毛衛(wèi)紅 張正娣 張?zhí)K珍

(江蘇大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

引言

多時(shí)間尺度問題[1-2]作為非線性科學(xué)的重要組成部分廣泛存在于物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域中.例如在生物細(xì)胞的遺傳中,由較快的新陳代謝過程與相對(duì)較慢的遺傳變化過程的結(jié)合導(dǎo)致的快慢耦合[3];在催化反應(yīng)中,不同量級(jí)反應(yīng)速率之間的催化與自催化過程[4];在神經(jīng)動(dòng)力學(xué)中,靜息態(tài)和激發(fā)態(tài)交替出現(xiàn)的簇放電模式[5]等.相比于單一時(shí)間尺度的系統(tǒng),多時(shí)間尺度耦合系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出更為特殊的動(dòng)力學(xué)行為,例如周期振蕩中通常表現(xiàn)出的大幅振蕩和微幅振蕩的復(fù)合振蕩[6-7].大幅振蕩和微幅振蕩可以分別看作快慢系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)(spiking state)和沉寂態(tài)(quiescent state).這種連接快慢兩個(gè)過程的行為也稱為簇發(fā)(bursting)[8-10],通常是由分岔產(chǎn)生的[11-12],可以得到“點(diǎn)點(diǎn)”型簇發(fā)振蕩、“點(diǎn)環(huán)”型簇發(fā)振蕩等.這類具有特殊結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)往往表現(xiàn)為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,例如混沌簇發(fā)振蕩[13],吸引著國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,尤其是在Izhikevich 等[14-16]引入Rinzel 的快慢分析理論后,對(duì)于含多時(shí)間尺度的非線性動(dòng)力系統(tǒng),許多學(xué)者從數(shù)值仿真、理論分析、數(shù)值實(shí)驗(yàn)等方面進(jìn)行了深入的探索[17-20].

非光滑動(dòng)力系統(tǒng)具有廣泛的工程背景,涉及到科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域.不同于光滑系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象,非光滑系統(tǒng)不僅可以產(chǎn)生光滑系統(tǒng)中的各種常規(guī)分岔,而且還可能發(fā)生一些光滑系統(tǒng)所不具備的特有分岔,統(tǒng)稱為非光滑分岔[21].例如,非光滑滑動(dòng)分岔、擦邊分岔、角點(diǎn)碰撞分岔等[22-25],導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜的振蕩行為,對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生重要的影響,從而提供了更多通向混沌的路徑,并且其研究方法與光滑系統(tǒng)也不盡相同[26-27],是非光滑動(dòng)力學(xué)研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn).

目前,對(duì)含多時(shí)間尺度非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究主要針對(duì)只含有一個(gè)慢變過程的快慢兩尺度系統(tǒng)[28-29],對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上慢變過程的、含3 個(gè)及以上時(shí)間尺度的非光滑系統(tǒng),關(guān)于其沉寂態(tài)與激發(fā)態(tài)相互轉(zhuǎn)遷而導(dǎo)致簇發(fā)振蕩的非光滑分岔模式的研究相對(duì)較少,而根據(jù)實(shí)際問題建立的動(dòng)力系統(tǒng)通常含有不止兩尺度.

本文工作如下:基于典型的非光滑蔡氏電路,通過選取適當(dāng)?shù)膮?shù)值,建立了一個(gè)含三時(shí)間尺度的四維分段線性電路系統(tǒng)模型.通過重新劃分系統(tǒng)的快慢子系統(tǒng),將三時(shí)間尺度耦合問題轉(zhuǎn)化為兩時(shí)間尺度耦合問題.分析了快子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,給出了不同參數(shù)下系統(tǒng)存在的兩種典型的簇發(fā)振蕩行為.結(jié)合轉(zhuǎn)換相圖,利用快慢分析法研究了系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象以及三尺度之間的相互作用機(jī)制,探究了非常規(guī)分岔在多時(shí)間尺度效應(yīng)下對(duì)系統(tǒng)簇發(fā)振蕩行為的影響機(jī)理.

