崔 威 ， 冼劍華 ， 蘇 成 ，2

（1. 華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 廣州 510640； 2. 華南理工大學(xué) 亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣州 510640）

0 引言

對(duì)于高層和超高層建筑等大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)， 地震作用往往是最重要的設(shè)計(jì)荷載， 因此結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的安全性依賴于地震作用計(jì)算的合理性。 目前我國(guó) 《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011-2010）[1]所推薦的高層建筑地震作用計(jì)算方法包含振型分解反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法。 振型分解反應(yīng)譜法能夠反映地震動(dòng)的隨機(jī)特性， 但不能反映地震作用的全過程， 而且規(guī)范所推薦的CQC 組合公式是在一定假定[2-3]下推導(dǎo)得到的， 這些假定會(huì)對(duì)高層和超高層建筑結(jié)構(gòu)的地震作用計(jì)算帶來一定的影響[4]。 時(shí)程分析法能夠反映地震作用的全過程， 但不能反映地震動(dòng)的隨機(jī)特性， 因此該方法一般作為振型分解反應(yīng)譜法的補(bǔ)充計(jì)算方法。 鑒于上述問題，有必要采用真正意義的隨機(jī)振動(dòng)分析方法進(jìn)行高層和超高層建筑結(jié)構(gòu)的地震作用計(jì)算。

時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法[4]是一種高效準(zhǔn)確的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析方法， 該法適用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的抗震計(jì)算， 且容易被工程設(shè)計(jì)人員所接受，目前已被編入廣東省《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》（DBJ 15-92-2013）[5]， 以下簡(jiǎn)稱 “2013 版省《高規(guī)》”。 近年來， 針對(duì)非線性隔震結(jié)構(gòu)地震作用計(jì)算所發(fā)展的非線性時(shí)域顯式隨機(jī)模擬法[6]也編入新修訂的廣東省 《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（送審稿）》（DBJ 15-92-2020）[7]， 以下簡(jiǎn)稱 “2020版省《高規(guī)》”。 由此可見， 采用實(shí)用隨機(jī)振動(dòng)分析方法進(jìn)行高層建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)已在工程界受到廣泛重視。

振型分解反應(yīng)譜法的輸入條件是反應(yīng)譜， 而隨機(jī)振動(dòng)分析方法的輸入條件通常為地震動(dòng)功率譜。 為保證隨機(jī)振動(dòng)分析方法和振型分解反應(yīng)譜法的輸入條件一致， 設(shè)計(jì)地震動(dòng)功率譜必須與設(shè)計(jì)反應(yīng)譜完全等價(jià)。 如此一來， 隨機(jī)振動(dòng)分析方法的計(jì)算結(jié)果才可與振型分解反應(yīng)譜法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較， 并為實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供參考。 因此，獲取與規(guī)范反應(yīng)譜完全等價(jià)的地震動(dòng)功率譜是隨機(jī)振動(dòng)分析方法能夠在工程設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。

本文基于新修訂的2020 版省《高規(guī)》， 利用直接迭代方法獲得與該規(guī)范反應(yīng)譜完全等價(jià)的地震動(dòng)功率譜； 進(jìn)而利用非線性函數(shù)擬合技術(shù)， 得到等價(jià)地震動(dòng)功率譜的擬合公式； 最后驗(yàn)證擬合后等價(jià)地震動(dòng)功率譜與規(guī)范反應(yīng)譜的等價(jià)性。 此外，本文還系統(tǒng)研究了不同功率譜初始形式以及不同結(jié)構(gòu)阻尼比對(duì)所得等價(jià)地震動(dòng)功率譜的影響。

1 設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜

2020 版省《高規(guī)》對(duì) 2013 版省《高規(guī)》的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜進(jìn)行了修改， 新的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜是由華南理工大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院根據(jù)6000 多條實(shí)際地震波統(tǒng)計(jì)分析得到的[8-10]。 2020 版省《高規(guī)》的設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜如下式所示[7]：

