顏丙峰,李星秀,吳盤龍

(南京理工大學自動化學院,江蘇 南京 210094)

隨著反電子偵察、隱身攻擊等技術的不斷發(fā)展,傳統的雷達、激光等有源定位機制面臨易受電子干擾、容易暴露自身位置招致敵方攻擊等問題,存在極大的安全隱患[1]。相比于有源定位技術,無源探測定位技術具有隱蔽性強、抗干擾能力強、成本低等優(yōu)點,而雙站系統是無源定位中最常用的形式[2]。在實際戰(zhàn)爭場景中,飛行器的機動性能越來越高,來襲目標常采用機動運動方式躲避觀測器跟蹤和火炮攔截,而觀測站能夠獲得的目標特征數據卻非常有限,目標的角度信息幾乎成了唯一可靠的參數,因此,利用目標角度信息估計機動目標的運動狀態(tài),具有十分重要的軍事意義。

無跡卡爾曼濾波算法(UKF)用一系列的確定樣本逼近狀態(tài)的后驗概率密度,不需要對非線性函數進行近似,不會忽略高階項,因此，對于非線性分布的統計量有較高的計算精度。然而,UKF算法需要對協方差矩陣進行Cholesky分解,在多次迭代計算過程中積累的舍入誤差往往會導致協方差矩陣失去正定和對稱性,造成濾波算法不穩(wěn)定甚至發(fā)生異常。平方根UKF(SRUKF)算法利用協方差平方根代替協方差進行遞推運算,確保了協方差矩陣的非負定性,同時避免了非線性系統的線性化,計算量較少,實時性強,具有更快的運算速度[3]。文獻[3]和文獻[4]分別將SRUKF運用于水下目標和地面越野目標的跟蹤,驗證了其良好的跟蹤效果。此外,當濾波算法采用的運動模型與目標實際運動狀態(tài)不符合時,將會產生很大的跟蹤誤差。針對此問題,Blom提出了交互式多模型算法(IMM)[5],利用不同的模型對機動目標的運動狀態(tài)進行匹配。文獻[6]基于當前統計模型,將IMM算法和UKF算法相結合,使得算法具有對不同目標機動模式的自適應跟蹤能力,但該算法抗干擾能力不強;文獻[7]提出了基于IMM-UKF的融合濾波模型,將機載雷達和電子支援措施傳感器兩種觀測數據融合后作為濾波輸入,提高了算法的跟蹤精度。

本文將IMM算法和平方根UKF算法相結合,用于雙站無源定位跟蹤。首先，分析測向交叉定位的原理,求出系統的測量方程;接著，引入球形無跡變換,取代傳統的對稱sigma點采樣,并利用協方差平方根代替協方差進行遞推運算,減少了計算量,提高了算法的穩(wěn)定性;最后，將其與IMM算法相結合,通過仿真對比,驗證了IMM-SRUKF的優(yōu)越性。

1 雙站測向交叉定位原理

目標與觀測站的幾何關系如圖1所示,分別以兩個觀測站所在位置為原點建立坐標系。為了實現目標定位,需要求得兩觀測站之間基線AB的長度,以及基線與AT、BT兩條方位線的夾角,然后通過正弦定理,即可求得目標的斜距及位置。

圖1 目標與觀測站幾何關系圖

1)通過高精度的定位設備測得兩個觀測站的經緯高坐標(L1,B1,H1)和(L2,B2,H2),將觀測站在大地坐標系中的坐標轉換到需要的東北天坐標系中。該過程分兩步進行。

(1)

其次，將空間直角坐標系轉換到各觀測站相應的東北天坐標系(ai,bi,ci):

(2)

其中，(a1,b1,c1)表示第一個觀測站在第二個觀測站東北天坐標系下的坐標,(a2,b2,c2)表示第二個觀測站在第一個觀測站東北天坐標系下的坐標。

ψi=arccos((aicosβicosαi+bicosβisinαi+

(3)

3)由三角形的正弦定理可知,目標與各個觀測站之間的距離為

(4)

基于此距離信息以及上面求得的方位線與基線夾角,可以求得目標在兩個觀測站東北天坐標系下的定位信息為

(5)

