楊成洪，吳 曉，何更旺，高春立

（西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

1 引言

隨著各國開始重視環(huán)境問題和對磁懸浮列車優(yōu)勢的研究，新型交通工具磁懸浮列車得到發(fā)展。中低速磁懸浮列車的支撐力由軌道與懸浮電磁鐵之間吸引力提供，懸浮電磁鐵則是保證列車正常運(yùn)行的重要部件。

早期人們采用磁路方法進(jìn)行電磁鐵設(shè)計，隨著有限元方法引入電磁場分析，以及有限元軟件的發(fā)展，國內(nèi)外開始使用有限元軟件對電磁鐵磁場進(jìn)行求解和分析，以輔助電磁鐵設(shè)計。Rodger 采用有限元方法研究了移動導(dǎo)體在磁場中的渦流問題[2-3]。文獻(xiàn)[4]對常導(dǎo)低速磁浮列車懸浮電磁鐵的電磁場進(jìn)行了二維有限元分析，得出了不同電流條件下懸浮力和氣隙的關(guān)系。文獻(xiàn)[5]建立中低速磁浮列車懸浮電磁鐵的二維模型，分析了額定工作條件下的磁力線分布和磁場飽和狀態(tài)。文獻(xiàn)[6-7]用有限元軟件對中低速磁浮列車懸浮磁鐵進(jìn)行靜態(tài)分析，得到電磁力隨電流和氣隙的變化規(guī)律，也分析了列車運(yùn)行過程發(fā)生水平偏移、滾動以及啟動對電磁鐵的影響。文獻(xiàn)[8]研究了電磁線圈對電磁力的影響。文獻(xiàn)[9]研究了鋼軌渦流對中低速磁浮列車懸浮力的影響，用解析法和數(shù)值法分別對鋼軌渦流效應(yīng)進(jìn)行求解，并提出了減弱渦流影響的方案。文獻(xiàn)[10]研究了懸浮磁鐵截面結(jié)構(gòu)對懸浮力的影響，并對其進(jìn)行優(yōu)化，同時對懸浮磁鐵進(jìn)行三維有限元分析以及分析了懸浮磁鐵運(yùn)動姿態(tài)對懸浮力的影響。

磁懸浮列車在實際運(yùn)行中會遇到不同類型的外部擾動，包括：電流變化、空氣阻力、岔道、轉(zhuǎn)彎、坡道、軌道接頭和軌道加工誤差等因素，這些都會對列車懸浮力和懸浮控制造成的擾動。懸浮電磁鐵在變化電流這一擾動力下的特性影響懸浮系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)定性。列車起浮和降落過程中，為滿足乘客的舒適需求和列車的平穩(wěn)運(yùn)行，使懸浮電磁鐵的電流隨時間變化，如圖1、圖2 所示。運(yùn)行過程中需要實時控制懸浮間隙，由于懸浮供電系統(tǒng)中電容及電磁鐵恒流特性，在電壓轉(zhuǎn)化時電磁鐵電流會出現(xiàn)瞬變[11]，如圖3 所示。下面將采用有限元分析軟件ANSYS 對懸浮電磁鐵進(jìn)行瞬態(tài)分析，分析在不同變化電流情況下懸浮磁鐵的特性。

圖1 起浮電流波形Fig.1 The Current Waveform of Train Floating

圖2 降落電流波形Fig.2 The Current Waveform of Train Landing

圖3 穩(wěn)定運(yùn)行中電壓、電流波形Fig.3 The Current and Voltage Waveform of Train Working Stablely

2 理論基礎(chǔ)

2.1 經(jīng)典磁路理論

經(jīng)典磁路理論是早期進(jìn)行電磁鐵設(shè)計使用的方法，該理論認(rèn)為鐵芯及軌道等磁阻相對于空氣的磁阻小得多，近似處理成磁勢全部降落在氣隙上，且認(rèn)為磁通密度在氣隙出均勻分布，并忽略磁漏現(xiàn)象，通過對磁場問題簡化來求解懸浮力[8]。根據(jù)經(jīng)典磁路理論得到懸浮力F計算公式：