1 數(shù)學(xué)模型

蔡氏電路作為一種簡(jiǎn)單的非線性電子電路,其制作的容易程度使它成為當(dāng)前眾多混沌電路中最具代表性的一種,成為許多研究的對(duì)象,并廣泛被人們?cè)谖墨I(xiàn)中引用[30-31].基于廣義蔡氏電路模型,本文建立了一個(gè)電路系統(tǒng)(圖1),其中包含兩個(gè)電感L1和L2,兩個(gè)電容C1和C2以及一個(gè)分段線性的非線性電阻RG,同時(shí)并聯(lián)一個(gè)周期變化的電流源iG,其相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型可以表示為

圖1 電路原理圖Fig.1 Schematic circuit diagram

其中,非線性電阻的伏安特性為G(VC2)=P2VC2+0.5(P1?P2)(|VC2+E0|?|VC2?E0|),周期變化的電流源特性為iG=IGsin(ωt).引入變換t=R2C1τ,x=R2iL1,y=R2iL2,u=VC1,v=VC2,則式(1)可表示為如下無量綱形式

固定參數(shù)量級(jí)為α ≡O(shè)(10?4),? ≡O(shè)(10?2).由于系統(tǒng)的固有頻率?N(可由在α=0 且A=0 時(shí)系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)特征值的虛部近似估計(jì))的量級(jí)一般為1,因此,此時(shí)系統(tǒng)中存在明顯的3 個(gè)尺度,即T1≡O(shè)(1),T2≡O(shè)(10?2),T3≡O(shè)(10?4).如果將外激勵(lì)項(xiàng)Asin(?τ)視為參數(shù)w,則系統(tǒng)(2)分別對(duì)應(yīng)著3 個(gè)子系統(tǒng),表示為

將中間尺度變量所對(duì)應(yīng)的子系統(tǒng)(4)與快尺度變量對(duì)應(yīng)的子系統(tǒng)(3)合并為一個(gè)非自治系統(tǒng),表示為

于是將原來的三時(shí)間尺度耦合系統(tǒng)(2)重新劃分為快子系統(tǒng)(6)與慢子系統(tǒng)(5),從而可以將三時(shí)間尺度耦合問題(3)～(5)轉(zhuǎn)化為兩時(shí)間尺度耦合問題(5)與(6)來分析討論.

2 快子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

由非線性電阻RG的分段線性的特性,快子系統(tǒng)(6)中存在兩個(gè)非光滑分界面,其中,H±(v)=v?(±1),從而其狀態(tài)空間被Σ±1劃分為3 個(gè)不同的光滑區(qū)域,表示為

分別對(duì)應(yīng)3 個(gè)非自治的光滑子系統(tǒng)

其向量場(chǎng)依次記為F1,F2,F3.快慢耦合系統(tǒng)(2)的慢子流形,即系統(tǒng)(6)的平衡態(tài),這里稱之為名義平衡軌道(nominal equilibrium orbits),記為NEO,其解析形式可設(shè)為

其中,Y0,U0,V0,Ai,θi(i=1,2,3)是常數(shù),可以通過把(10)分別代入系統(tǒng)(7)～(9)中得到.例如,對(duì)區(qū)域D3中的名義平衡軌道NEO?有

從名義平衡軌道的解析形式(10)可以發(fā)現(xiàn),外激勵(lì)的作用是對(duì)無激勵(lì)情形下對(duì)應(yīng)的線性自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)位置的擾動(dòng),因此,名義平衡軌道可以看作是由一系列周期為2π/? 的極限環(huán)組成的平衡態(tài).由于名義平衡軌道在非光滑分界面所劃分的子區(qū)域內(nèi)滿足處處等價(jià),所以對(duì)名義平衡軌道的穩(wěn)定性的討論可以轉(zhuǎn)化為對(duì)名義平衡軌道上一個(gè)點(diǎn)的穩(wěn)定性的討論.根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)稱性,D1與D3中的名義平衡軌道NEO+,NEO?具有相同的特性,統(tǒng)一記作NEO±,與之相應(yīng)的特征方程為