2 IMM-SRUKF算法

純幾何定位獲取的目標定位信息,其定位精度往往不滿足系統需求,需采用濾波算法進一步處理。在本應用場景中,無論狀態(tài)方程還是觀測方程,都是非線性的。常用的非線性濾波算法中,UKF相比于EKF算法,無須計算復雜的雅克比(Jacobian)矩陣,不會存在忽略Taylor展開高階項導致的濾波發(fā)散問題;相比于PF算法,UKF不存在處理高維狀態(tài)向量系統計算量極其巨大的問題。總體上,UKF在計算量與濾波精度上綜合效果更優(yōu)。

但是UKF算法需要對協方差矩陣進行Cholesky 分解,而積累的舍入誤差經常會導致協方差矩陣失去正定和對稱性,導致濾波算法不穩(wěn)定甚至發(fā)生異常。針對此問題,可以利用協方差平方根代替協方差進行遞推運算。

2.1 測量模型

目標的測量模型如下:

Zk+1=h(Xk+1)+Vk+1

(6)

式中,Xk為n×1維的狀態(tài)向量,Zk為4×1維的觀測向量。每個觀測站分別觀測到目標的高低角和方位角信息,根據上一節(jié)中提到的目標幾何關系,可以得到雙站量測模型:

(7)

式中,βi與αi分別為兩個觀測站觀測到的高低角和方位角。假設目標在k時刻的位置信息為[xk,yk,zk],兩個觀測站的坐標分別為[a1,b1,c1]和[a2,b2,c2],則上述的四個角度可表示為:

(8)

2.2 SRUKF算法流程

1)濾波器初始化

(9)

(10)

式中，X0為目標初始狀態(tài)矢量,S0為狀態(tài)誤差協方差矩陣的初始平方根,fchol表示矩陣的Cholesky分解。

2)球形無跡變換

依據對sigma點集的選取方式不同,無跡變換的采樣方式可以分為對稱采樣和非對稱采樣。對稱采樣的sigma點需要2n+1個,n為狀態(tài)變量的維數。各個采樣點的權值如下:

(11)

式中,下標m為均值,c為協方差,上標為采樣點序號,參數λ=α2(n+κ)-n為比例參數,用于降低總的預測誤差,α用于控制采樣點在其均值附近的分布情況。對于一個n維的狀態(tài),每次運算需要計算2n+1個sigma點,計算量相對較大。

相比之下,非對稱采樣的球形無跡變換只需n+2個sigma點即可實現,且無須繁雜的調參。平方根形式的球型無跡變換sigma點計算如下:

(12)

(13)

其中，W0的取值范圍通常為[0,1),且多取值為0。由此可以看出,球形無跡變換在權值選取時無須提前設置α、β、κ等權值參數,調參更為簡單。

3)時間更新

(14)

(15)

(16)

(15)

4)量測更新

(18)

(19)

公式(19)的作用和公式(15)、(16)相同,用來計算輸出殘差的協方差平方根。

5)狀態(tài)更新

計算卡爾曼濾波增益,更新目標的狀態(tài)和相應的協方差矩陣:

(20)

2.3 IMM-SRUKF算法

在實際場景中,目標不會以單一的運動模式進行飛行,當濾波算法采用的運動模型與目標實際運動狀態(tài)不符合時,將會產生很大的跟蹤誤差。交互多模型算法為每個模型都建立相應的濾波器,各個濾波器采用并行工作方式,用模型的后驗概率對濾波器的輸入、輸出進行加權計算,可以很好地解決此問題。

圖2 IMM算法流程圖

1) 輸入交互

模型初始狀態(tài)為

(21)

模型初始協方差為

(22)

其中:

(23)

(24)

2) SRUKF濾波

根據不同的狀態(tài)模型,分別設計相應的SRUKF濾波器,然后，把交互步驟得到的k-1時刻狀態(tài)估計和協方差估計,結合k時刻量測數據,輸入濾波器中。輸出各個濾波器的狀態(tài)和協方差估計值。