式中：B—磁通密度；μ0—空氣磁導(dǎo)率；a—磁極截面積。

磁動勢與磁通的關(guān)系式：

式中：f—磁動勢；Φm—?dú)庀洞磐?；Rm—磁路磁阻；NI—勵磁線圈的安匝數(shù)。

通過簡化，磁路的磁阻近似表示為：

式中：δ—單個氣隙長度。

由式（1）～式（3）得懸浮力的表達(dá)式為：

2.2 麥克斯韋（Maxwell）方程組

麥克斯韋（Maxwell）方程組是分析和研究電磁現(xiàn)象的一個基本依據(jù)，用有限元方法分析電磁場所使用的微分方程則是從麥克斯韋方程組推導(dǎo)而得。麥克斯韋方程組由四個定律組成，分別是：安培定律、法拉第定律、高斯電通定律和高斯磁通定律[12]。微分形式方程組，如式（5）所示。

式中：H—磁場強(qiáng)度；J—電流密度；D—電通量密度；E—電場強(qiáng)度；ρ—電荷密度。

求解磁場，是尋求偏微分方程的邊值而不是直接對電磁場的偏微分方程去求解。由于直接使用上述方程對磁場進(jìn)行分析較為復(fù)雜，應(yīng)用時根據(jù)問題施加相應(yīng)的邊界條件，對上述方程進(jìn)行變換，由此產(chǎn)生不同的電磁場分析方法，如：模擬法、圖解法和數(shù)值法，有限元法則是數(shù)值法的一種。

2.3 有限元法在電磁分析中的應(yīng)用

有限元法，其原理是基于變分原理或迦遼金原理。有限單元法將由偏微分方程表征的連續(xù)函數(shù)所在的封閉場域劃分成有限的小區(qū)域，每個小區(qū)域用一個選定的近似函數(shù)來代替，進(jìn)而將整個場域的函數(shù)離散化，得到一組近似方程，求解得到該場域中函數(shù)的近似數(shù)值。

在ANSYS 中，計算磁場力按下面公式進(jìn)行計算[12]：

式中：s—單元在節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系中的虛位移；Fs—單元s方向所受的力；vol—單元體積。

3 二維靜態(tài)磁場分析

3.1 軌道與懸浮電磁鐵結(jié)構(gòu)

中低速磁浮列車軌道采用F型軌道，懸浮電磁鐵安裝于懸浮架，并置于軌道下方，每個懸浮架安裝2 個電磁鐵，每個電磁鐵含4 組線圈。軌道與懸浮電磁鐵橫截面結(jié)構(gòu)，如圖4 所示。

圖4 軌道與懸浮電磁鐵橫截面結(jié)構(gòu)Fig.4 The Cross-Section Structure of Track and Suspension Electromagnet

分析對象本參數(shù)如下：（1）磁鐵長度為2720mm，磁極寬度為28mm，繞組匝數(shù)為342；（2）列車額定懸浮間隙為8mm，懸浮磁鐵額定工作電流為20A；（3）鐵芯和F型軌道材料為Q235。

3.2 二維靜態(tài)磁場分析結(jié)果

在ANSYS 中建立簡化的二維模型，采用精度為4 的四邊形自由網(wǎng)格劃分，得到3991 個單元。網(wǎng)格劃分的二維有限元模型，圖中紫色區(qū)域為空氣介質(zhì)，如圖5 所示。額定工作電流、額定間隙下的磁力線分布和磁通密度，如圖6、圖7 所示。磁力線分布總共劃分27 條，漏磁力線數(shù)為5 條，鐵芯上磁通密度由內(nèi)到外逐漸減小，并且在鐵芯內(nèi)側(cè)直角出現(xiàn)磁通密度最大值，上述結(jié)果與文獻(xiàn)10 中的結(jié)論吻合。得到的Y方向電磁力為6673.4N/m。經(jīng)過計算，乘上單個懸浮電磁鐵的長度，得到整個電磁鐵產(chǎn)生的Y向電磁吸引力為18.15kN，與文獻(xiàn)[10]中得到的結(jié)果的結(jié)論吻合，且與采用文獻(xiàn)[12]中的試驗結(jié)果對比分析，同樣滿足要求。由此證明所建立的有限元模型可取。

