丁洪

[摘 要]探索一般經(jīng)歷“合情”和“演繹”兩個(gè)推理階段。以“有趣的乘法計(jì)算”的教學(xué)為例，以形式概括為主的過(guò)程浸潤(rùn)合情推理，通過(guò)例子多類型、比較多角度和聯(lián)系多層次，自主建構(gòu)規(guī)律的外在形式;以實(shí)質(zhì)把握點(diǎn)睛的過(guò)程浸潤(rùn)演繹推理，通過(guò)表征梯度化、反思體系化和遷移立體化，刻畫規(guī)律的內(nèi)在道理?！昂锨椤焙汀把堇[”兩者相輔相成和辯證統(tǒng)一，共同服務(wù)學(xué)生的素養(yǎng)培養(yǎng)和未來(lái)發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]過(guò)程經(jīng)歷;計(jì)算教學(xué);探索規(guī)律

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）11-0004-03

計(jì)算教學(xué)需要緊扣兩大任務(wù)，即“算法掌握”和“算理把握”。其中，算法指向運(yùn)算的操作程序，主要解決“可以怎樣算”的問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程注重計(jì)算順序的有效識(shí)記和遷移運(yùn)用，主要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，“熟能生巧”是其理念支撐;算理聚焦運(yùn)算的數(shù)學(xué)道理，主要解決“為什么可以這樣算”的問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程注重計(jì)算規(guī)則的透視解構(gòu)和合理重構(gòu)，主要培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，“熟能生智”是其教學(xué)訴求。顯然，計(jì)算教學(xué)需要引導(dǎo)學(xué)生既經(jīng)歷由表及里的深度學(xué)習(xí)過(guò)程，也經(jīng)歷由內(nèi)而外的生長(zhǎng)拓展過(guò)程。

“有趣的乘法計(jì)算”是蘇教版教材三年級(jí)下冊(cè)“探索規(guī)律”的專題活動(dòng)，它的知識(shí)基礎(chǔ)是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，屬于計(jì)算教學(xué)的范疇。從探索規(guī)律的角度看，教學(xué)的流程一般是固化的，分為“識(shí)別計(jì)算對(duì)象”“發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律”“表達(dá)計(jì)算規(guī)律”“驗(yàn)證計(jì)算規(guī)律”四個(gè)環(huán)節(jié)，它們環(huán)環(huán)相扣、封閉自洽和自成一體;從計(jì)算教學(xué)的角度看，一般注重觀察、比較、歸納和驗(yàn)證，往往缺失算理的融入、思維的卷入和情感的投入，看似“有趣”，畢竟“不實(shí)”。那么，怎樣做才能讓探索過(guò)程不再流于形式？怎樣做才能讓探索活動(dòng)保質(zhì)增效？怎樣做才能讓學(xué)生的探索能力得到可持續(xù)發(fā)展？顯然，要處理好這些問(wèn)題，必須緊扣算法和算理，厘清探索的形式與實(shí)質(zhì)，并做好形式向?qū)嵸|(zhì)的必要跨越，實(shí)現(xiàn)兩者從“湯水分離”走向融合共生。

一、形式概括為主，經(jīng)歷合情推理

形式概括一般遵循“所見”即“所得”的原則，這種推理過(guò)程以觀察為起點(diǎn)，以聯(lián)系為紐帶，以典型案例的分析和對(duì)比為重點(diǎn)，然后在變化中確定不變的因素，并將不變的內(nèi)容用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言記錄下來(lái)。簡(jiǎn)而言之，眼見為實(shí)，規(guī)律再現(xiàn)，合乎情理。但是，這種推理的結(jié)果未必為真，只是一種或然的結(jié)論而已。

