任正義，黃 同，楊立平

（1.哈爾濱工程大學(xué)工程訓(xùn)練國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

所有旋轉(zhuǎn)機(jī)械都分為轉(zhuǎn)子和定子兩部分，磁懸浮飛輪系統(tǒng)中的定子包括電磁軸承座，電機(jī)定子，安裝支架等[1-2]。磁懸浮儲(chǔ)能系統(tǒng)在工作調(diào)試過程中，一般將定子部分安裝在剛性基礎(chǔ)上，通過建立靜止坐標(biāo)系來研究分析飛輪轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)。但隨著旋轉(zhuǎn)速度越來越高，轉(zhuǎn)子的振動(dòng)會(huì)不可避免地影響到基礎(chǔ)支架，產(chǎn)生基礎(chǔ)激勵(lì)進(jìn)而影響自身的振動(dòng)響應(yīng)。

文獻(xiàn)[3]以渦輪增壓器轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)為模型，分析了基礎(chǔ)激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的影響。文獻(xiàn)[4]分別研究了安裝基礎(chǔ)振動(dòng)對(duì)七自由度和五自由度車載飛輪轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值的影響。文獻(xiàn)[5]通過單次平衡技術(shù)識(shí)別轉(zhuǎn)子-軸承-基礎(chǔ)系統(tǒng)的激勵(lì)和柔性支承參數(shù)，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。文獻(xiàn)[6]分別從理論和實(shí)驗(yàn)上研究了柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在受到基礎(chǔ)激勵(lì)后的彎曲動(dòng)態(tài)特性。大多數(shù)基礎(chǔ)激勵(lì)分析都將其看作為一個(gè)固定方向的激勵(lì)力，沒有分析基礎(chǔ)支承特性對(duì)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)影響，因此這里建立了600Wh 磁懸浮飛輪-基礎(chǔ)系統(tǒng)的徑向耦合動(dòng)力學(xué)方程，分別分析了飛輪轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和基礎(chǔ)徑向支承剛度對(duì)定子和轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響。

2 安裝支架結(jié)構(gòu)

600Wh 磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與安裝支架的結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1 所示。儲(chǔ)能系統(tǒng)結(jié)構(gòu)布局，如圖1（a）所示。系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子部分沿軸向方向分別為上保護(hù)軸承，上徑向電磁軸承，軸向磁軸承，飛輪轉(zhuǎn)子，電機(jī)/發(fā)電一體機(jī)，下保護(hù)軸承，定子部分則包括各轉(zhuǎn)子部件的支座，真空冷卻系統(tǒng)，安裝支架等[7]。安裝支架的相關(guān)參數(shù)，如圖1（b）所示。安裝支架設(shè)置了四個(gè)與地面接觸的安裝支點(diǎn)a1、a2、a3、a4，其中四個(gè)支點(diǎn)分別距離支架中心軸l，上下徑向電磁軸承中心分別與支架底部中心相距h1，h2。

圖1 儲(chǔ)能飛輪整體結(jié)構(gòu)布局圖Fig.1 The Overall Structure Layout of Energy Storage Flywheel

為了便于分析系統(tǒng)轉(zhuǎn)子和定子的運(yùn)動(dòng)矢量，需要建立相應(yīng)的坐標(biāo)系和支承參數(shù)，如圖2 所示。圖2（a）中上下徑向電磁軸承與定子之間等效為彈簧-阻尼元件，其中上下剛度和阻尼參數(shù)分別相同，兩個(gè)參數(shù)各自用kf和cf表示。儲(chǔ)能飛輪系統(tǒng)徑向受到激勵(lì)會(huì)影響安裝支架的初始形態(tài)，所以同樣地將

安裝支架在安裝點(diǎn)之間等效為彈簧元件，剛度為ks。假設(shè)磁懸浮飛輪系統(tǒng)在平衡狀態(tài)下彈簧和阻尼的伸長(zhǎng)量為零。圖2（b）表示的是建立運(yùn)動(dòng)方程所需要的基本坐標(biāo)系，首先為了能夠在同一坐標(biāo)系下描述系統(tǒng)定子和轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)矢量，建立一靜止坐標(biāo)系OXYZ與大地固連在一起，其位置以坐標(biāo)系oxyz為參考，o為安裝支架底部的中心點(diǎn)，oz為支架中心線，ox和oy為沿著支架底部徑向方向兩個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸，系統(tǒng)在初始時(shí)刻和平衡狀態(tài)時(shí)，坐標(biāo)系OXYZ與oxyz重合。然后分別建立相應(yīng)的定子坐標(biāo)系osxsyszs和ofxfyfzf轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系，其中轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系中的of是飛輪轉(zhuǎn)子的幾何中心點(diǎn)，定子坐標(biāo)系中的os是上下徑向電磁軸承距離中點(diǎn)，同時(shí)還設(shè)置了上徑向電磁軸承坐標(biāo)系o1x1y1z1和下徑向電磁軸承坐標(biāo)系o2x2y2z2，當(dāng)轉(zhuǎn)子處于平衡位置時(shí)，轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系與定子坐標(biāo)系重合。

