衛(wèi) 延， 鄭晶晶， 申 艷

(北京交通大學(xué) 1.全光網(wǎng)與現(xiàn)代通信網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，2.電子信息工程學(xué)院，北京100044)

0 引言

金屬圓波導(dǎo)具有低損耗，雙極化等特點(diǎn)，且加工方便，常用作天線饋線和微波諧振腔[1]。圓波導(dǎo)是常見(jiàn)的傳輸TE波和TM波的導(dǎo)波裝置，根據(jù)電磁場(chǎng)理論，圓波導(dǎo)中電磁場(chǎng)的各種分布形態(tài)，即模式場(chǎng)，具有解析解，但是各模式電磁場(chǎng)的空間分布復(fù)雜，從解析解中不能看出電磁場(chǎng)分布的宏觀概況與細(xì)節(jié)變化。為直觀描述圓波導(dǎo)中電磁場(chǎng)的性質(zhì)，對(duì)其中的電磁場(chǎng)傳輸模式進(jìn)行可視化是非常必要的。近年來(lái)已經(jīng)有多種軟件可以用來(lái)對(duì)電磁場(chǎng)進(jìn)行可視化，如Mathematica、Matlab[2～7]等。文獻(xiàn)[2～3]中作者用Mathematic繪制了圓波導(dǎo)TM01模式和TM22模式的橫截面圖，但沒(méi)有指出TE模式和TM模式圖的區(qū)別，也沒(méi)有繪制縱向圖。文獻(xiàn)[4]用Matlab對(duì)矩形波導(dǎo)TE01模式的電場(chǎng)矢量、磁場(chǎng)矢量和管壁電流的縱向圖，并制作了動(dòng)畫(huà)，為圓波導(dǎo)模式的可視化提供了良好參照。

為達(dá)到理想的可視化效果，對(duì)于各模式，應(yīng)制作以下幾種圖形或動(dòng)畫(huà)：橫截面電磁場(chǎng)矢量分布圖、縱向中截面電場(chǎng)或磁場(chǎng)振幅圖、縱向中截面上的電場(chǎng)、磁場(chǎng)矢量圖，管壁電場(chǎng)、磁場(chǎng)矢量和管壁電流圖等。

COMSOL Multiphysics是COMSOL公司針對(duì)多物理場(chǎng)建模與仿真解決方案的旗艦產(chǎn)品，其核心是有限元計(jì)算方法，不僅具有強(qiáng)大的計(jì)算能力，而且有卓越的后處理能力，可用來(lái)對(duì)電磁場(chǎng)和電磁波進(jìn)行計(jì)算仿真，繪制清晰精美的圖形，制作生動(dòng)形象的動(dòng)畫(huà)，是進(jìn)行電磁場(chǎng)與電磁波可視化的一種有力工具[8～9]。本文利用COMSOL Multiphysics，以下簡(jiǎn)稱COMSOL，對(duì)圓波導(dǎo)中的三種典型模式TE11、TE01和TM01進(jìn)行三維仿真，用圖形和動(dòng)畫(huà)描述其模式電磁場(chǎng)分布的精細(xì)結(jié)構(gòu)。

1 圓波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)和電磁場(chǎng)模式

圓波導(dǎo)是橫截面為圓形的空心金屬波導(dǎo)管，結(jié)構(gòu)如圖1所示，內(nèi)半徑為a，管內(nèi)填充介電常數(shù)為ε，磁導(dǎo)率為μ的理想介質(zhì)。圓波導(dǎo)具有軸對(duì)稱性，宜采用圓柱坐標(biāo)來(lái)分析。對(duì)于TM波，縱向磁場(chǎng)分量為零，電場(chǎng)分量為[1]：

(1)

(2)

(3)

圖1 金屬圓波導(dǎo)結(jié)構(gòu)示意圖

(4)

對(duì)于TE波，縱向電場(chǎng)分量為零，各電場(chǎng)分量可表示為[1]：

(5)

(6)

Ez=0，

(7)

每一組m,n值對(duì)應(yīng)一個(gè)P'mn，且kc=P'mn/a，kc是TE的截止波數(shù)，其中P'mn為m階第一類貝塞爾函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)的根。利用式(8)可求出對(duì)應(yīng)的傳播常數(shù)k'z，從而形成一種TEmn模式。

(8)

2 電磁場(chǎng)仿真參數(shù)設(shè)置

在COMSOL中選擇電磁波模組，進(jìn)行3D建模，繪制圓柱體，設(shè)定正確的邊界條件后，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算即可求出圓柱體中任意點(diǎn)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量。邊界條件的設(shè)置如圖2所示，圓柱面上邊界條件設(shè)置為PEC，即理想導(dǎo)體；電磁波輸入的底面設(shè)置為Port，即輸入端口；電磁波輸出的底面設(shè)置為PML，即理想匹配層，將電磁波完全吸收。對(duì)于TE11、TE01和TM01三種模式，Port邊界條件設(shè)置各不相同。

計(jì)算圓波導(dǎo)中的電磁場(chǎng)時(shí)，需要求解電場(chǎng)3分量或磁場(chǎng)3分量的波動(dòng)方程。在COMSOL中，求解的是電場(chǎng)3分量Ex、Ey和Ez在空間各點(diǎn)的數(shù)值。Port邊界，就是設(shè)定電場(chǎng)初始值的邊界，在此邊界上設(shè)置電場(chǎng)分量的初始值。TE11模式，需要用到公式(5-7)，令m=n=1，將Eρ、Eφ進(jìn)行坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)換成Ex、Ey。為呈現(xiàn)真實(shí)的波傳輸效果，需要將電場(chǎng)分量乘以因子cos(ωt)。TE01模式的Port邊界設(shè)置類似于TE11模式，不同的是m=0,n=1。TE01模式的Port邊界設(shè)置方法與此類似，除了令m=0,n=1外，要用到公式(1)-(3)。

