金 冉，陳 偉，劉國富，王春羽，蒲 紅

（貴州航天計量測試技術(shù)研究所，貴陽550009）

加速度傳感器是航空航天領(lǐng)域進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析和振動環(huán)境試驗必不可少的設(shè)備，壓電加速度傳感器由于其頻響性能優(yōu)良而被廣泛應(yīng)用。壓電加速度傳感器的靈敏度頻響性能是測量或試驗結(jié)果準(zhǔn)確的關(guān)鍵，故對其靈敏度幅頻特性進(jìn)行校準(zhǔn)具有重要的意義。

針對其靈敏度幅頻特性的校準(zhǔn)，行業(yè)內(nèi)普遍采用的方法為正弦逐點校準(zhǔn)，也稱“單頻校準(zhǔn)”[1-2]。傳感器校準(zhǔn)過程中，影響校準(zhǔn)結(jié)果準(zhǔn)確度的主要因素包括兩方面，一方面是傳感器安裝不同軸、工裝剛度低和分析儀通道性能不一致等因素引入的系統(tǒng)誤差；另一方面是激振信號疊加或A/D采樣過程混入噪聲信號，導(dǎo)致結(jié)果引入隨機誤差[1-2]。目前，一般采用“替代法”減小系統(tǒng)誤差，通過大量實踐證明，其效果顯著。在降低系統(tǒng)噪聲影響方面，硬件上采用信噪比較高的激振器和數(shù)據(jù)采集儀，軟件方面計算過程中一般應(yīng)用H1估計法或H2估計法進(jìn)一步抑制噪聲，可提高測量結(jié)果的準(zhǔn)確度[3-7]。

由于H1估計不能消除輸入噪聲的影響，H2估計不能消除輸出噪聲的影響，故當(dāng)系統(tǒng)中的噪聲變大時，H1估計法或H2估計法的噪聲抑制效果不明顯?；瑥V軍等提出Hn估計[8-9]方法，可在采樣數(shù)據(jù)等長度情況下，使功率譜估計次數(shù)變?yōu)镹(N-1)/2次，可較大程度減小噪聲對測量結(jié)果的影響，該方法主要應(yīng)用在結(jié)構(gòu)模態(tài)分析方面，但在壓電加速度傳感器校準(zhǔn)方面的應(yīng)用，尚未見文獻(xiàn)報道。

功率譜估計是Hn估計法必不可少的步驟，用間接法計算功率譜時，應(yīng)首先計算相關(guān)函數(shù)，根據(jù)定義對有限長度的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行計算時，相當(dāng)于給連續(xù)函數(shù)加三角窗，最終的結(jié)果為有偏估計；若采用式(1)計算相關(guān)函數(shù)：

即在相關(guān)函數(shù)初始段截取較少的點進(jìn)行計算，則造成存儲空間的浪費；或者采用式(2)對相關(guān)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)處理，可實現(xiàn)功率譜的無偏估計，但對于固定的N值，隨著|m|的增大，其方差性能變壞[10]。

基于以上分析，本文提出一種改進(jìn)的壓電加速度計校準(zhǔn)方法：首先用“替代法”激勵傳感器并進(jìn)行信號采集；再基于Hn估計原理，對采樣信號進(jìn)行分組，并用半長法對不同組的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行互相關(guān)計算；最后求其互功率譜，計算頻響函數(shù)，實現(xiàn)對信號中噪聲抑制，增加測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。

1 壓電加速度傳感器校準(zhǔn)系統(tǒng)及其頻響函數(shù)

采用比較法校準(zhǔn)加速度傳感器時，用“背靠背”方式進(jìn)行安裝，壓電加速度傳感器校準(zhǔn)系統(tǒng)的原理圖如圖1所示。

圖1 壓電加速度傳感器校準(zhǔn)系統(tǒng)原理圖

采用比較法校準(zhǔn)時，計算機控制動態(tài)信號分析儀（PXI數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)）輸出對應(yīng)頻率的正弦信號，功率放大器對正弦信號進(jìn)行放大，驅(qū)動標(biāo)準(zhǔn)振動臺產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)振動激勵，參考標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器與被校加速度傳感器的輸出信號由電荷放大器進(jìn)行轉(zhuǎn)換、濾波處理，PXI數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對輸入的傳感器信號進(jìn)行采樣并發(fā)送到計算機，計算機對離散采樣信號進(jìn)行計算，得到被校加速度傳感器的靈敏度。壓電加速度傳感器校準(zhǔn)系統(tǒng)的模型如圖2所示。