圖2 飛輪轉(zhuǎn)子支承與坐標(biāo)系Fig.2 The Support and Coordinate System of Flywheel Rotor

3 耦合動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于考慮基礎(chǔ)激勵(lì)的剛性飛輪轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)，采用拉格朗日方程推導(dǎo)耦合運(yùn)動(dòng)方程[8]。首先需要求出定子和轉(zhuǎn)子在靜止坐標(biāo)系下的位移和速度矢量。為了方便運(yùn)動(dòng)矢量在各坐標(biāo)系下的相互轉(zhuǎn)換，引入坐標(biāo)變換矩陣：

當(dāng)定子受力發(fā)生振動(dòng)時(shí)，其位移矢量在靜止坐標(biāo)系下表示為us=｛xs，ys，zs｝T，平動(dòng)速度為此時(shí)忽略定子繞oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，只考慮繞ox軸和oy軸的傾斜，定義徑向傾斜角度角度αs和βs，假設(shè)定子的徑向傾斜過程為先繞ox軸轉(zhuǎn)動(dòng)αs角，再繞oy軸轉(zhuǎn)動(dòng)βs角，則定子傾斜角速度在靜止坐標(biāo)系下表示為：

定子坐標(biāo)系下的傾斜角速度為：

式中：‘*’—定子坐標(biāo)系下的矢量表達(dá)。因?yàn)椴豢紤]定子繞oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)，式中的

從定子的傾斜角度中可以求出定子坐標(biāo)系到靜止坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣Tsg。

分析飛輪轉(zhuǎn)子在定子坐標(biāo)系os xs ys zs下的運(yùn)動(dòng)矢量，磁懸浮飛輪在坐標(biāo)系o1x1y1z1和o2x2y2z2中的轉(zhuǎn)子位移分別為x1、x2、y1、y2，由此得到其在osxsyszs坐標(biāo)系下位移為：

平動(dòng)速度為：

同樣定義轉(zhuǎn)子的徑向傾斜角度αf和βf：

相應(yīng)地類似式（2）和式（3）得到轉(zhuǎn)子在坐標(biāo)系os xs ys zs和of xf yfzf中的傾斜角速度：

式中：‘**’—轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系下的矢量表達(dá)。

由轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系of xf yf zf到定子坐標(biāo)系os xs ys zs的坐標(biāo)變化矩陣和反變換矩陣：

轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系下定子傾斜角速度矢量為：

靜止坐標(biāo)系中飛輪轉(zhuǎn)子的位移矢量為：

為了便于建立耦合動(dòng)力學(xué)方程，設(shè)廣義坐標(biāo)為：

定義定子動(dòng)能表示為Ts，轉(zhuǎn)子動(dòng)能為Tf，得到：

對(duì)剛性飛輪轉(zhuǎn)子和定子來說，假設(shè)：

式中：Jsd，Jsp—儲(chǔ)能系統(tǒng)定子的赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jfd，Jfp—儲(chǔ)能系統(tǒng)轉(zhuǎn)子的赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ms，mf—安裝支架質(zhì)量和飛輪轉(zhuǎn)子質(zhì)量。

此時(shí)系統(tǒng)的總動(dòng)能表示為：

由于這里不考慮系統(tǒng)軸向運(yùn)動(dòng)，忽略了重力勢(shì)能。因此系統(tǒng)勢(shì)能為：

其中，x1、x2、y1、y2由下式確定：

系統(tǒng)粘性阻尼耗散能為：

聯(lián)立以上公式，并代入Lagrange 方程式：

將飛輪轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度Ω 看作一常數(shù)值，整理式（21）即可得到磁懸浮飛輪-基礎(chǔ)耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。由于飛輪轉(zhuǎn)子位移參數(shù)變化范圍很小，所以將運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行線性化處理，即得到耦合運(yùn)動(dòng)方程為[9]：

