曹深深，畢德學(xué)，鄒紹昕

(1. 天津科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222；2. 中國(guó)人民解放軍32182 部隊(duì)，北京 100042)

3D 打印是一種快速成型的技術(shù)，是區(qū)別于傳統(tǒng)減材制造的一種加工方法[1].它的出現(xiàn)使得制造模式由大批量的固化生產(chǎn)轉(zhuǎn)向小規(guī)模的個(gè)性化生產(chǎn)，滿足了人們?cè)诩壹纯赏瓿砂l(fā)明、創(chuàng)新和低成本的個(gè)性化生產(chǎn)等一系列過(guò)程的需求[2].從桌面級(jí)3D 打印機(jī)用戶使用層面的角度分析，高打印精度的3D 打印機(jī)造價(jià)較高，很難真正普及使用；成本較低的3D 打印機(jī)打印精度又無(wú)法滿足需求[3].因此，如何在節(jié)約成本的基礎(chǔ)上有效提高定位精度的問(wèn)題成為約束3D 打印機(jī)普及的重要障礙.目前國(guó)內(nèi)外也提出一些提高打印機(jī)精度的方法.羅德島大學(xué)的Sollmann[4]通過(guò)建立動(dòng)力學(xué)模型，用誤差參數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償?shù)姆椒ㄌ岣吡送綆Фㄎ粰C(jī)構(gòu)的精度；河北工業(yè)大學(xué)的丁承君等[5]引入了布蘭森漢姆(Bresenham)直線算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)H-Bot機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差修正；燕山大學(xué)的李江濱[6]通過(guò)建立3D 打印機(jī)的誤差參數(shù)模型，采用誤差參數(shù)辨識(shí)和補(bǔ)償?shù)姆椒ㄌ岣吡四┒藞?zhí)行器的位置精度.

本文提出對(duì)3D 打印機(jī)的單軸進(jìn)行標(biāo)定，該方法在小型通用自組打印機(jī)的硬件條件下，可以將打印機(jī)定位誤差降低到原來(lái)的1/10.

1 運(yùn)動(dòng)模型分析與簡(jiǎn)化

為了研究提高H-Bot 型3D 打印機(jī)的定位精度的方法，需了解打印機(jī)的傳動(dòng)結(jié)構(gòu)，并找出影響運(yùn)動(dòng)誤差的因素.在H-Bot 型3D 打印機(jī)系統(tǒng)中，xy 方向的執(zhí)行器為同步帶牽引的H-Bot 結(jié)構(gòu)，可視為由多段彈性體串聯(lián)而成，其原模型如圖1(a)所示.打印機(jī)運(yùn)動(dòng)一般受電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩、運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的慣性以及系統(tǒng)內(nèi)部的非線性摩擦等因素的影響.假定滑塊質(zhì)量mcart，滑橋質(zhì)量mbridge，滑輪質(zhì)量mp，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Jp，同步帶的質(zhì)量可忽略不計(jì).摩擦力主要是直線軸承與光軸的滑動(dòng)摩擦，且其模型為非線性模型，除黏性摩擦還有庫(kù)侖摩擦.摩擦力的模型為

式中：f 表示黏性摩擦因數(shù)；v 表示運(yùn)動(dòng)速度；cF 表示庫(kù)侖摩擦力.

假設(shè)滑塊與滑橋之間的黏性摩擦因數(shù)為 bcart、庫(kù)侖摩擦力為 Fccart，滑橋與固定滑軌之間的黏性摩擦因數(shù)為 bbridge、庫(kù)侖摩擦力為 Fcbridge.

打印機(jī)在執(zhí)行復(fù)雜輪廓時(shí)，電機(jī)需要在短距離高速運(yùn)動(dòng)條件下頻繁啟停、換向，采用指數(shù)型加減速控制.假設(shè)步進(jìn)電機(jī)阻力矩為 Tt=Ktω，加速轉(zhuǎn)矩為J，負(fù)載運(yùn)動(dòng)方程為

式中：0T 是電磁轉(zhuǎn)矩；J 是負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Kt是轉(zhuǎn)矩常數(shù)；ω是電機(jī)角速度.

拉格朗日方程對(duì)于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題十分方便[7-8]，拉格朗日方程為

式中：L 是拉格朗日函數(shù).

如圖1(a)所示，滑輪在一定程度上被認(rèn)為是可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的，將1φ—8φ和x、y 分別被定義為角量廣義坐標(biāo)和線量廣義坐標(biāo)，即10 個(gè)自由度.廣義力的表達(dá)式為

式中： Wδ為系統(tǒng)中非保守力的虛功；δqj為沿廣義坐標(biāo)方向的虛位移；Qj為每個(gè)自由度的廣義力.

