張博翔 王理想 王輝 張彥鑫

0 引言

隨著空間技術的不斷進步，航天任務也逐漸向著復雜化與多樣化的方向發(fā)展，諸如航天器在軌服務、空間碎片清理、小行星捕獲等領域無論在理論研究還是實際應用中都具有較大挑戰(zhàn)的概念和相關任務被提出，并受到越來越多的關注[1].而航天器的交會對接技術正是保證上述任務成功實現(xiàn)的關鍵性技術之一.航天器的交會對接是指兩個航天器在空間中接近并且最終固連成為一體的過程[2].在交會對接的過程中，通常其中的一個航天器做被動飛行，被稱為被動航天器或目標航天器，另一個航天器被控制做機動飛行，被稱為主動航天器或追蹤航天器[3-5].

交會對接技術是一項重要的空間技術，在許多航天任務中起到關鍵作用.它不僅僅是衡量一個國家航天技術發(fā)展水平的重要指標，作為一項空間技術，它更是一種擁有實用價值的手段[6].作為一種手段，交會對接技術在實際應用的過程中會受到各種限制，首先，在交會對接過程中，不僅對追蹤航天器的軌道有要求，追蹤航天器的姿態(tài)也同樣要滿足一定要求，此時航天器的軌道與姿態(tài)運動之間存在耦合并且不可忽略[7]，其次，在對追蹤航天器控制的過程中，不僅需要關注追蹤航天器到達指定狀態(tài)時的控制精度，還需要考慮追蹤航天器在到達指定狀態(tài)過程中的瞬時狀態(tài)、燃料消耗等指標[8-10].此外，在交會對接的最后階段，兩航天器之間非常接近，此時航天器的外形不可忽略，尤其當目標航天器為失效或故障航天器這一類非合作目標時，其可能伴隨有自由翻滾等運動狀態(tài)，若不考慮相應的避障設計，極有可能發(fā)生碰撞而導致整個任務的失敗[11-12].因此，在考慮性能約束及軌跡安全的前提下，對航天器交會對接過程中的控制問題進行研究，可以滿足新的航天任務的需求，無論在理論上還是工程應用上都有一定意義[13-16].

本文基于追蹤航天器體坐標系下的相對姿軌耦合模型，對航天器交會對接中的懸?？刂茊栴}進行研究.考慮到所建立的相對姿軌耦合模型是一種非線性系統(tǒng),首先基于線性滑模面設計了控制器.目前針對非線性系統(tǒng)的研究多關注于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能而忽略了系統(tǒng)在穩(wěn)定過程中的瞬態(tài)性能，然而在大多數(shù)實際工程應用中，控制器作用下系統(tǒng)的瞬態(tài)性能也是不可忽略的.本文采用了預設性能控制方法以提高系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，并結(jié)合滑?？刂品椒ㄔO計了控制器.考慮到實際應用中希望更短的控制時間，所以采用了一種新型的有限時間收斂的性能函數(shù)來限制系統(tǒng)的收斂時間.最后通過數(shù)值仿真驗證各控制器的有效性，并對仿真結(jié)果進行對比和分析.

1 追蹤航天器體坐標系下的相對姿軌耦合模型

采用修正的羅德里格參數(shù)(MPRs)描述的追蹤航天器相對于目標航天器的姿態(tài)為

(1)

對應的姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(2)

其中，S表示對應向量的叉乘矩陣,σe表示追蹤航天器相對于目標航天器的姿態(tài)的修正羅德里格參數(shù)，σp表示追蹤航天器姿態(tài)的修正羅德里格參數(shù)，σt表示目標航天器姿態(tài)的修正羅德里格參數(shù).

設追蹤航天器期望位置矢量在目標航天器體坐標系下為pf，如圖1所示.

圖1 相關矢量與坐標系Fig.1 Correlated vectors and coordinate system

追蹤航天器在期望位置時,相對于慣性坐標系的位置和速度矢量在目標航天器體坐標系下為

rd=rt+pf，

(3)

(4)

其中，rt表示目標航天器相對于慣性坐標系的位置矢量，rd表示期望位置相對于慣性坐標系的位置矢量，ωt表示目標航天器旋轉(zhuǎn)的角速度矢量.

在追蹤航天器體坐標系下，追蹤航天器相對于期望位置的相對位置矢量、相對速度矢量和相對角速度矢量分別為

re=rp-Perd，

(5)

ve=vp-Pevd，

(6)

ωe=ωp-Peωt，

(7)

其中，ωp表示追蹤航天器旋轉(zhuǎn)的角速度矢量.