3) 各模型的概率更新

首先計算各個模型的可能性。各模型k時刻的似然值Λj(k)為

(25)

其中，M表示量測模型的維數,由此可以求得各模型的校正概率μi(k):

(26)

(27)

狀態(tài)、協方差更新:

(28)

(29)

3 仿真驗證

選定一個觀測站的位置作為坐標原點建立坐標系,假設兩個觀測站的坐標分別為[0,0,0]和[500,0,0],分別采用CV、CA和CT模型構造目標運動模型,目標運動狀態(tài)隨時刻的變化如表1所示。

表1 目標各個時刻運動狀態(tài)表

采樣周期選取為1 s,目標狀態(tài)Xk為9×1維的狀態(tài)向量,包含目標在三維空間的位置、速度和加速度信息,初始的狀態(tài)通過幾何定位計算得出,作為濾波初值,輸入濾波器中,量測噪聲矩陣選取為diag([0.1mrad;0.1mrad;0.1mrad;0.1mrad]),假設各模型的初始概率值為[0.3,0.3,0.4],模型i到模型j之間的概率轉移矩陣為

(30)

不同時刻各個模型的概率如圖3所示。

圖3 各模型不同時刻模型概率曲線圖

對比圖3和表1可以發(fā)現,不同模型的主導時刻與目標的真實運動狀態(tài)基本符合,驗證了IMM-SRUKF算法模型概率預測的準確性。此外,根據圖4和圖5可以看出,在測角誤差為0.1 mrad時,目標各個方向的位置和速度估計均可達到良好的跟蹤精度。

圖4 各個方向位置跟蹤誤差

圖5 各個方向速度跟蹤誤差

此外,在其他初始條件均相同的情況下,選取三個不同的量測噪聲,將本文的IMM-SRUKF算法和IMM-EKF算法、IMM-UKF算法進行對比,觀測站測量的角度誤差分別選取為[0.1 mrad;1 mrad;5 mrad],性能指標采取相對距離誤差RRE來衡量:

(31)

對每一個場景執(zhí)行100組Monte Carlo仿真,若在跟蹤結束時刻RRE<15%,則認為本次收斂,否則認為發(fā)散。然后,對所有能收斂的樣本中跟蹤結束時刻的定位均方根誤差(RMSE)進行統計,求取其平均值,得到相對的定位精度。最終的仿真結果如表2和圖6、圖7和圖8所示。

表2 各跟蹤算法穩(wěn)定性和定位精度

圖6 角度誤差為0.1 mrad時各算法跟蹤誤差

圖7 角度誤差為1 mrad時各算法跟蹤誤差

圖8 角度誤差為5 mrad時各算法跟蹤誤差

通過對比表2和圖6～8中的數據可以發(fā)現,在觀測精度較高時,各算法均有較好的表現。如圖6所示,三種算法在測量角度誤差均為0.1 mrad時,收斂時間和精度上都取得了良好的效果。隨著觀測值精度的降低,各個算法性能的差異性開始體現,IMM-EKF算法相比于IMM-UKF算法和IMM-SRUKF算法,發(fā)散的次數明顯增多,收斂時間以及精度都相對較差,這主要緣于EKF算法在泰勒展開時高階項的忽略。隨著觀測精度的進一步降低,IMM-UKF算法由于在計算過程中的舍入誤差,經常會引起協方差矩陣的負定,導致發(fā)散和穩(wěn)定性大幅降低;而IMM-SRUKF算法采用平方根代替協方差參與遞推運算,有效地解決了此問題,提高了濾波器的穩(wěn)定性和精度。

4 結束語

本文以雙站純角度定位為應用場景,首先，從測向交叉定位原理出發(fā),分析雙站定位的幾何模型,得出系統的測量方程;然后，介紹了平方根SRUKF的算法流程,對常規(guī)UKF算法進行改進;最后，將IMM算法與平方根UKF相結合,通過仿真在收斂次數、跟蹤精度上和其他的交互多模型算法進行了比較。最終的仿真結果表明,IMM-SRUKF算法在收斂性以及定位精度上有著明顯的提高,算法有很好的穩(wěn)定性。