圖2 傳感器校準(zhǔn)系統(tǒng)模型

圖2中，I1(f)、I2(f)分別為參考標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器和被校加速度傳感器輸出信號的頻域表示；O1(f)、O2(f)分別為無噪聲影響時參考標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器和被校加速度感器所采集的并經(jīng)電荷放大器與PXI數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)處理后得到的信號（以下稱“兩組測得信號”）的頻域表示；T1(f)、T2(f)分別為所測得兩組信號的頻域表示；N1(f)、N2(f)分別為這兩組信號中引入的噪聲信號的頻域表示；H1(f)、H2(f)分別為電荷放大器兩通道的頻率響應(yīng)響函數(shù)；C1(f)、C2(f)分別為PXI數(shù)據(jù)采集分析儀兩通道的頻率響應(yīng)函數(shù)。

用比較法校準(zhǔn)，校準(zhǔn)結(jié)果同時受到系統(tǒng)誤差和隨機誤差的影響，用替代法校準(zhǔn)可減小誤差，替代法校準(zhǔn)的安裝示意圖如圖3所示。

圖3 替代法校準(zhǔn)安裝示意圖

參考圖3，先用工作標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器替代參考標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器、參考標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器替代被校加速度傳感器，測量并存儲工作標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器和參考標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器之間的傳遞函數(shù)Hr/z(f)，不考慮噪聲的影響：

再安裝被校加速度傳感器，測量并存儲被校傳感器和工作標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器之間的傳遞函數(shù)Hu/z(f)，不考慮噪聲的影響：

將式(1)除以式(2)，并進(jìn)行整理，得：

由式(3)至式(5)可知，替代法可消除由通道不一致引起的系統(tǒng)誤差，系統(tǒng)噪聲成為影響校準(zhǔn)結(jié)果準(zhǔn)確度的主要因素。

2 Hn估計方法原理

以工作壓電加速度傳感器的靈敏度計算為例進(jìn)行說明。同時對含有加性噪聲的參考加速度傳感器和工作加速度傳感器輸出信號進(jìn)行N(N≥2)次采樣，單次采樣時關(guān)系式(6)成立。

式中：T1i(f)、T2i(f)分別為第i組工作加速度傳感器和參考加速度傳感器輸出采樣數(shù)據(jù)的離散傅里葉變換；S1i(f)為工作加速度度感器的第i組靈敏度頻響函數(shù)，S2(f)為參考標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器的靈敏度函數(shù)。

將分子與分母同時乘以T2j(f)(j=i+1，i+2，…，N)的共軛再求比值，得到：

式中：

由于噪聲信號的各態(tài)歷經(jīng)性，故不同時刻噪聲信號的互功率譜、噪聲信號與系統(tǒng)輸出信號的互功率譜為零，故有：

即

由式(10)和式(11)可見，應(yīng)用上述Hn估計方法，可使S1i(f)的計算結(jié)果不受噪聲的影響。同理，結(jié)合式(5)，可計算出Su(f)，其計算結(jié)果不受噪聲的影響。

3 功率譜計算方法

由式(7)至式(10)可知，互功率譜的計算是整個計算過程中必不可少的環(huán)節(jié)。根據(jù)維納-辛欽定理，寬平穩(wěn)隨機信號的功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。本文運用“半長法”計算正弦信號的相關(guān)函數(shù)，再運用FFT 計算其功率譜。采用“半長法”計算互功率譜，設(shè)從同一正弦信號的不同時刻獲得的兩段離散采樣序列為x(n)、y(n)，采樣序列的采樣頻率相同且長度均為M，其自相關(guān)函數(shù)的計算公式為

式中：m=0，2，…，M/2-1。從式(12)可知，計算相關(guān)函數(shù)時，取x(n)的一半，在y(n)上做滑動計算，計算單點Rxy(m)時所用的乘法次數(shù)均為M/2，加法次數(shù)均為M/2-1，計算結(jié)果為無偏估計。