(8)

其中，mp表示追蹤航天器質(zhì)量，fp和fpd分別為追蹤航天器所受控制力和干擾力，τp和τpd分別為追蹤航天器所受控制力矩和干擾力矩，Jp表示追蹤航天器對其本體系的轉(zhuǎn)動慣量.

ft和ftd分別為目標航天器所受控制力和干擾力，τt和τtd分別為目標航天器所受控制力矩和干擾力矩，Jt表示目標航天器對其本體系的轉(zhuǎn)動慣量.

定義狀態(tài)變量

整理式(8)得到追蹤航天器體坐標系下相對姿軌耦合的誤差模型為

(9)

其中

本文的設計目標是：已知追蹤航天器期望位置矢量在目標航天器體坐標系下為pf，當pf為固定值時，針對相對姿軌耦合的誤差模型(9)，若設計控制器使系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂至0，此時追蹤航天器實現(xiàn)對目標航天器的懸停.

2 追蹤航天器近距離懸停的滑?？刂?/h2>

假設1存在ζ>0使得追蹤航天器所受干擾力與干擾力矩‖d‖<ζ.

選取滑模面：

s=ce1+e2，

(10)

其中c=diag(c1,c2,…,c6)為滑模面系數(shù).

設計如下控制器：

(11)

V(t)+αVγ(t)≤0 ，

(12)

則系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂，且收斂時間滿足：

醫(yī)院醫(yī)療與教學是一個全過程的管理流程。如圖1所示，流程主要包括“讀取系統(tǒng)數(shù)據(jù)”、“初始化排課數(shù)據(jù)”、“初始計算工作強度”、“修改排課數(shù)據(jù)” 、“重新計算工作強度”、“上課提醒”。對流程中間的每一個環(huán)節(jié)都進行消息推送機制，達到對工作人員的全過程提醒機制，可以讓工作人員及時獲得相關推送信息，提高管理工作者的工作效率，減少教師遲到、早退、不備課等教學差錯發(fā)生率。

(13)

定理1對于系統(tǒng)(9)，在控制器(11)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)量e1及e2可以漸近收斂到0.

證明首先證明滑模面上，即s=0，e1及e2漸近收斂到0.

當e1=0時，顯然e2=0.當e1≠0時滑模面s=ce1+e2=0可知e2=-ce1.

選取Lyapunov函數(shù)

(14)

對其求導得：

(15)

(16)

然后證明在控制器(11)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達滑模面.

選取Lyapunov函數(shù)

(17)

對其求導，并將控制器(11)代入可得：

sT(C-1d-(‖C-1‖ζ+ε)sgn(s))≤

‖sT‖‖C-1‖ζ-‖sT‖‖C-1‖ζ-

(18)

由引理1可知系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)抵達滑模面，定理得證.

3 考慮性能約束的滑模控制器設計

針對非線性系統(tǒng)的控制問題，目前的研究大多只關注系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能而忽略了系統(tǒng)在穩(wěn)定過程中的瞬態(tài)性能.預設性能控制是一種對系統(tǒng)瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能同時進行約束的控制方法，其基本思想是通過人為設定某種包絡(性能函數(shù))對系統(tǒng)在收斂至穩(wěn)態(tài)的過程中以及收斂至穩(wěn)態(tài)時的狀態(tài)誤差進行限制.預設性能控制包含兩個基本環(huán)節(jié)：性能函數(shù)和誤差變換.

1)性能函數(shù)

對于性能函數(shù)ρ，應該具有如下性質(zhì)：

①ρ恒為正且嚴格遞減；

②ρ時間相關且連續(xù)可導.

可以看出滿足條件的函數(shù)有無窮多個，常用的性能函數(shù)有以下兩種：

ρ(t)=coth(l1t+l2)-1+ρ∞，

(19)

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-αt+ρ∞.

(20)

本文選用(20)形式的性能函數(shù)，其中ρ=diag([ρ1ρ2…ρi])，i取決于誤差e的維數(shù)，ρ0為性能函數(shù)初始值，ρ∞為最大容許的穩(wěn)態(tài)誤差，α為誤差指數(shù)衰減速度.ρ0,ρ∞和α均為可設計參數(shù)，且滿足ρ0>ρ∞>0，α>0.

給出如下不等式約束：

(21)

其中ei和ρi分別表示e和ρ的各個分量，t∈[0,∞)，δ∈[0,1].

如圖2所示，當不等式約束(21)滿足時，誤差曲線將被限制在性能函數(shù)包圍的區(qū)域中，即系統(tǒng)誤差將收斂到±ρi,∞和±δρi,∞之內(nèi).