其中式（22）為耦合系統(tǒng)平移運(yùn)動(dòng)方程，式（23）為耦合系統(tǒng)傾斜運(yùn)動(dòng)方程。

4 徑向振動(dòng)分析與試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

4.1 仿真分析

根據(jù)式（22）和式（23）所建立的磁懸浮飛輪-基礎(chǔ)耦合運(yùn)動(dòng)方程來分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的徑向振動(dòng)響應(yīng)。其中600Wh 磁懸浮飛輪與安裝支架參數(shù)，如表1 所示。

表1 磁懸浮飛輪與安裝支架參數(shù)Tab.1 The Parameters of Magnetic Suspension Flywheel and Mounting Bracket

首先將上式參數(shù)代入方程中計(jì)算出耦合運(yùn)動(dòng)下轉(zhuǎn)子的徑向平動(dòng)固有頻率為44Hz，傾斜固有頻率為205Hz，與第三章中求解的結(jié)果相比增大了一些。平臺(tái)的徑向平動(dòng)固有頻率為269Hz，傾斜固有頻率為108Hz，由于支架的支承剛度只存在于下方，所以振型先是發(fā)生傾斜然后是平移，與轉(zhuǎn)子恰好相反。

4.1.1 飛輪轉(zhuǎn)速

隨著飛輪工作轉(zhuǎn)速的提高，其振動(dòng)響應(yīng)會(huì)通過支承系統(tǒng)傳遞到基礎(chǔ)支架上，引起支架相對(duì)于地面的振動(dòng)，從而對(duì)自身的振動(dòng)也產(chǎn)生了一定影響。因此這里選取了三個(gè)不同轉(zhuǎn)速ω=100π，200π，400πrad/s，分別分析了各個(gè)轉(zhuǎn)速下定子和轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)，其中徑向平移振動(dòng)圖，如圖3 所示。徑向傾斜振動(dòng)圖，如圖4所示。最終得到了飛輪轉(zhuǎn)速對(duì)耦合振動(dòng)的影響。

圖3 不同轉(zhuǎn)速下耦合系統(tǒng)徑向平動(dòng)振動(dòng)響應(yīng)Fig.3 Radial Translational Vibration Response of Coupled Systems at Different Speeds

圖4 不同轉(zhuǎn)速下耦合系統(tǒng)徑向傾斜振動(dòng)響應(yīng)Fig.4 Radial Tilt Vibration Response of Coupled Systems at Different Speeds

不同轉(zhuǎn)速下定子徑向平動(dòng)分別受到轉(zhuǎn)子平動(dòng)固有頻率、不平衡量、定子平動(dòng)固有頻率三個(gè)激勵(lì)，如圖3（a）、圖3（b）所示。其中當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω=100πrad/s 時(shí)接近轉(zhuǎn)子的平動(dòng)固有頻率，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生了共振，這種現(xiàn)象也傳遞到了定子，使定子在該轉(zhuǎn)速下振幅達(dá)到最大。越過轉(zhuǎn)子平動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速后，轉(zhuǎn)子不平衡量對(duì)定子的激勵(lì)隨著轉(zhuǎn)速增加而增加，但變化并不明顯，表現(xiàn)在100Hz、200Hz 下的振幅中，說明定子振動(dòng)中，轉(zhuǎn)子不平衡量產(chǎn)生的同頻信號(hào)不是主要頻率成分。定子平動(dòng)固有頻率269Hz 信號(hào)下的振幅也受到了轉(zhuǎn)速的影響，轉(zhuǎn)速在低速100πrad/s 到200πrad/s 之間，振幅隨著轉(zhuǎn)速增加而增加；轉(zhuǎn)速在轉(zhuǎn)速200πrad/s 到400πrad/s 之間，振幅隨著轉(zhuǎn)速增加而減小。不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子受到不平衡量，平動(dòng)固有頻率兩個(gè)信號(hào)激勵(lì)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速接近固有頻率時(shí)的振幅最大，隨著轉(zhuǎn)速的增加，振幅變小，定子平動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子平動(dòng)也沒有明顯的影響，如圖 3（c）、圖 3（d）所示。