其中,n1=δb+γ,n2=γ ?δγ+γδb,n3=γδb.由Routh-Hurwitz 判別準(zhǔn)則知,當(dāng)參數(shù)滿足條件n1>0,n3>0,n1n2?n3>0 時(shí),NEO±是漸近穩(wěn)定的.隨著參數(shù)的變化,NEO±可能存在以下兩條失穩(wěn)路徑:

(1)FB±:=n3=0(n1>0,n2>0),此時(shí),特征方程(11)有零單根出現(xiàn),系統(tǒng)可能產(chǎn)生fold 分岔;

(2)HB±:=n1n2?n3=0(n1>0,n2>0,n3>0),此時(shí),特征方程(11)有共軛純虛根出現(xiàn),系統(tǒng)可能產(chǎn)生Hopf 分岔.

類似可以討論區(qū)域D2中NEO0的穩(wěn)定性.

固定部分參數(shù)如下:α=0.000 1,β=1.2,a=?3.0,b=0.6,A=0.5,?=0.01.圖2 給出了快子系統(tǒng)(6)在(γ,δ)參數(shù)平面上的γ >0,δ >0 且慢變量x=0 時(shí)的雙參分岔情況.圖中曲線HB反映了名義平衡軌道NEO±的一對(duì)復(fù)特征值通過穿越純虛根失穩(wěn)的臨界情形.取γ=0.6,表1 給出了參數(shù)δ 分別取1.02,1.1456 和1.1584 時(shí)非光滑分界面兩側(cè)的快子系統(tǒng)的名義平衡軌道NEO±所對(duì)應(yīng)的特征值.

圖2 快子系統(tǒng)(6)在(γ,δ)平面上的雙參分岔圖Fig.2 Two-parameter bifurcation diagram of fast subsystem(6)on(γ,δ)plane

表1 快子系統(tǒng)的名義平衡軌道對(duì)應(yīng)的特征值Table 1 Eigenvalues of the NEOs of the fast subsystems

結(jié)合表1 知,圖2 中分岔曲線HB將參數(shù)平面分為兩部分:當(dāng)參數(shù)在曲線HB下方的區(qū)域I 中取值時(shí),特征方程(11)的所有的根具有負(fù)實(shí)部,意味著名義平衡軌道NEO±為穩(wěn)定的,即快子系統(tǒng)(6)在區(qū)域D1,3中存在兩個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán);當(dāng)參數(shù)從區(qū)域I 穿越曲線HB進(jìn)入?yún)^(qū)域II 后,名義平衡軌道NEO±失穩(wěn),意味著快子系統(tǒng)(6)的原來的兩個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)將轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)應(yīng)的兩個(gè)概周期運(yùn)動(dòng),如圖3 所示.

圖3 (a)區(qū)域D3中的概周期解;(b)龐加萊截面圖Fig.3 (a)Quasi-periodic solution in D3;(b)Poincare section

隨著慢變量x的連續(xù)變化,無論是區(qū)域I 中的名義平衡軌道NEO±所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定極限環(huán),還是區(qū)域II 中出現(xiàn)的概周期運(yùn)動(dòng),都可能會(huì)接觸到非光滑分界面Σ±并出現(xiàn)非光滑分岔,進(jìn)而影響三時(shí)間尺度耦合系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)演化機(jī)制.接下來,將通過具體的數(shù)值,進(jìn)一步探討分析非光滑分岔對(duì)簇發(fā)振蕩的吸引子結(jié)構(gòu)以及轉(zhuǎn)遷機(jī)制的影響.

3 簇發(fā)振蕩的動(dòng)力學(xué)演化過程及機(jī)制分析

3.1 簇發(fā)振蕩

圖4 和圖5 分別給出了當(dāng)參數(shù)δ=1.02,δ=1.158 4 時(shí)系統(tǒng)(2)的簇發(fā)振蕩的相圖及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖.