1.例子多類型

好的例子有利于分門別類地探索問(wèn)題，有助于知識(shí)的邏輯建構(gòu)和思維的有序生長(zhǎng)。從教的層面看，適合探索的例子要有代表性和典型性，要能反映研究?jī)?nèi)容的不同層次。比如，在“兩位數(shù)乘11”的板塊中，教材先后出現(xiàn)兩組探索對(duì)象，分別是24×11、53×11、62×11和23×11、64×11、59×11。在這6道算式中，前4道為同一類，屬于“兩頭一拉，中間相加”的類型;后2道略有變化，除了滿足基本類型的要求外，還增加了“滿十進(jìn)一”的特殊情況。其實(shí)，這兩組例子并沒(méi)有列舉出“兩位數(shù)乘11”的所有情況，如果學(xué)生學(xué)有余力，教師還可以順勢(shì)給出形如“95×11”的例子，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)“連續(xù)進(jìn)位”的復(fù)雜情況。在“同頭尾合十”的板塊中，“同頭”所在的十位上，數(shù)字1～9都出現(xiàn)了，“尾補(bǔ)”所在的個(gè)位上，數(shù)字組合1和9、2和8、3和7、4和6、5和5也都出現(xiàn)了。從學(xué)的層面看，學(xué)生舉例驗(yàn)證的時(shí)候，也需要考慮所選例子的適切性和覆蓋面。顯然，無(wú)論是舉例教學(xué)，還是舉例驗(yàn)證，這項(xiàng)技能都不是與生俱來(lái)的，需要不斷修煉、調(diào)整和磨合，直至學(xué)會(huì)全面考慮問(wèn)題。

2.比較多角度

相對(duì)于“善于舉例”而言，“善于比較”更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。對(duì)于小學(xué)生而言，比較一般是在教師的指導(dǎo)下完成的，并且指向思維的不斷優(yōu)化。一方面，比較發(fā)生在思維的橫向擴(kuò)展中，如“兩位數(shù)乘11”的學(xué)習(xí)，先從不進(jìn)位的情況開始探索，通過(guò)反復(fù)觀察和比較異同，發(fā)現(xiàn)不同豎式中存在相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即積的個(gè)位上的數(shù)等于“兩位數(shù)”個(gè)位上的數(shù)，積的百位上的數(shù)等于“兩位數(shù)”十位上的數(shù)，積的十位上的數(shù)恰好等于“兩位數(shù)”個(gè)位和十位上的數(shù)字和，形象概括成“兩頭一拉，中間相加”。不過(guò)，規(guī)律在“64×11、59×11”這樣的算式中并不起作用，思維沖突引發(fā)繼續(xù)對(duì)比的需求，對(duì)比后發(fā)現(xiàn)“兩位數(shù)”十位上與個(gè)位上的和發(fā)生了變化：原來(lái)小于10，現(xiàn)在等于或者大于10，根據(jù)“十進(jìn)制”的計(jì)數(shù)規(guī)則，“滿十就要進(jìn)一”。顯然，有梯度的橫向擴(kuò)展，更有助于思維的有序遞進(jìn)。另一方面，比較發(fā)生在思維的縱向發(fā)展中，如“同頭尾合十”的學(xué)習(xí)，一是看著比，比出“兩個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)相同”“兩個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相加都等于10”;二是算著比，比出“積的末兩位等于兩個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘”;三是聯(lián)著比，在運(yùn)用探索規(guī)律直接寫出得數(shù)的情況下，比出“形如（a-1）（a+1）與a×a的乘法算式結(jié)果相差1”。顯然，有深度的縱向發(fā)展，更有助于思維的螺旋上升。

3.聯(lián)系多層次

多層次的聯(lián)系有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化和模型化，使探索活動(dòng)服務(wù)于學(xué)生思維。首先，聯(lián)系程序性知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，“有趣的乘法計(jì)算”源自“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，因此“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算過(guò)程是否合理，計(jì)算結(jié)果是否正確，是探索這類計(jì)算現(xiàn)象的前提，具有“一票否決”的地位;其次，聯(lián)系概念性知識(shí)進(jìn)行猜想，通過(guò)“一個(gè)兩位數(shù)與11相乘的得數(shù)有什么共同特點(diǎn)？先用豎式計(jì)算，再分別把積的每一位上的數(shù)和原來(lái)的兩位數(shù)比較?！薄胺e的末兩位是怎樣算出來(lái)的？末兩位前面的數(shù)呢？”等的追問(wèn)，激發(fā)學(xué)生調(diào)用“數(shù)的組成”“表內(nèi)乘法”“簡(jiǎn)單加減”等先擁概念進(jìn)行一系列的猜想，有效避免了表達(dá)時(shí)“言之無(wú)物”;最后，聯(lián)系價(jià)值性知識(shí)進(jìn)行反思，學(xué)生體會(huì)到“可以通過(guò)仔細(xì)觀察和比較發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的探索艱辛，也體驗(yàn)到“發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，要通過(guò)計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證”的嚴(yán)謹(jǐn)追求，還品味到“用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，能夠算得又對(duì)又快”的成功喜悅。顯然，多層次的聯(lián)系使得探索活動(dòng)從低階邁上高階。