式 （1）中 α 為水平地震影響系數(shù)； αmax為水平地震影響系數(shù)最大值， 它的取值與場(chǎng)地類別有關(guān)， 對(duì)于II 類場(chǎng)地其取值見表1， 而對(duì)于其它類別場(chǎng)地其取值見文獻(xiàn) [7]； T 為結(jié)構(gòu)自振周期； Tg為特征周期， 取值見表 2； TD=3.5 s； η 為阻尼調(diào)整系數(shù)，如下式所示：

式 （2）中 ζ 為結(jié)構(gòu)阻尼比。

當(dāng)考慮設(shè)防烈度 7 度、 多遇地震、 阻尼比0.05 及設(shè)計(jì)地震第一分組時(shí)， 不同場(chǎng)地類別下的設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜曲線如圖1 所示。 從圖中可以看出， 隨著場(chǎng)地類別的提高， 設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜曲線平臺(tái)段的高度和寬度均有所增大。

表1 水平地震影響系數(shù)最大值αmax （II 類場(chǎng)地）Table 1 Maximum value of horizontal seismic influence coefficient αmax （Site-class II）

表2 特征周期Table 2 Characteristic period

圖1 設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜Fig.1 Acceleration response spectrum for design

2 等價(jià)地震動(dòng)功率譜的確定

考慮地震動(dòng)的非平穩(wěn)隨機(jī)特性， 地面加速度隨機(jī)過程X（t）可以表達(dá)為[11]

式（3）中 x（t）為平穩(wěn)隨機(jī)過程； g（t）為均勻調(diào)制函數(shù)， 用來考慮地面加速度隨機(jī)過程的強(qiáng)度非平穩(wěn)特性， 可以表示為

式 （4）中 c 為衰減系數(shù)； t1和 t2分別為強(qiáng)震平穩(wěn)段的起始和終止時(shí)間。 均勻調(diào)制函數(shù)參數(shù)的取值如表 3 所示[12]。

表3 均勻調(diào)制函數(shù)參數(shù)的取值Table 3 The values of parameters of modulation function

假定平穩(wěn)隨機(jī)過程x（t）的功率譜密度函數(shù)為S（f）， 可采用諧波合成法[13]對(duì) x（t）進(jìn)行隨機(jī)采樣， 其中第j 個(gè)時(shí)程樣本可以表示為

式（5）中M 為地面加速度時(shí)程的樣本數(shù)； N 為頻率劃分段數(shù)； Δf=（fmax-fmin）/N 為諧波分量的頻率間隔；fmax和fmin分別為截?cái)嘧畲箢l率和截?cái)嘧钚☆l率， 分別取值為 30 Hz 和 0.04 Hz； fk==fmin+（k-0.5）Δf 為第k 個(gè)諧波分量的頻率； Φk,j為服從 [0，2π]均勻分布的隨機(jī)變量。 Δf 的取值應(yīng)不大于 1/td[14]， 其中 td為地面加速度持續(xù)時(shí)長(zhǎng)， 考慮到td可能取到50 s，故取 Δf=0.02 Hz， 此時(shí) N=1498。

文獻(xiàn)[14]給出了功率譜密度函數(shù)S（f）和反應(yīng)譜函數(shù) α（T）（T=1/f）之間的近似轉(zhuǎn)換關(guān)系， 如下式所示：

式 （6）中p 為地震作用反應(yīng)不超過反應(yīng)譜值的概率， 一般取 p≥0.85； g 為重力加速度， 取為9.8 m/s2。

以式（6）作為功率譜密度函數(shù) S（f）的初始形式， 利用式（5）生成大量平穩(wěn)隨機(jī)過程的時(shí)程樣本xj（t）， 再根據(jù)式（3）得到大量非平穩(wěn)地面加速度隨機(jī)過程的時(shí)程樣本 Xj（t）（j=1，2，…，M）。 計(jì)算在這些地面加速度樣本作用下單自由度體系的平均加速度反應(yīng)譜 α"（T）， 并與規(guī)范加速度反應(yīng)譜 α（T）進(jìn)行比較， 按下式計(jì)算相對(duì)誤差：