圖2 不等式約束示意圖(e(0)>0)Fig.2 Schematic diagram of inequality constraints (e(0)>0)

2)誤差變換

由于引入了不等式約束(21)，使得控制器設計變得復雜.因此引入誤差變換函數(shù)，將不等式約束轉(zhuǎn)換為等價等式約束，再對之后的系統(tǒng)進行控制器設計.

定義誤差變換：

e(t)=ρ(t)F(κ)，

(22)

其中κ為變換誤差，為使誤差變換后的等式約束與原不等式約束等價，F(xiàn)(κ)應該滿足以下條件：

①F(κ)光滑可逆且嚴格遞增；

②存在

(23)

本文采用如下變換函數(shù)：

(24)

對誤差變換e(t)=ρ(t)F(κ)，有

(25)

以e(0)>0為例分析，當e(t)到達性能函數(shù)包圍的邊界，即e(t)=ρ(t)或e(t)=-δρ(t)時，此時有F(κ)=1或F(κ)=-δ，因此有κ→∞.若設計控制器，使得κ有界，原系統(tǒng)狀態(tài)誤差即可滿足預設性能約束.

對于式(25),由于ρ(t)恒為正，當e(t)=0時，有F(κ)=0.對于式(24)，本文中取δi=1，則此時有：

(26)

若令F(κi)=0，有κi=0，若設計控制器使得κi=0，則原系統(tǒng)狀態(tài)誤差既可以滿足預設性能約束，又可以穩(wěn)定.

(27)

對其求導，有

(28)

令

(29)

則

(30)

將系統(tǒng)(9)代入式(30)中，可以得到變換后的系統(tǒng)為

(31)

考慮線性滑?？刂?，針對系統(tǒng)(31)，在滿足假設1時,選取如下滑模面：

s=cκ1+κ2，

(32)

其中c=diag(c1,c2,…,c6)為滑模面系數(shù).

設計如下控制器：

(33)

定理2在控制器(33)作用下，系統(tǒng)(31)漸近穩(wěn)定，原系統(tǒng)(9)漸近穩(wěn)定且滿足性能約束條件.

證明選取如下的Lyapunov函數(shù)：

(34)

對其求導，并將控制器(33)代入可得：

sT(β2C-1d-(‖β2C-1‖ζ+ε)sgn(s))≤

‖sT‖‖β2C-1‖ζ-‖sT‖‖β2C-1‖ζ-εsTsgn(s)=

(35)

由引理1可知系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)抵達滑模面，定理得證.

對于性能函數(shù)(20)，雖然可以限制系統(tǒng)的瞬態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能，但是不能保證系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂至ρ∞內(nèi).本文將采用一種新型性能函數(shù)，首先保證性能函數(shù)在有限時間內(nèi)收斂，在性能函數(shù)約束下，轉(zhuǎn)換后的系統(tǒng)狀態(tài)也將在有限時間內(nèi)收斂.

引理2若性能函數(shù)ρ(t)滿足以下條件：

(36)

此時在ρ(t)的限制下，系統(tǒng)也將在有限時間內(nèi)收斂至指定精度.

證明選取如下形式的Lyapunov函數(shù)：

(37)

對其求導有

(38)

由α∈(0.5,1)，有(α+1)/2∈(0.75,1).由引理1可知ρ(t)將限時間內(nèi)收斂且收斂時間滿足：

(39)

定理3在控制器(31)作用下，選用形式為(36)的性能函數(shù)，原系統(tǒng)(9)滿足性能約束條件且在有限時間內(nèi)收斂.

定理3證明同定理2.

4 仿真分析

追蹤航天器軌道參數(shù)為：軌道半長軸a=6 800 km，軌道偏心率e=0.1，軌道傾角i=51.8°，升交點經(jīng)度Ω=70.4°，近心點角距ω=46.5°，真近點角θ=8.2°.在慣性坐標系下，追蹤航天器初始位置為[-1.905 8,4.819 5,4.339 2]T×106m，初始速度為[-4.7,-5,-3.5]T×103m/s.其他仿真參數(shù)如表1所示.

表1 仿真參數(shù)

4.1 滑?？刂破鞣抡?/h3>

選取滑模面系數(shù)c=diag([0.01,0.01,0.01,0.1,0.1,0.1])，為減小到達滑模面后的抖振現(xiàn)象，將控制器中的符號函數(shù)替代為飽和函數(shù).

仿真結(jié)果如圖3—8所示.