對(duì)于微控制器來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的10 自由度傳動(dòng)計(jì)算量較大，需盡量簡(jiǎn)化模型，減少控制器運(yùn)算時(shí)間.通過(guò)對(duì)模型中的變量進(jìn)行復(fù)合，將除了滑橋上的滑輪之外的所有滑輪的慣性復(fù)合到電機(jī)滑輪上，此時(shí)JMi=2Jp( i=1,2). 只有當(dāng)滑塊沿x 方向有位移時(shí)，才考慮滑輪的慣性，并將其復(fù)合到滑塊的質(zhì)量中去[9].此時(shí)新的滑塊質(zhì)量為

式中：mcart20是未簡(jiǎn)化的原模型中滑塊的質(zhì)量；mcart8是簡(jiǎn)化后的簡(jiǎn)化模型中滑塊的質(zhì)量.

圖1 H-Bot 系統(tǒng)廣義坐標(biāo)示意圖Fig. 1 Generalized coordinate diagram of H-Bot system

簡(jiǎn)化后，除電機(jī)滑輪外，其余滑輪均視為理想滑輪，系統(tǒng)中的廣義坐標(biāo)減少為4 個(gè)，即線量廣義坐標(biāo)x、y 以及角量廣義坐標(biāo)1φ、2φ.對(duì)廣義坐標(biāo)簡(jiǎn)化后，同步帶的彈性系數(shù)也相應(yīng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，將同步帶劃分為3 個(gè)部分 kL、kR、kU，每一部分由多段彈性體串聯(lián)而成，如圖1(b)所示.彈性系數(shù)表示為

通過(guò)以上簡(jiǎn)化，求得運(yùn)動(dòng)方程為

2 動(dòng)力學(xué)仿真模型搭建

機(jī)械系統(tǒng)是連續(xù)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，只能通過(guò)微分方程來(lái)描述[10]，對(duì)系統(tǒng)的數(shù)字仿真需要將描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程通過(guò)泰勒展開(kāi)式進(jìn)行離散化，可借助MATLAB 中的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模和仿真的集成環(huán)境Simulink 來(lái)實(shí)現(xiàn).根據(jù)簡(jiǎn)化后H-Bot 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程式(6)—(10)，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型，如圖2 所示.模型中的 1x — x8 分別表示

圖2 Simulink 仿真模型Fig. 2 Simulink model

3 初始化模型參數(shù)估計(jì)

在仿真模型中，T0、Kt、JM、mcart、kL、kR、kU、bcart、bbridge、Fccart、Fcbridge等參數(shù)無(wú)法通過(guò)測(cè)量等方式精確獲取，又對(duì)仿真結(jié)果產(chǎn)生不同程度的影響，則將這些參數(shù)視為一系列的影響因子，通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí).通過(guò)基恩士激光位移傳感器以0.01 s 的間隔采集平臺(tái)在y 方向分別用0.75 s 和0.25 s 運(yùn)動(dòng)8 mm 兩組實(shí)驗(yàn)，其運(yùn)動(dòng)實(shí)際距離分別為 7.867 mm 和7.979 mm. 繪制運(yùn)動(dòng)曲線圖如圖3 所示.

圖3 y 方向運(yùn)動(dòng)位移曲線圖Fig. 3 y direction motion displacement curve

根據(jù)圖3 的實(shí)際運(yùn)動(dòng)位移曲線，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)確定每個(gè)參數(shù)基本的數(shù)量級(jí)，然后通過(guò)重復(fù)實(shí)驗(yàn)對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)值見(jiàn)表1.

表1 動(dòng)力學(xué)參數(shù)估計(jì)Tab. 1 Kinetic parameter estimation

按照表1 中參數(shù)設(shè)置進(jìn)行仿真運(yùn)動(dòng)8 mm 實(shí)驗(yàn)，并將仿真曲線與傳感器測(cè)得的實(shí)際運(yùn)動(dòng)位移曲線比較，結(jié)果如圖4 所示.仿真結(jié)果與實(shí)際情況偏差較大，需對(duì)仿真中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)和優(yōu)化.