可以看出，多類型的舉例能夠較為全面地表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，不重復(fù)、不遺漏，探索結(jié)論就能避免以偏概全，實(shí)現(xiàn)以少勝多的高效學(xué)習(xí)。多角度的比較能夠?yàn)閷W(xué)生思考問(wèn)題鋪路架橋，探索活動(dòng)變得有方向、有方法，學(xué)生的思維質(zhì)量也就有了保障。多層次的聯(lián)系能夠做到基于數(shù)學(xué)問(wèn)題，又超越具體問(wèn)題，并最終使學(xué)生獲得一般意義上的良性發(fā)展。

二、實(shí)質(zhì)把握點(diǎn)睛，經(jīng)歷演繹算理

從探索的歷程來(lái)看，合情推理是探索活動(dòng)的重要環(huán)節(jié)和必經(jīng)之路。考慮到學(xué)生的年齡特征、認(rèn)知規(guī)律和知識(shí)特點(diǎn)，舉例、比較、聯(lián)系等方法的運(yùn)用和內(nèi)化，在一定程度上仍能豐富和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。問(wèn)題是，學(xué)習(xí)不能只有合情推理，還需要適時(shí)添加演繹推理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“是什么”到“為什么”的思維跨越，逐步滲透理性精神。

1.表征梯度化

斯諾格拉斯的多水平模型認(rèn)為，在不同的認(rèn)知階段有不同層次的表征。首先，在知覺階段中，借助分類、列舉等活動(dòng)，在初步感知表面特征的基礎(chǔ)上，鎖定“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”計(jì)算中的特殊現(xiàn)象。其次，在工作記憶階段中，一方面借助言語(yǔ)表象表征，如用“兩頭一拉，中間相加”“滿十進(jìn)一”描述“兩位數(shù)乘11”的計(jì)算規(guī)律，用“乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘的結(jié)果寫在積的末兩位（不足兩位的，用“0”在積的十位上占位），乘數(shù)十位上的數(shù)相乘的結(jié)果寫在積的末兩位前面”描述“同頭尾合十”的計(jì)算規(guī)律，等等;另一方面借助視覺表象表征，將所思所想用合適的圖式“可視化”，如“24×11”的計(jì)算過(guò)程如圖1所示，其中，4×1等于4，4就寫在積的個(gè)位上，4×10和20×1合起來(lái)等于60，6就寫在積的十位上，20×10等于200，2就寫在積的百位上，三部分合起來(lái)就是264;“28×22”的計(jì)算過(guò)程如圖2所示，將“20個(gè)8相加”看成“8個(gè)20相加”，并與“2個(gè)20相加”合并成“10個(gè)20相加”（如圖3），最后“8×2”的乘積16，恰好落在積的末兩位，“20×30”的乘積600，6就寫在百位上，兩部分合起來(lái)就是616（如圖4）。其實(shí)，還可以借助直觀圖形將“20×30”動(dòng)態(tài)解構(gòu)成“2×（2+1）×100”的形式，并逐步抽象成“形如a（a+1）×100”的數(shù)學(xué)模型，有效消融學(xué)習(xí)的難點(diǎn)、盲點(diǎn)和困惑點(diǎn)。最后，在長(zhǎng)時(shí)記憶階段中，雖然規(guī)律沒(méi)有用命題形式表征，但是有了前面的豐富經(jīng)歷，與探索相關(guān)的知識(shí)方法、過(guò)程體驗(yàn)和情感態(tài)度逐漸變得明朗化，學(xué)習(xí)變得有滋有味、難以忘記。顯然，梯度化的表征相輔相成、相得益彰，為探明規(guī)律實(shí)質(zhì)奠定基礎(chǔ)。