若相對(duì)誤差e（T）的最大值大于給定的誤差容許值ε， 取為5%， 則按下式對(duì)功率譜密度函數(shù)進(jìn)行修正：

重復(fù)上述步驟， 直至相對(duì)誤差e（T）的最大值小于給定的誤差容許值ε， 才停止迭代計(jì)算。 此時(shí)獲得的S（f）可認(rèn)為是與規(guī)范反應(yīng)譜完全等價(jià)的地震動(dòng)功率譜。

3 等價(jià)地震動(dòng)功率譜擬合

采用第2節(jié)的方法可以獲得與規(guī)范反應(yīng)譜等價(jià)的離散地震動(dòng)功率譜， 為了方便工程人員直接應(yīng)用， 下面進(jìn)一步利用非線性函數(shù)擬合技術(shù)得到離散等價(jià)地震動(dòng)功率譜的擬合表達(dá)式。 將式（1）代入式（6）可得功率譜的分段擬合公式為

式（9）中 β1， β2， …， β10為待求的擬合參數(shù)。

對(duì)于設(shè)防烈度7 度、 多遇地震、 阻尼比0.05、II 類場(chǎng)地及設(shè)計(jì)地震第一分組的情況， 基于式（9）擬合得到的等價(jià)地震動(dòng)功率譜和擬合前的離散等價(jià)地震動(dòng)功率譜如圖2 所示。 從圖中可以看出，擬合功率譜和離散功率譜總體吻合良好， 但在第一分段擬合功率譜出現(xiàn)了負(fù)值， 與實(shí)際不相符。數(shù)值試驗(yàn)表明， 擬合公式第一分段采用指數(shù)函數(shù)形式更為合理， 則功率譜的分段擬合公式可以改寫為

圖2 基于式（9）擬合的等價(jià)地震動(dòng)功率譜Fig.2 Equivalent ground motion power spectrum fitted based on equation（9）

基于式（10）擬合得到的等價(jià)地震動(dòng)功率譜和擬合前的離散等價(jià)地震動(dòng)功率譜如圖3 所示。 從圖中可以看出， 擬合功率譜和離散功率譜在各個(gè)分段均吻合良好， 且在第一分段沒有出現(xiàn)負(fù)值。值得一提的是， 擬合功率譜有效削弱了離散功率譜在 f=0.286 Hz（對(duì)應(yīng) T=TD=3.5 s） 處的突起， 使等價(jià)地震動(dòng)功率譜更具合理性。 對(duì)于阻尼比0.05 及II 類場(chǎng)地的情況， 各設(shè)計(jì)地震分組對(duì)應(yīng)的等價(jià)地震動(dòng)功率譜擬合參數(shù)值見表4。 對(duì)于其它阻尼比及場(chǎng)地類別的情況， 等價(jià)地震動(dòng)功率譜的擬合參數(shù)值見文獻(xiàn)[7]。

為檢驗(yàn)等價(jià)地震動(dòng)功率譜與設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜之間的等價(jià)性， 基于擬合后的等價(jià)地震動(dòng)功率譜， 采用諧波合成法生成大量的地面加速度時(shí)程樣本， 進(jìn)而獲得單自由度體系的平均反應(yīng)譜， 即模擬加速度反應(yīng)譜。 以圖3 所示擬合功率譜為例，所得模擬加速度反應(yīng)譜與設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜如圖4所示。 從圖中可以看出， 二者吻合良好， 說明擬合功率譜與設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜在所考慮的周期范圍內(nèi)是完全等價(jià)的。

圖3 基于式（10）擬合的等價(jià)地震動(dòng)功率譜Fig. 3 Equivalent ground motion power spectrum fitted based on equation （10）

表4 等價(jià)地震動(dòng)功率譜擬合參數(shù)值（阻尼比 0.05、 II 類場(chǎng)地）Table 4 The values of fitted parameters of equivalent ground motion power spectrum （Damping ratio 0.05，site-class II）