圖3 相對位置誤差Fig.3 Relative position errors under sliding mode controller (11)

圖4 相對姿態(tài)誤差Fig.4 Relative attitude errors under sliding mode controller (11)

圖5 相對速度誤差Fig.5 Relative speed errors under sliding mode controller (11)

圖6 相對角速度誤差 Fig.6 Relative angular velocity errors under controller (11)

圖7 控制力曲線Fig.7 Control force curves under controller (11)

圖8 控制力矩曲線Fig.8 Control torque curves under controller (11)

從仿真結(jié)果可知，采用控制器(11)時，系統(tǒng)的狀態(tài)最終收斂至平衡點，此時追蹤航天器到達期望位置.從中也可看出，系統(tǒng)的控制時間較長，收斂較慢，而且系統(tǒng)的瞬態(tài)性能較差，尤其是相對位置誤差具有較大的超調(diào)量.

4.2 考慮性能約束的滑?？刂破鞣抡?/h3>

仿真初始參數(shù)與表1相同，滑模面系數(shù)c=diag(1,1,1,1,1,1)，分別選取形式如下的性能函數(shù)ρ1(t)=(40-0.01)e-0.01t+0.01，ρ2(t)=(1.5-0.01)e-0.01t+0.01，ρ3(t)=(1-0.01)e-0.01t+0.01，ρ4(t)=(0.05-0.01)e-0.01t+0.01.

對相對位置誤差、相對姿態(tài)誤差、相對速度誤差和相對角速度誤差進行約束.將控制器中的符號函數(shù)替代為飽和函數(shù).

仿真結(jié)果如圖9—14所示.

圖9 相對位置誤差Fig.9 Relative position errors under controller with prescribed performance

圖10 相對姿態(tài)誤差Fig.10 Relative attitude errors under controller with prescribed performance

圖11 相對速度誤差Fig.11 Relative speed errors under controller with prescribed performance

圖12 相對角速度誤差Fig.12 Relative angular velocity errors under controller with prescribed performance

圖13 控制力曲線Fig.13 Control force curves under controller with prescribed performance

圖14 控制力矩曲線Fig.14 Control torque curves under controller with prescribed performance

從上述仿真結(jié)果可以看出，與控制器(11)相比，通過結(jié)合了預設性能控制方法之后，對系統(tǒng)狀態(tài)的瞬態(tài)性能做了較大的優(yōu)化，以X軸相對位置誤差為例，如圖15所示，可以明顯看出相對位置誤差的超調(diào)量下降了很多.除此之外，系統(tǒng)收斂速度有所增加，這是由于性能函數(shù)本身的衰減速度加快了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度.總體來看結(jié)合了預設性能方法的滑?？刂剖諗繒r間更快且有更好的瞬態(tài)性能.需要注意的是，性能函數(shù)的參數(shù)選取需要合理，性能函數(shù)中的α為誤差指數(shù)衰減速度，當其過大時，性能函數(shù)衰減速度過快會導致控制器控制力陡然增加而最終失控.

圖15 X軸相對位置誤差對比Fig.15 Comparison of relative position error at X axis

4.3 采用新型性能函數(shù)的控制器仿真

圖16 相對位置誤差Fig.16 Relative position errors under controller with new performance function

圖17 相對姿態(tài)誤差Fig.17 Relative attitude errors under controller with new performance function

從仿真結(jié)果可以看出，通過選取新型性能函數(shù)，系統(tǒng)的收斂速度快于滑模控制器和采用普通性能函數(shù)的控制器.選取相同的收斂精度時，三種控制器的具體收斂時間如表2所示.

圖18 相對速度誤差Fig.18 Relative speed errors under controller with new performance function

圖19 相對角速度誤差Fig.19 Relative angular velocity errors under controller with new performance function

圖20 控制力曲線Fig.20 Control force curves under controller with new performance function

圖21 控制力矩曲線Fig.21 Control torque curves under controller with new performance function

表2 收斂時間

5 結(jié)論

本文研究了性能約束下航天器的近距離懸停控制問題.首先針對追蹤航天器體坐標系下的相對姿軌耦合模型，設計了滑模控制器，并基于李雅普諾夫穩(wěn)定性原理進行了穩(wěn)定性分析.其次，為提高系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，結(jié)合滑?？刂圃O計了相應的控制器，并基于李雅普諾夫穩(wěn)定性原理進行了穩(wěn)定性分析.考慮到有限時間控制問題，采用了一種新型的性能函數(shù)使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)穩(wěn)定.最后通過數(shù)值仿真驗證了控制器的有效性.