存在性，在此基礎(chǔ)上給出了判斷謠言流行與否的閾值;其次，在全局意義上證明了兩個平衡點的穩(wěn)定性.具體的，當(dāng)R0<1時，無謠言平衡點全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時，無謠言平衡點不穩(wěn)定，謠言持續(xù)流行平衡點全局漸近穩(wěn)定，這也意味著謠言會持續(xù)流行下去.仿真結(jié)果表明，基本再生數(shù)決定了謠言是自然消亡還是持續(xù)流行.