圖2 邊界條件設(shè)置

3 圓波導(dǎo)電磁場(chǎng)的可視化效果

3.1 TE11模式的可視化

假定a=8.737 mm，L=6a，頻率f=12.07 GHz，計(jì)算得到某時(shí)刻基模TE11的電磁場(chǎng)分布如圖3所示，從中可觀察到電場(chǎng)、磁場(chǎng)分布的細(xì)節(jié)。圖3(a)為中截面上的電場(chǎng)強(qiáng)度的模值圖，呈現(xiàn)明顯的基模的波動(dòng)形態(tài)；圖3(b)為縱向中截面上的電場(chǎng)、磁場(chǎng)矢量圖，其中與中截面垂直的箭頭代表電場(chǎng)矢量，中截面內(nèi)的箭頭代表磁場(chǎng)矢量，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互垂直；圖3(c)為管壁電流密度矢量和磁場(chǎng)矢量圖，圓波導(dǎo)內(nèi)表面上沿著圓柱軸線方向的箭頭代表磁場(chǎng)矢量，沿著圓弧方向的箭頭代表管壁電流密度矢量，管壁電流和磁場(chǎng)相互垂直，為呈現(xiàn)好的圖形效果，圖中隱去了里側(cè)四分之一圓柱面上的電流和磁場(chǎng)矢量圖。

(a)電場(chǎng)強(qiáng)度的模值圖

將一個(gè)周期內(nèi)各個(gè)不同時(shí)刻的圖形在時(shí)間軸上串聯(lián)起來(lái)后，制作成3D幀動(dòng)畫(huà)，可更清楚、形象地展示出TE11模式的電磁場(chǎng)在圓波導(dǎo)中的傳輸過(guò)程的宏觀形態(tài)和細(xì)節(jié)變化。

3.2 TE01模式的可視化

假定a=8.737 mm，L=3a，頻率f=25 GHz，計(jì)算得到某時(shí)刻模式的電磁場(chǎng)分布如圖4所示。圖4(a)為中截面上的電場(chǎng)強(qiáng)度的模值圖，呈現(xiàn)明顯的二階模的波動(dòng)形態(tài)；圖4(b)為縱向中截面上的電場(chǎng)、磁場(chǎng)矢量圖，其中與中截面垂直的箭頭表示電場(chǎng)，中截面內(nèi)的箭頭表示磁場(chǎng)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互垂直；圖4(c)為管壁電流和磁場(chǎng)矢量圖，圓波導(dǎo)內(nèi)壁上沿著波導(dǎo)軸線方向的箭頭代表磁場(chǎng)矢量，沿著圓弧方向的箭頭代表管壁電流密度矢量，管壁電流和磁場(chǎng)相互垂直。圖4展示出了圓波導(dǎo) 模式的電磁場(chǎng)細(xì)節(jié)分布。將不同時(shí)刻的圖形串聯(lián)起來(lái)，可制成3D動(dòng)畫(huà)，可更清楚、形象的展示出 模式的電磁場(chǎng)在圓波導(dǎo)中的傳輸過(guò)程的宏觀形態(tài)和細(xì)節(jié)變化。

(a)電場(chǎng)強(qiáng)度的模值圖

3.3 TM01模式的可視化

假定a=8.737 mm，L=3a，頻率f=25 GHz，計(jì)算得到某時(shí)刻模式的電磁場(chǎng)分布如圖5所示。圖5(a)為縱向中截面上的磁場(chǎng)強(qiáng)度的模值圖，呈現(xiàn)明顯的二階模的波動(dòng)形態(tài)；圖5(b)為縱向中截面上的電場(chǎng)、磁場(chǎng)矢量圖，其中與中截面垂直的箭頭代表磁場(chǎng)矢量，中截面內(nèi)的箭頭代表電場(chǎng)矢量，電場(chǎng)矢量和磁場(chǎng)矢量相互垂直；圖5(c)為管壁電流和磁場(chǎng)矢量圖，圓波導(dǎo)內(nèi)壁上沿著圓柱軸線方向的箭頭代表管壁電流密度矢量，沿著圓弧方向的箭頭代表管磁場(chǎng)矢量，管壁電流和磁場(chǎng)相互垂直。從圖中可明顯看出TM01模式與TE01模式電場(chǎng)、磁場(chǎng)矢量在空間分布上的區(qū)別。根據(jù)圖5，選擇不同的時(shí)間點(diǎn)，串聯(lián)起來(lái)可做出3D動(dòng)畫(huà)。

(a)磁場(chǎng)強(qiáng)度的模值圖

4 結(jié)語(yǔ)

利用COMSOL有限元分析軟件，可以對(duì)圓波導(dǎo)中的電磁場(chǎng)進(jìn)行可視化，繪制清晰的圖形和制作生動(dòng)、形象的動(dòng)畫(huà)。這使學(xué)生對(duì)圓波導(dǎo)中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)分布看的更準(zhǔn)確、全面、細(xì)致，既開(kāi)拓了視野，又加深了對(duì)波導(dǎo)模式和電磁場(chǎng)規(guī)律的理解，提高了學(xué)習(xí)興趣。與Matlab、Mathematic等相比，COMSOL繪圖效果更清晰絢麗，可對(duì)更一般的無(wú)解析解的電磁場(chǎng)問(wèn)題進(jìn)行可視化，功能更強(qiáng)，軟件使用更簡(jiǎn)便，不需要編制程序，僅需設(shè)置適當(dāng)?shù)膮?shù)。COMSOL有望作為一種有效的輔助手段，在電磁場(chǎng)教學(xué)領(lǐng)域廣泛采用。