圖4 δ=1.02 時(shí)的周期簇發(fā)振蕩Fig.4 Periodic bursting oscillation for δ=1.02

圖5 δ=1.158 4 時(shí)的混沌簇發(fā)振蕩Fig.5 Chaotic bursting oscillation for δ=1.158 4

圖5 δ=1.158 4 時(shí)的混沌簇發(fā)振蕩(續(xù))Fig.5 Chaotic bursting oscillation for δ=1.158 4(continued)

當(dāng)參數(shù)δ=1.02 時(shí),從(y,v)平面中的相圖4(a)中可知,整個(gè)周期運(yùn)動(dòng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,運(yùn)動(dòng)方向如圖中紅色箭頭所示.根據(jù)時(shí)間歷程圖4(b)可計(jì)算得其頻率近似為0.000 270 9.接下來詳細(xì)闡述此時(shí)的三時(shí)間尺度下周期簇發(fā)振蕩的吸引子結(jié)構(gòu).

不失一般性,設(shè)系統(tǒng)軌線從非光滑分界面Σ+1上的點(diǎn)A1出發(fā).隨著時(shí)間的變化,軌線進(jìn)入光滑區(qū)域D2中.之后,迅速向非光滑分界面Σ?1運(yùn)動(dòng)并且在點(diǎn)A2穿過Σ?1而進(jìn)入光滑區(qū)域D3中.此后,軌線在區(qū)域D3中首先呈現(xiàn)明顯的密集的螺旋形振蕩行為.根據(jù)時(shí)間歷程圖可以發(fā)現(xiàn),軌線的振幅是逐漸減小的.經(jīng)計(jì)算,軌線的振蕩頻率近似為0.562 5.隨著時(shí)間繼續(xù)延長,軌線逐漸由密集的振蕩形式轉(zhuǎn)為舒緩的振蕩形式,且振幅基本保持不變,對(duì)應(yīng)的近似振蕩頻率為0.01,直到軌線抵達(dá)非光滑分界面Σ?1上的點(diǎn)A3.之后,軌線在的運(yùn)動(dòng)過程中,將重復(fù)軌線在中的相似運(yùn)動(dòng)過程,并最終返回出發(fā)點(diǎn)A1,完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng).從上述結(jié)果發(fā)現(xiàn),周期簇發(fā)振蕩的近似頻率0.000 270 9 與最慢的時(shí)間尺度T3≡O(shè)(10?4)基本吻合;從非光滑分界面跳入?yún)^(qū)域D1,3并逐漸收斂時(shí)的近似振蕩頻率0.562 5 與最快時(shí)間尺度T1≡O(shè)(1)基本一致;軌線的振幅穩(wěn)定后的近似振蕩頻率0.01 與外激勵(lì)頻率所對(duì)應(yīng)的時(shí)間尺度T2≡O(shè)(10?2),即與中間時(shí)間尺度相吻合.可見,此時(shí)的簇發(fā)振蕩明顯地具有3 個(gè)不同量級(jí)的振蕩頻率,體現(xiàn)了系統(tǒng)的三時(shí)間尺度效應(yīng).

而當(dāng)參數(shù)δ=1.158 4 時(shí),快子系統(tǒng)的名義平衡軌道NEO±由于所對(duì)應(yīng)的特征值穿越純虛根而失穩(wěn).此時(shí),系統(tǒng)(2)表現(xiàn)為明顯的混沌行為(見圖5),且其軌線在來回穿越非光滑分界面的過程中,連接了光滑區(qū)域D1與D3中的概周期運(yùn)動(dòng),可以稱作概周期?概周期型混沌簇發(fā)振蕩.

3.2 簇發(fā)振蕩的機(jī)制分析

主要探究δ=1.02 時(shí)的演化機(jī)制.考慮到系統(tǒng)的對(duì)稱性,僅探究過程.

利用轉(zhuǎn)換相圖 (TPP)與慢子流形的疊加圖(圖6(a)),在(x,v)平面內(nèi)利用快慢分析法,結(jié)合非光滑分界面處的分岔分析,進(jìn)一步來探討圖4 中具有的三時(shí)間尺度特性的周期簇發(fā)振蕩的振蕩機(jī)理,也即系統(tǒng)在呈現(xiàn)三時(shí)間尺度的簇發(fā)振蕩時(shí),軌線在不同時(shí)間尺度之間的轉(zhuǎn)遷機(jī)制.