對幅值為5的正弦信號，加信噪比為10 dB的高斯白噪聲，將加噪信號進(jìn)行離散化并截取10 000個離散數(shù)據(jù)，并將其分為10組，用“半長法”計算其中任意兩組離散數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)，計算結(jié)果的波形如圖4所示。

圖4 基于“半長法”計算加噪正弦信號的自相關(guān)函數(shù)波形

從圖中可知，根據(jù)“半長法”得到的自相關(guān)函數(shù)波形平滑且無衰減，達(dá)到了抑制噪聲的目的，同時保證了波形的完整性，便于對其進(jìn)行功率譜分析。

用上述10組離散數(shù)據(jù)計算仿真信號的功率譜密度。方法1：先直接對每組數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT 計算，再對計算結(jié)果進(jìn)行平方運算；方法2：先采用式(2)計算每組數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)，再對離散結(jié)果進(jìn)行FFT 計算；方法3：先采用“半長法”計算每組信號的自相關(guān)函數(shù)，再對離散結(jié)果進(jìn)行FFT 計算。分別計算根據(jù)上述3種方法求得的10組功率譜結(jié)果的方差，結(jié)果如表1所示。

表1 根據(jù)3種方法計算的功率譜的方差

從表1可知，在不同噪聲水平下，根據(jù)“半長法”計算得到的互功率譜結(jié)果的方差較小，約為前兩種方法的50%，說明“半長法”抑制平穩(wěn)信號的噪聲效果良好。

4 改進(jìn)校準(zhǔn)方法的實現(xiàn)步驟

Hn估計利用噪聲的互功率譜為零的性質(zhì)，通過對多組數(shù)據(jù)求互功率譜，再計算其算術(shù)平均值，可有效地抑制噪聲對計算結(jié)果的影響，提高加速度傳感器校準(zhǔn)結(jié)果的準(zhǔn)確度。實現(xiàn)基于Hn估計的改進(jìn)壓電加速度傳感器校準(zhǔn)方法的具體步驟為：

（1）數(shù)據(jù)采集并分組。對工作標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器和參考標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器的輸出信號進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，并進(jìn)行分組，保持組數(shù)和單組數(shù)據(jù)長度相同，分別記為tri(m)、tui(m)(i=1，2，…，L；m=1，2，…M)；

（2）相關(guān)函數(shù)計算。對L組tri(m)和tui(m)進(jìn)行互相關(guān)計算并求算術(shù)平均值，再對L組tui(m)求互相關(guān)計算并求平均值，計算公式為

（3）功率譜計算。對相關(guān)函數(shù)進(jìn)行FFT 分析，計算出L(L+1)/2組工作標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器和參考標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器的輸出信號在對應(yīng)頻率點的功率譜密度；

（4）工作標(biāo)準(zhǔn)加速度傳感器靈敏度計算。根據(jù)式(6)，計算L(L+1)/2組工作標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器的靈敏度，并求算術(shù)平均值；

（5）改變激振頻率，重復(fù)步驟（1）到步驟（4），并對工作標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器在不同頻率點處的靈敏度值進(jìn)行存儲；

（6）用被校壓電加速度傳感器替換參考標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器，在相同條件下進(jìn)行激振，并對傳感器的輸出信號進(jìn)行處理，數(shù)據(jù)采集、相關(guān)函數(shù)計算、功率譜計、被校加速度傳感器靈敏度計算等參照步驟（2）到步驟（4）進(jìn)行。

首次校準(zhǔn)時，先執(zhí)行步驟（1）到步驟（4），用參考標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器對工作標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器的靈敏度進(jìn)行校準(zhǔn)并存儲，后續(xù)校準(zhǔn)時，若系統(tǒng)的狀態(tài)未發(fā)生改變，可直接執(zhí)行步驟（5）到步驟（8），使用測得的工作標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器的靈敏度對被校壓電加速度傳感器的靈敏度頻響函數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)。