圖4 y 方向運(yùn)動(dòng)位移和仿真位移曲線圖Fig. 4 y direction motion displacement and simulated displacement curve

4 參數(shù)辨識(shí)與優(yōu)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)是使仿真結(jié)果與真實(shí)運(yùn)動(dòng)距離的差值s 盡可能小作為實(shí)驗(yàn)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).在y 方向的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)控制變量法對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行顯著性分析，以表1 中的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為基準(zhǔn)，每個(gè)參數(shù)范圍分別取估計(jì)基準(zhǔn)的0.5 倍和2 倍.實(shí)驗(yàn)時(shí)，在表1 數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)之上，每次控制一個(gè)變量變化，所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2.

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可得：kL、kR、kU3 個(gè)參數(shù)在其3 個(gè)水平下對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著，其對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響忽略不計(jì)，分別取kL＝1×105N/m、kR＝1×105N/m、kU＝1×105N/m.其余參數(shù)均對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較顯著影響，需通過(guò)正交實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)據(jù)組合.

表2 控制變量實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab. 2 Control variable experiment results

通過(guò) Minitab 軟件的田口設(shè)計(jì)功能獲取該五因素三水平的正交實(shí)驗(yàn)表，并設(shè)置正交實(shí)驗(yàn)中各個(gè)參數(shù)的水平取值范圍，每個(gè)參數(shù)取3 個(gè)水平值，見(jiàn)表3，正交實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表4.

表3 正交實(shí)驗(yàn)參數(shù)水平值Tab. 3 Orthogonal test parameter level

評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為測(cè)量值與仿真值之間的差值越小，結(jié)果越優(yōu).觀察表 4 中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，最優(yōu)組合為a2b2c2d1e1，按照最優(yōu)組合對(duì)應(yīng)的參數(shù)代入仿真模型之中，繪制仿真曲線與實(shí)際運(yùn)動(dòng)曲線，結(jié)果如圖5 所示，擬合效果較好.

表4 正交實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab. 4 Orthogonal experiment results

圖5 正交實(shí)驗(yàn)擬合曲線Fig. 5 Orthogonal test fitting curve

對(duì)mcart、bcart、Fcart參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)需進(jìn)行x 方向的運(yùn)動(dòng)和仿真優(yōu)化實(shí)驗(yàn).然后按前文中方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)和優(yōu)化實(shí)驗(yàn).辨識(shí)后的動(dòng)力學(xué)仿真模型參數(shù)見(jiàn)表5.為確保所辨識(shí)的參數(shù)的有效性，進(jìn)行驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，將采集平臺(tái)和仿真中的運(yùn)行時(shí)間都改為0.8 s，得到驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的擬合效果曲線如圖6 所示.由圖6 可知：驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的擬合效果十分理想，證明了所辨識(shí)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)的合理性.根據(jù)這組參數(shù)進(jìn)行仿真，能夠較好地描述出當(dāng)前速度下3D 打印頭的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況.

表5 通過(guò)實(shí)驗(yàn)辨識(shí)所得動(dòng)力學(xué)仿真模型參數(shù)Tab. 5 Identification of the obtained dynamic simulation model parameters by experiment

圖6 驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的擬合曲線圖Fig. 6 Verification curve of the verification test

5 誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

采用基于微分變換的思想，通過(guò)將運(yùn)動(dòng)參數(shù)名義值和真實(shí)值之間的微小偏差補(bǔ)償給控制器的名義參數(shù)，從而達(dá)到提高定位精度的目的[11].其誤差補(bǔ)償原理如圖7 所示，數(shù)學(xué)模型可表示為

圖7 微分變換原理Fig. 7 Principle of differential transformation

按照差分思想進(jìn)行多次補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中設(shè)置相同的運(yùn)動(dòng)速度，測(cè)量在不同的運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)的位移，表6 為進(jìn)行10 次實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，通過(guò)補(bǔ)償后，定位誤差有了明顯的減小，10 次實(shí)驗(yàn)的誤差均值由0.064 mm降為0.005 mm，誤差補(bǔ)償起到了顯著效果.

表6 誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab. 6 Error compensation experiment results

6 結(jié) 語(yǔ)

本文在充分考慮系統(tǒng)中慣性、摩擦以及彈性形變等可能導(dǎo)致定位誤差的因素的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通過(guò)設(shè)計(jì)正交實(shí)驗(yàn)，對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)和優(yōu)化，使仿真結(jié)果能夠準(zhǔn)確貼合實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況，設(shè)計(jì)了單軸直線運(yùn)動(dòng)的誤差補(bǔ)償?shù)乃惴ú⑦M(jìn)行誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，證明了通過(guò)對(duì)3D 打印機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定和誤差補(bǔ)償可提高其定位精度的有效性和可行性.