圖5 網(wǎng)格劃分Fig.5 Meshing

圖6 磁力線分布Fig.6 The Magnetic Flux Lines

圖7 磁通密度Fig.7 The Magnetic Flux Density

4 二維瞬態(tài)磁場分析

瞬態(tài)磁場分析處理的是由電壓、電流或外加場隨時間無規(guī)律變化以及某種運(yùn)動狀態(tài)所引起的磁場變化，瞬態(tài)磁場分析中主要關(guān)注渦流、渦流對磁力的影響和渦流致使的能量損耗等。瞬態(tài)磁場中矢量磁位A滿足的微分方程如下[13]：

式中：v—運(yùn)動物體的速度；A—矢量磁位；Js—源電流密度。

4.1 載荷加載處理

根據(jù)圖1、圖2 和圖3 將懸浮電磁鐵在起浮、下降和運(yùn)行過程中輸入電流波形圖進(jìn)行簡化，使用斜坡加載和階躍加載兩種方式替代。為滿足在磁浮列車啟動到停車整個過程乘客的舒適感，起浮過程總共需要2s 完成，下降過程大約需要1s 完成，在穩(wěn)定運(yùn)行過程中對供電系統(tǒng)電壓進(jìn)行調(diào)節(jié)時，會引起電流瞬變[11]。三個過程的“載荷-時間”曲線分別，如圖8 所示。

圖8 起浮、下降和穩(wěn)定運(yùn)行過程中時間-載荷曲線Fig.8 Time Load Curve During Floating，Descending and Stable Operation

4.2 瞬態(tài)分析結(jié)果

將上述三個過程的“載荷-時間”曲線加載到已驗證過的二維磁場有限元模型中進(jìn)行瞬態(tài)電磁場分析，并關(guān)注F型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力、內(nèi)極板與導(dǎo)軌間懸浮間隙處的磁通密度和在F型導(dǎo)軌上形成的能量損失，瞬態(tài)分析結(jié)果，如圖 9（a）、圖 9（b）、圖 9（c）右圖的曲線所示。

（1）瞬態(tài)分析過程中電流相對于時間的變化呈現(xiàn)出線性變化或階躍變化關(guān)系，分析得到的結(jié)果中起浮、下降和穩(wěn)定運(yùn)行過程中的F型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力、導(dǎo)軌間懸浮間隙處的磁通密度和在F型導(dǎo)軌上形成的能量損失隨時間的變化關(guān)系都是非線性關(guān)系。

（2）F型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力和內(nèi)極板與導(dǎo)軌間懸浮間隙處的磁通密度隨時間的變化規(guī)律一致。起浮過程中（0～0.5）s 電流隨時間線性增加，F(xiàn)型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力的呈現(xiàn)出非線性增加，并且變化率逐漸增大；（0.5～2）s 電流隨時間線性遞減至額定電壓，F(xiàn)型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力出現(xiàn)短暫增大、變化率減小階段，然后出現(xiàn)接近線性遞減情況；（2～3）s 電流保持在額定電流，電磁吸引力減小，變化率較小，平均為309N/（m·s）。下降過程中（0～0.5）s 的電磁吸引力出現(xiàn)的較大變化是由于起始階段0.01s 出的階躍變化引起，這個階段是為得到額定電流工作狀態(tài)而施加；在2.4s 處電流由線性遞增變?yōu)榫€性遞減，同樣電磁吸引力沒有出現(xiàn)瞬變；3s 時電流減小至0，此時電磁吸引力大于0，為410.6N/m。穩(wěn)定運(yùn)行階段中，隨著電流出現(xiàn)瞬變磁吸引力也出現(xiàn)突變，出現(xiàn)的時間有延遲，突變前后電磁吸引力的不同時由于起始階段電流階躍變化引起。

（3）下降階段和穩(wěn)定運(yùn)行階段中在起始階段添加的電流階躍變化引起了較大的能損失，電流從0 階躍至額定電流造成357.9Watt/m 的能量損失，如圖9（c）所示。電流出現(xiàn)變化時，引起能量損失；隨著電流穩(wěn)定，能量損失趨近于0。從能量損失的角度看，在進(jìn)行懸浮控制中盡量避免出現(xiàn)電流的瞬變情況，采用變化率較小的電流變化方式，以減小能量損失。