5 實驗分析

為了驗證本文算法的準(zhǔn)確性與實用性，設(shè)計實驗計算被校壓電加速度傳感器的靈敏度，并計算其標(biāo)準(zhǔn)差。搭建的實驗系統(tǒng)中，傳感器部分包括兩個8305型傳感器和一個4368型傳感器，配套2692型電荷放大器；振動激勵裝置包括4809型激振器和2706型功率放大器；信號發(fā)生器為33220A型函數(shù)發(fā)生器，數(shù)據(jù)采集分析儀由1065型PXIe 機箱和4497型高速數(shù)據(jù)采集板卡組成。由Labview軟件產(chǎn)生加有白噪聲的正弦離散數(shù)據(jù)，由控制函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生激勵信號，通過功率放大器驅(qū)動激振器產(chǎn)生振動激勵。搭建的校準(zhǔn)實驗系統(tǒng)如圖5所示。校準(zhǔn)過程中，兩個8305型傳感器與被校4368型傳感器安裝方法如圖6所示。

以兩個8305型壓電加速度傳感器中的一個作為工作標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器，另一個作為參考標(biāo)準(zhǔn)壓電加速度傳感器，以4368型壓電加速度傳感器作為被校壓電加速度傳感器，分別以加入信噪比3 dB 和10 dB 高斯白噪聲的正弦信號為激勵信號，信號的主頻率分別為5 Hz、20 Hz、80 Hz、160 Hz、315 Hz、630 Hz、1 280 Hz和2 000 Hz，在上述8個頻率正弦激勵條件下，按照替代法的操作步驟，用H1估計法、H2估計法和Hn估計法分別測量4368型壓電加速度傳感器的靈敏度，進(jìn)行10次測量并計算平均值，計算結(jié)果如表2所示。

圖5 校準(zhǔn)實驗系統(tǒng)

圖6 傳感器安裝圖

表2中，S對應(yīng)的靈敏度值為在中頻標(biāo)準(zhǔn)振動系統(tǒng)上測量得到的結(jié)果；S-3H1、S-3H2和S-3Hn分別為3 dB信噪比條件下根據(jù)H1估計法、H2估計法和Hn估計法計算得到的靈敏度值；S-10H1、S-10H2和S-10Hn分別為10 dB 信噪比條件下根據(jù)H1估計法、H2估計法和Hn估計法計算得到的靈敏度值。

以將在標(biāo)準(zhǔn)振動臺上測量所得的10組數(shù)據(jù)進(jìn)行平均得到的結(jié)果為真實值，以3 dB噪聲條件下和10 dB 噪聲條件下根據(jù)Hn估計法、H1估計法和H2估計法進(jìn)行10次計算所得結(jié)果的平均值為實測值，求相對誤差，相對誤差的絕對值如圖7所示。

分別計算在3 dB噪聲條件下和10 dB噪聲條件下根據(jù)Hn估計法、H1估計法和H2估計法進(jìn)行10次計算所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，計算結(jié)果如圖8所示。

由圖7可知，在同一噪聲水平下，在對應(yīng)頻率點處，基于Hn估計法所得計算結(jié)果的相對誤差絕對值整體上比基于H1估計法和H2估計法所得結(jié)果?。唤Y(jié)合圖8可知，在同一噪聲水平下，基于Hn估計法計算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差約為基于H1估計法和H2估計法計算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差的1/10，即在單次測量條件下，Hn估計Hn估計、H1估計和H2估計所得結(jié)果的相對誤差法對噪聲的抑制效果較H1估計法和H2估計法好。計算結(jié)果證明了本文計算方法的有效性。

圖7 在各噪聲條件下根據(jù)

圖8 在各噪聲條件下根據(jù)Hn估計、H1估計和H2估計結(jié)果所得的標(biāo)準(zhǔn)差

表2 不同噪聲水平下被校壓電加速度傳感器的靈敏度

6 結(jié)語

本文提出了一種壓電加速度傳感器改進(jìn)校準(zhǔn)方法，并進(jìn)行了實驗驗證，結(jié)果證明，相較H1估計方法和H2估計方法，噪聲對根據(jù)該方法所得計算結(jié)果的影響更小，它提高了壓電加速度傳感器校準(zhǔn)結(jié)果的準(zhǔn)確度。在分析替代法校準(zhǔn)中噪聲對計算結(jié)果影響的基礎(chǔ)上，介紹了Hn估計方法抑制信號噪聲的原理、利用“半長法”計算相關(guān)函數(shù)以及功率譜的實現(xiàn)步驟，最后對算法進(jìn)行仿真實驗對比，仿真和實驗結(jié)果證明了所提算法的有效性。