2.反思體系化

反思不僅可以發(fā)生在板塊知識(shí)之內(nèi)，而且可以發(fā)生在板塊知識(shí)之間，甚至是超越知識(shí)本身獲得探索過(guò)程的深度理解。首先，從知識(shí)層面來(lái)反思，聯(lián)系上面的直觀圖形，先以“24×11”為例，可以清楚地發(fā)現(xiàn)“兩頭一拉，中間相加”的實(shí)質(zhì)，就是個(gè)位上的兩個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果對(duì)應(yīng)記錄在積的個(gè)位上，十位上的兩個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果對(duì)應(yīng)記錄在百位上，積的十位上記錄的內(nèi)容是兩部分的和：一部分是個(gè)位上的數(shù)乘十位上的數(shù)的結(jié)果，另一部分是十位上的數(shù)乘個(gè)位上的數(shù)的結(jié)果;再以“28×22”為例，與“24×11”不同的主要是在十位上，2×20+8×20=（2+8）×20=10×20，與百位上的20×20合并成10×20+20×20=（10+20）×20=30×20=600，這就是百位上記錄為“同頭的數(shù)×（同頭的數(shù)+1）”的真實(shí)原因，順著這樣的思路，十位空缺了，所以積的末兩位記錄的就是乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘的結(jié)果（不足兩位，用“0”占位）。換個(gè)角度來(lái)說(shuō)，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”都必然發(fā)生四種運(yùn)算：幾個(gè)×幾個(gè)=幾個(gè)（或十幾），幾個(gè)×幾十=幾十，幾十×幾個(gè)=幾十，幾十×幾十=幾百。其次，從方法層面來(lái)反思，無(wú)論是哪個(gè)版塊，都無(wú)一例外地經(jīng)歷了識(shí)別、發(fā)現(xiàn)、表達(dá)、驗(yàn)證的過(guò)程，每一個(gè)過(guò)程都是探索的必要環(huán)節(jié)，比如“為什么要驗(yàn)證？”，因?yàn)椴煌耆珰w納得到的結(jié)論不確定，以此需要“再多找一些例子試一試”或者“嘗試找出一些反例推翻猜想”，這樣的反思行為，使得每一個(gè)活動(dòng)都“有理有據(jù)”，規(guī)定動(dòng)作變?yōu)閮?nèi)在需求。顯然，體系化的反思使得看似不相關(guān)的知識(shí)得到整體建構(gòu)，看似規(guī)定的過(guò)程價(jià)值得以內(nèi)化，為探明規(guī)律實(shí)質(zhì)保駕護(hù)航。

3.遷移立體化

遷移是在把握規(guī)律實(shí)質(zhì)過(guò)程中的一種思維演練，既考查學(xué)生對(duì)規(guī)律本質(zhì)的理解情況，也檢驗(yàn)學(xué)生運(yùn)用規(guī)律的靈活程度。首先，基于知識(shí)類型和規(guī)律本身的遷移，比如“□5×□5=3025，3□×3□=1224，□□×□□=4209”，就是“同頭尾合十”的針對(duì)性訓(xùn)練，這里特別強(qiáng)調(diào)積“24”的乘數(shù)組成、選擇和辨析，突出“尾合十”的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵是“乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相加等于10”。其次，基于知識(shí)融合和規(guī)律交叉的遷移，比如“19×11”，既可以運(yùn)用“兩位數(shù)乘11”的規(guī)律，也可以運(yùn)用“同頭尾合十”的規(guī)律。接著，基于知識(shí)翻轉(zhuǎn)和規(guī)律變式的遷移，比如“34×74，25×85，41×61”，就是“同頭尾合十”的形式變換，即為“尾同頭合十”，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)探索并發(fā)現(xiàn)：尾乘尾，占兩位，放末尾;頭乘頭，再加尾，放前面。最后，基于知識(shí)延伸和規(guī)律同構(gòu)的遷移，比如“204×206”，探索內(nèi)容從兩位數(shù)走向三位數(shù)，數(shù)位雖然變多了，情況相對(duì)復(fù)雜了，但是探索規(guī)律的方法照舊，是知識(shí)解構(gòu)后的重構(gòu)。顯然，立體化的遷移不只是簡(jiǎn)單機(jī)械地練習(xí)，還要更多地考慮探索方法的延續(xù)和內(nèi)化，考量知識(shí)的縱橫生長(zhǎng)和發(fā)展，為探明規(guī)律實(shí)質(zhì)保值增效。

可以看出，探索過(guò)程中的經(jīng)歷是一種別樣美的風(fēng)景線。教學(xué)就是要引導(dǎo)學(xué)生接觸、感知和理解規(guī)律美的存在，通過(guò)浸潤(rùn)“是什么”的合情推理，自主建構(gòu)規(guī)律美的外在形式;還要能夠激發(fā)學(xué)生反思、剖析和把握規(guī)律美的內(nèi)在，通過(guò)浸潤(rùn)“為什么”的演繹推理，共性刻畫規(guī)律美的內(nèi)在道理。顯然，合情合理的過(guò)程經(jīng)歷，能夠助推探索體驗(yàn)“看得見”“說(shuō)得通”和“帶得走”。

[本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“基于問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)的小學(xué)生數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的研究”階段性成果（課題批準(zhǔn)文號(hào)：C-b/2020/02/26）。]

（責(zé)編 金 鈴）