圖6 (a)δ=1.02 時(shí)轉(zhuǎn)換相圖與慢子流形的疊加圖;(b)局部放大圖Fig.6 (a)Overlay of TPP and the manifold of the fast subsystem for δ=1.02;(b)enlarged figure

事實(shí)上,在中間尺度系統(tǒng)(4)的激勵(lì)作用下,快子系統(tǒng)的具有解析形式(10)的名義平衡軌道NEO?表現(xiàn)為區(qū)域D3中的穩(wěn)定極限環(huán)LC1.隨著慢變量x在時(shí)間尺度T3≡O(shè)(10?4)上的連續(xù)變化,LC1將在空間中形成環(huán)面結(jié)構(gòu)形式的慢子流形.快子系統(tǒng)(6)的極限環(huán)LCi(i=1,2)在v軸方向的極值分別記為,如圖6 中的藍(lán)色線條所示.

如上,軌線仍從Σ+1上的點(diǎn)A1出發(fā),由于光滑區(qū)域D2中名義平衡軌道的不穩(wěn)定性,軌線迅速向非光滑分界面∑?1運(yùn)動(dòng)并在點(diǎn)A2穿過Σ?1而進(jìn)入光滑區(qū)域D3,在收斂到具有不變環(huán)面結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定慢子流形的過程中出現(xiàn)大幅振蕩,形成激發(fā)態(tài),記作SS1,其振蕩頻率與慢子流形對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)的虛部基本吻合,體現(xiàn)了系統(tǒng)的最快時(shí)間尺度T1≡O(shè)(1).隨著時(shí)間的增大,軌線的振幅逐漸減小.當(dāng)系統(tǒng)軌線收斂到穩(wěn)定慢子流形上后,將沿著慢子流形呈現(xiàn)振幅保持不變的環(huán)面運(yùn)動(dòng)(對(duì)應(yīng)的兩條藍(lán)色曲線之間的距離保持不變),形成沉寂態(tài),記作QS1,其振蕩頻率與外激勵(lì)保持一致,體現(xiàn)了中間時(shí)間尺度T2≡O(shè)(10?2).由于軌線在從激發(fā)態(tài)SS1轉(zhuǎn)遷到慢子流形上的沉寂態(tài)QS1的轉(zhuǎn)遷過程中并沒有分岔出現(xiàn),所以只是軌線收斂的暫態(tài)過程的體現(xiàn).

然而,從D3中的沉寂態(tài)QS1向D1中的激發(fā)態(tài)SS2的轉(zhuǎn)遷是系統(tǒng)軌線通過依次穿越非光滑分界面上的點(diǎn)A3與A4的形式完成的.但是,通過快子系統(tǒng)(6)的穩(wěn)定極限環(huán)LC1可以發(fā)現(xiàn)(見圖6(b)),LC1在慢變量跨過x=?2.5(對(duì)應(yīng)圖6(b)中的垂直方向的虛線)后消失了.即隨著慢變量的減小,雖然慢子流形的穩(wěn)定極限環(huán)LC1消失了,但是軌線并沒有立刻向激發(fā)態(tài)轉(zhuǎn)遷,而是繼續(xù)保持了一段時(shí)間的沉寂態(tài),直到軌線穿越非光滑分界上的點(diǎn)A3后才向激發(fā)態(tài)轉(zhuǎn)遷.因此,慢子流形所對(duì)應(yīng)的非光滑分岔將對(duì)此處的轉(zhuǎn)遷機(jī)理起到至關(guān)重要的作用.

下面對(duì)快子系統(tǒng)在非光滑分界面上的非光滑動(dòng)力學(xué)演化進(jìn)行分析.