不同轉(zhuǎn)速下定子徑向傾斜主要受到定子傾斜固有頻率108Hz 信號(hào)的激勵(lì)，如圖 4（a）、圖 4（b）所示。轉(zhuǎn)速為 ω=200πrad/s時(shí)，該激勵(lì)下的振幅最小，且變化速度最快，說明轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速會(huì)影響定子傾斜運(yùn)動(dòng)；轉(zhuǎn)子傾斜的陀螺力矩信號(hào)也對(duì)定子傾斜有一定的激勵(lì)，但與108Hz 信號(hào)相比來說很小。轉(zhuǎn)子傾斜振動(dòng)不僅受到陀螺力矩的影響，如圖4（c）、圖4（d）所示。定子支承特性所決定的108Hz 信號(hào)也對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生了激勵(lì)，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω=200πrad/s 接近定子傾斜固有頻率時(shí)，83Hz 下的振幅最大，這說明定子傾斜特性對(duì)轉(zhuǎn)子傾斜振動(dòng)有一定影響。

4.1.2 基礎(chǔ)徑向支承剛度

從式（22）和式（23）中可以看出，耦合運(yùn)動(dòng)方程中的基礎(chǔ)徑向支承剛度ks會(huì)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)有影響，因此本小節(jié)通過調(diào)整支架的支承剛度來分析系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)。取轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速6000r/min，且認(rèn)為支架各徑向支承剛度相同，分析了不同ks條件下轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)及頻譜圖，如圖5～圖6 所示。

圖5 不同ks 條件下的轉(zhuǎn)子6000r/min 徑向平移振動(dòng)響應(yīng)Fig.5 Radial Translational Vibration Response of Rotor 6000r/min under Different ks Conditions

分別取ks=7×108，108，107N/m 進(jìn)行分析。安裝支架的支承剛度越小，轉(zhuǎn)子徑向振動(dòng)響應(yīng)會(huì)變大，但影響程度并不明顯，如圖5（a）所示。不同ks條件下轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)所包含頻率分量的區(qū)別，當(dāng)ks=108N/m 時(shí)，轉(zhuǎn)子的不平衡量激勵(lì)幅值明顯減小，如圖5（b）所示。這是由于該支承剛度條件下支架的徑向平動(dòng)固有頻率為100Hz，此時(shí)支架產(chǎn)生了共振，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子在定子坐標(biāo)系中的偏移量減??；當(dāng)ks=107N/m 時(shí)，支架的徑向平動(dòng)固有頻率為32Hz，這引起了轉(zhuǎn)子在30Hz 附近的一個(gè)低頻激勵(lì)。轉(zhuǎn)子在6000r/min狀態(tài)下的傾斜運(yùn)動(dòng)時(shí)域圖和頻域圖，如圖6 所示。圖6（a）中轉(zhuǎn)子的傾斜振動(dòng)響應(yīng)隨著支架徑向支撐剛度的減小而增大，且變化較為明顯。圖6（b）中三種支承剛度條件下陀螺力矩產(chǎn)生的頻率分量不變，當(dāng)ks=107N/m 時(shí)，平臺(tái)傾斜固有頻率為14Hz，因此在低頻產(chǎn)生了一個(gè)較大的幅值激勵(lì)；當(dāng)ks=108N/m 時(shí)，固有頻率分量為41Hz，此時(shí)振幅明顯減小，兩個(gè)頻率分量幅值也相差不大；當(dāng)ks=7×108N/m 時(shí)，108Hz 附近出現(xiàn)了一個(gè)小連續(xù)譜。

圖6 不同ks 條件下的轉(zhuǎn)子6000r/min 徑向傾斜振動(dòng)響應(yīng)Fig.6 Radial Tilt Vibration Response of Rotor 6000r/min under Different ks Conditions

由以上分析得出，基礎(chǔ)的徑向支撐剛度影響著轉(zhuǎn)子的徑向振動(dòng)響應(yīng)，其中對(duì)于轉(zhuǎn)子傾斜運(yùn)動(dòng)幅值的影響更為明顯，平動(dòng)振型下平臺(tái)的固有頻率與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速同頻時(shí)轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值最小，傾斜運(yùn)動(dòng)振型下低頻區(qū)頻率分量越低，幅值越大。