（4）不同分析方法得到的F型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力隨電流的變化曲線，如圖9（d）所示。其中瞬態(tài)仿真值為起浮階段中（0～0.5）s 電流從（0～30）A 所得結(jié)果，圖中理論值與仿真值之間的誤差隨電流的增大而增大。這種誤差來源于理論計算忽略了磁漏、鐵芯與導(dǎo)軌的磁阻和磁路的形狀，從文獻(xiàn)[10]中得知懸浮電磁的截面幾何形狀對懸浮力有影響。此外從圖6 中可以看到氣隙處的磁通并不均勻存，這也是誤差的一個來源。瞬態(tài)仿真的結(jié)果隨著電流的增大逐漸大于靜態(tài)仿真的結(jié)果。

圖9 瞬態(tài)分析結(jié)果Fig.9 The Results of Transient Analysis

5 電流變化率對電磁鐵特性的影響

5.1 載荷加載處理

使用不同斜率的電流進(jìn)行加載，讓電流從0 加載到額定電流，并保持到額定電流到4s。斜坡加載時間分別是0.25s、0.50s、1.00s、1.50s、2.00s、2.50s 和 3.00s。

5.2 結(jié)果分析

同樣把載荷加載到已驗證過的二維磁場有限元模型中進(jìn)行瞬態(tài)電磁場分析，關(guān)注F型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力和在F型導(dǎo)軌上產(chǎn)生的能量損失。

采用不同的加載斜率加載到額定電流，保持額定電流一段時間后得到的F型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力都接近二維靜態(tài)分析中得到的值6673.4N/m，如圖10 所示。加載斜率減小，吸引力的變化趨勢也隨之變緩。

圖10 不同加載斜率下導(dǎo)軌所受的電磁吸引力Fig.10 The Electromagnetic Forces of Track Under Different Loading Slopes

表1 不同加載斜率的F型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力的影響Tab.1 The Influence of Different Loading Slopes on Electromagnetic Forces of F-Type Track

根據(jù)不同加載斜率的F型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力數(shù)據(jù)，如表1 所示。從表中可以看到隨著加載斜率的減小，F(xiàn)型導(dǎo)軌所受的電磁吸引力隨時間的最大變化率和斜坡加載段平均變化率都減小。

圖11 不同加載斜率下的能量損失Fig.11 The Power Loss Under Different Loading Slopes

從圖11 中可以看到隨著加載斜率的減小，在F型導(dǎo)軌上產(chǎn)生的能量損失減小，再次說明從能量損失的角度看，在進(jìn)行懸浮控制中盡量避免出現(xiàn)電流的瞬變情況，采用變化率較小的電流變化方式，以減小能量損失。

6 結(jié)論

（1）利用Ansys 軟件對中低速磁浮列車懸浮電磁鐵磁場進(jìn)行靜態(tài)分析和瞬態(tài)分析，通過二維靜態(tài)磁場分析，了解懸浮電磁鐵磁場的特點(diǎn)，并將分析結(jié)果與文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，證明有限元模型的準(zhǔn)確性。

（2）通過二維瞬態(tài)磁場分析，發(fā)現(xiàn)懸浮電磁鐵在在起浮、下降和穩(wěn)定運(yùn)行過程中電流以線性規(guī)律變化時電磁吸引力和磁通密度的變化規(guī)律呈非線性，并且當(dāng)電流由出現(xiàn)瞬變，如由增大變?yōu)闇p小，或減小變?yōu)樵龃髸r，電磁吸引力和磁通密度不會出現(xiàn)瞬變，而是改變其變化率，保持原有的變化趨勢緩慢過渡。電流變至0 時，電磁吸引力和磁通密度不會馬上消失。

（3）進(jìn)一步分析了電流斜坡加載斜率與懸浮電磁鐵懸浮力和能量損失之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)采用變化率較小的電流，可減小能量損失。

（4）這里研究為中低速磁浮列車懸浮控制和中低速磁懸浮列車的節(jié)能設(shè)計提供參考。有限元分析只對靜態(tài)分析進(jìn)行驗證，并間接證明瞬態(tài)分析中模型的準(zhǔn)確性。瞬態(tài)下懸浮電磁鐵的特性需進(jìn)一步進(jìn)行試驗研究。