由于非光滑分界面Σ?1兩側(cè)的向量場(chǎng)的連續(xù)性,在非光滑分界面Σ?1上存在一條分割曲線,滿足

圖7 (a)非光滑分界面Σ?1上的動(dòng)力學(xué)分析;(b)x=?2.5 時(shí)與Σ?1相切的NEO?;(c) x=?3 時(shí)與Σ?1橫截相交的NEO?;(d)x=?2.6 時(shí)的時(shí)間歷程圖Fig.7 (a)Dynamic analysis on non-smooth interface Σ?1;(b)NEO?tangent to Σ?1for x=?2.5;(c)NEO?intersecting with Σ?1for x=?3;(d)time history for x=?2.6

圖7 (a)非光滑分界面Σ?1上的動(dòng)力學(xué)分析;(b)x=?2.5 時(shí)與Σ?1相切的NEO?;(c) x=?3 時(shí)與Σ?1橫截相交的NEO?;(d)x=?2.6 時(shí)的時(shí)間歷程圖(續(xù))Fig.7 (a)Dynamic analysis on non-smooth interface Σ?1;(b)NEO?tangent to Σ?1for x=?2.5;(c)NEO?intersecting with Σ?1for x=?3;(d)time history for x=?2.6(continued)

另外,由名義平衡軌道NEO?的解析表達(dá)式可知,?V0/?x=?5/3 <0,即隨著慢變量x的減小,NEO?將向非光滑分界面Σ?1移動(dòng).經(jīng)計(jì)算,慢變量x=?2.5 時(shí),NEO?與非光滑分界面Σ?1相切于直線上的點(diǎn)TP,如圖7(b)所示,意味著對(duì)應(yīng)的極限環(huán)LC1此時(shí)也與分界面Σ?1相切于點(diǎn)TP,且保持存在.隨著慢變量x的減小,名義平衡軌道NEO?將跨越分界面Σ?1,圖7(c)給出了對(duì)應(yīng)x=?3 時(shí)的名義平衡軌道NEO?.此時(shí),NEO?被非光滑分界面Σ?1分割為兩部分:一部分位于光滑區(qū)域D3內(nèi),為真實(shí)存在的部分,對(duì)應(yīng)圖7(c)中的黑色實(shí)線部分,記為NEOR?;另一部分位于光滑區(qū)域D2內(nèi),不滿足非光滑限制條件,對(duì)應(yīng)圖7(c)中的紅色實(shí)線部分,記為.而此時(shí),與名義平衡軌道NEO?相應(yīng)的存在于快子系統(tǒng)(6)的極限環(huán)LC1卻在光滑區(qū)域D3內(nèi)到達(dá)非光滑分界面Σ?1后進(jìn)入了圖7(a)中的左側(cè)區(qū)域,受到該分界面的非光滑動(dòng)力學(xué)特性的影響,軌線將直接按照?qǐng)D中箭頭所示的方向橫截穿過Σ?1與Σ+1向光滑區(qū)域D1內(nèi)的穩(wěn)定極限環(huán)LC2轉(zhuǎn)遷,如圖7(d)所示,意味著極限環(huán)LC1消失.

鑒于極限環(huán)LC1隨著慢變量x的變化所展現(xiàn)的由光滑區(qū)域D3內(nèi)的穩(wěn)定極限環(huán),經(jīng)過與非光滑分界面Σ?1相切的臨界情形,再到與Σ?1橫截相交后消失的動(dòng)力學(xué)演化過程,這里稱其為環(huán)的破壞性擦邊分岔,記為CGB.

回到系統(tǒng)(2)的軌線在非光滑分界面Σ?1上的點(diǎn)A3處由沉寂態(tài)QS1到激發(fā)態(tài)SS2的轉(zhuǎn)遷機(jī)制.如圖6(b),當(dāng)慢變量越過x=?2.5 時(shí),雖然極限環(huán)LC1(NEO?)由于破壞性的擦邊分岔而消失,但是在區(qū)間x∈(?2.5,?3.5)上,名義平衡軌道NEO?在光滑區(qū)域D3中仍然存在著部分,也即慢子流形在區(qū)間x∈(?2.5,?3.5)上仍然存在,并且仍然落在直線的左邊(圖7(c)).因此,沉寂態(tài)QS1在慢變量x越過x=?2.5 后會(huì)繼續(xù)存在,直到軌線到達(dá)非光滑分界面Σ?1上的點(diǎn)A3.此時(shí),受到極限環(huán)LC1(NEO?)的破壞性的擦邊分岔CGB 的影響,軌線直接穿過非光滑分界面Σ?1而進(jìn)入光滑區(qū)域D2,意味著沉寂態(tài)QS1的結(jié)束.