4.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

600Wh 磁懸浮飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)樣機(jī)，如圖7 所示。其中包括安裝基座、飛輪本體樣機(jī)、電/發(fā)一體機(jī)、控制箱系統(tǒng)（功率放大器、電壓調(diào)理板、DSP 控制板等）、電磁軸承控制器和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)等。其中轉(zhuǎn)子數(shù)據(jù)提取主要經(jīng)過位移傳感器輸入主板控制信號(hào)從主板另一端輸入轉(zhuǎn)子線圈，另一邊的傳感器通過檢測(cè)電流轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)輸入采集系統(tǒng)，控制電流i與轉(zhuǎn)子位移變化Y通過控制系統(tǒng)建立聯(lián)系，如圖8 所示。試驗(yàn)過程中取采樣頻率f=3000Hz，分別分析了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在3000r/min，6000r/min 時(shí)的振動(dòng)數(shù)據(jù)，如圖 9～圖 12 所示。

圖7 飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)樣機(jī)Fig.7 Flywheel Energy Storage System Prototype

圖8 轉(zhuǎn)子位移控制圖Fig.8 Rotor Displacement Control Chart

圖9 上徑向磁軸承振動(dòng)圖（3000r/min）Fig.9 Vibration Diagram of The Upper Radial Magnetic Bearing（3000r/min）

圖10 下徑向磁軸承振動(dòng)圖（3000r/min）Fig.10 Vibration Diagram of The Lower Radial Magnetic Bearing（3000r/min）

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為3000r/min 時(shí)的上下徑向磁軸承振動(dòng)時(shí)域圖和頻域圖，如圖9～圖10 所示。由圖9 的頻域圖中可以看出轉(zhuǎn)子在該轉(zhuǎn)速下主要受到50Hz 的一個(gè)信號(hào)激勵(lì)，該頻率與轉(zhuǎn)速同頻，是轉(zhuǎn)子不平衡量引起的，與上節(jié)圖3（d）中的仿真結(jié)果吻合。此外，轉(zhuǎn)子在50Hz 附近，150Hz 下都出現(xiàn)了小的連續(xù)譜，由上節(jié)分析可知44Hz 附近是轉(zhuǎn)子平動(dòng)固有頻率，150Hz 是轉(zhuǎn)子不平衡量的3 倍頻，這些信號(hào)激勵(lì)可以通過控制系統(tǒng)[10]減小其振動(dòng)幅值，試驗(yàn)數(shù)據(jù)中看出這些幅值被控制在0.002mm 上下，表明控制效果良好。同理，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速6000r/min 時(shí)的上下徑向磁軸承振動(dòng)時(shí)域圖和頻域圖，如圖11～圖12 所示。轉(zhuǎn)子不平衡量100Hz 引起的振動(dòng)幅值與圖3（d）中的仿真結(jié)果吻合，倍頻200Hz，300Hz 以及平動(dòng)固有頻率44Hz 下的幅值在0.002mm 上下。此外，在同一轉(zhuǎn)速下，下磁軸承轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)振動(dòng)要比上磁軸承轉(zhuǎn)子幅度大，經(jīng)過對(duì)結(jié)構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)，飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸向支承位置位于質(zhì)心上方，下徑向軸心距離支承軸向支承位置更遠(yuǎn)，這就造成上述現(xiàn)象。

圖11 上徑向磁軸承振動(dòng)圖（6000r/min）Fig.11 Vibration Diagram of The Upper Radial Magnetic Bearing（6000 r/min）

圖12 下徑向磁軸承振動(dòng)圖（6000r/min）Fig.12 Vibration Diagram of The Lower Radial Magnetic Bearing（6000r/min）

5 結(jié)論

（1）剛性轉(zhuǎn)子有兩階固有頻率，其中一階臨界轉(zhuǎn)速下的振型為平動(dòng)，二階臨界轉(zhuǎn)速的振型為傾斜運(yùn)動(dòng)。而基礎(chǔ)的模態(tài)振型順序與轉(zhuǎn)子相反，先發(fā)生傾斜，后發(fā)生平動(dòng)。

（2）定轉(zhuǎn)子在平動(dòng)和傾斜運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)受到轉(zhuǎn)子固有頻率，定子固有頻率，不平衡量三個(gè)主要激勵(lì)。

（3）除轉(zhuǎn)子不平衡量外，定轉(zhuǎn)子固有頻率分量受飛輪轉(zhuǎn)速影響較明顯，而定子平動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子平動(dòng)沒有明顯影響，傾斜特性卻對(duì)轉(zhuǎn)子傾斜振動(dòng)影響明顯。

（4）基礎(chǔ)的徑向支撐剛度影響著轉(zhuǎn)子的徑向振動(dòng)響應(yīng)，其中對(duì)于轉(zhuǎn)子傾斜運(yùn)動(dòng)幅值的影響更為明顯。