這樣,在A1A2A3過程中,系統(tǒng)呈現(xiàn)三時(shí)間尺度的簇發(fā)振蕩時(shí),軌線在不同時(shí)間尺度之間的轉(zhuǎn)遷機(jī)制得到了完整的解釋.根據(jù)文獻(xiàn)[11]中提供的對(duì)簇發(fā)振蕩的命名和分類的方法,也即以導(dǎo)致沉寂態(tài)與激發(fā)態(tài)之間轉(zhuǎn)遷的分岔對(duì)簇發(fā)振蕩進(jìn)行命名和分類,同時(shí)考慮到此時(shí)對(duì)應(yīng)的周期簇發(fā)振蕩中體現(xiàn)出的三時(shí)間尺度效應(yīng),圖4 中的周期簇發(fā)振蕩可稱為對(duì)稱式CGB/CGB型三時(shí)間尺度周期簇發(fā)振蕩.

當(dāng)δ=1.158 4 時(shí),由于對(duì)應(yīng)的快子系統(tǒng)的概周期運(yùn)動(dòng)同樣會(huì)在跨越慢變量的臨界值后失穩(wěn),在非光滑分界面Σ±1上經(jīng)歷破壞性的擦邊分岔,導(dǎo)致概周期運(yùn)動(dòng)破裂,表現(xiàn)了典型的由概周期運(yùn)動(dòng)破裂到混沌行為的動(dòng)力學(xué)演化過程,形成了此處的概周期?概周期型混沌簇發(fā)振蕩.

4 結(jié)論

基于典型的蔡氏電路,文章建立了一個(gè)含有三時(shí)間尺度的四維分段線性系統(tǒng).以此系統(tǒng)為例,將中間尺度變量視為對(duì)快尺度變量的擾動(dòng),并由此將中間尺度變量與快尺度變量看作一個(gè)整體,從而將三時(shí)間尺度耦合問題轉(zhuǎn)化為兩時(shí)間尺度耦合問題去分析.在此方法的基礎(chǔ)上,利用快慢分析法,討論了系統(tǒng)在兩組不同數(shù)值情形下的簇發(fā)振蕩行為并給出了相應(yīng)的分岔機(jī)制.發(fā)現(xiàn),當(dāng)名義平衡軌道為穩(wěn)定的時(shí)候,系統(tǒng)軌線能夠落于慢子流形上并能夠隨著慢子流形穿越非光滑分界面,呈現(xiàn)周期簇發(fā)振蕩的同時(shí)體現(xiàn)出三時(shí)間尺度的特性;而當(dāng)名義平衡軌道通過穿越純虛根的路徑失穩(wěn)后,軌線不能夠落于慢子流形,而是表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng).經(jīng)過分析,非光滑分界面處的非常規(guī)分岔,即破壞性的擦邊分岔是導(dǎo)致簇發(fā)振蕩的主要誘因,為全新的通向簇發(fā)振蕩的演化路徑.需要指出的是,對(duì)于時(shí)間尺度具有量級(jí)差的多時(shí)間尺度耦合動(dòng)力系統(tǒng)而言,不同時(shí)間尺度之間差異到何種程度才能夠出現(xiàn)簇發(fā)現(xiàn)象,這一點(diǎn)需要在后續(xù)工作中重點(diǎn)關(guān)注.另外,慢時(shí)間尺度在一定范圍內(nèi)變化時(shí),是否會(huì)導(dǎo)致不同的簇發(fā)振蕩的出現(xiàn)或者其它的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的產(chǎn)生,這一點(diǎn)也需要在后續(xù)工作中關(guān)注.