圖4 模擬加速度反應(yīng)譜Fig.4 Simulated acceleration response spectrum

4 等價(jià)地震動(dòng)功率譜一致性驗(yàn)證

本節(jié)以設(shè)防烈度 7 度、 多遇地震、 阻尼比0.05、 II 類場(chǎng)地及設(shè)計(jì)地震第一分組情況下所獲得的等價(jià)地震動(dòng)功率譜為例， 分別研究不同功率譜初始形式以及不同結(jié)構(gòu)阻尼比對(duì)所得等價(jià)地震動(dòng)功率譜的影響。

4.1 功率譜初始形式的影響

為檢驗(yàn)所得等價(jià)地震動(dòng)功率譜對(duì)于不同的功率譜初始形式具有一致性， 分別以式（6）所示功率譜和白噪聲功率譜作為等價(jià)地震動(dòng)功率譜的初始形式進(jìn)行迭代計(jì)算， 所得等價(jià)地震動(dòng)功率譜如圖5所示。 從圖中可以看出， 基于不同的功率譜初始形式所獲得的等價(jià)地震動(dòng)功率譜吻合良好， 說明等價(jià)地震動(dòng)功率譜的獲取與功率譜初始形式的選取無關(guān)。 此外， 當(dāng)以式（6）功率譜作為初始功率譜時(shí)， 迭代收斂所需次數(shù)為4 次， 而當(dāng)以白噪聲功率譜作為初始功率譜時(shí)， 迭代收斂所需次數(shù)為6次， 說明選取更接近收斂后等價(jià)地震動(dòng)功率譜的功率譜初始形式可以更快收斂。

圖5 不同功率譜初始形式對(duì)應(yīng)的等價(jià)地震動(dòng)功率譜Fig.5 Equivalent ground motion power spectrum corresponding to different initial forms of power spectrum

4.2 結(jié)構(gòu)阻尼比的影響

為檢驗(yàn)不同結(jié)構(gòu)阻尼比對(duì)所得等價(jià)地震動(dòng)功率譜的影響， 分別以不同的結(jié)構(gòu)阻尼比（0.03、0.035、 0.04、 0.045、 0.05、 0.055、 0.06、 0.065 和0.07）獲取等價(jià)地震動(dòng)功率譜， 如圖6 所示。 從圖中可以看出， 以阻尼比為0.05 所對(duì)應(yīng)的等價(jià)地震動(dòng)功率譜為基準(zhǔn)， 其它阻尼比所對(duì)應(yīng)的等價(jià)地震動(dòng)功率譜與該基準(zhǔn)吻合良好， 說明不同結(jié)構(gòu)阻尼比（0.03～0.07）所對(duì)應(yīng)的等價(jià)地震動(dòng)功率譜具有一致性。 這是合理的， 因?yàn)榈卣饎?dòng)本質(zhì)上與結(jié)構(gòu)阻尼是沒有關(guān)系的。

5 結(jié)語

圖6 不同結(jié)構(gòu)阻尼比對(duì)應(yīng)等價(jià)地震動(dòng)功率譜Fig.6 Equivalent ground motion power spectrum corresponding to different structural damping ratios

采用真正意義的隨機(jī)振動(dòng)分析方法進(jìn)行高層或超高層建筑結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)已經(jīng)引起了工程界的廣泛重視， 而獲取與規(guī)范反應(yīng)譜完全等價(jià)的地震動(dòng)功率譜是隨機(jī)振動(dòng)分析方法能夠在工程領(lǐng)域推廣應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。 本文基于新修訂的2020版省 《高規(guī)》， 利用直接迭代方法獲得與新修訂的設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜完全等價(jià)的地震動(dòng)功率譜， 并采用非線性函數(shù)擬合技術(shù)獲得等價(jià)功率譜的擬合公式。 數(shù)值驗(yàn)證表明， 擬合后的等價(jià)功率譜與規(guī)范反應(yīng)譜是完全等價(jià)的。 本文還對(duì)不同功率譜初始形式以及不同結(jié)構(gòu)阻尼比對(duì)所得等價(jià)地震動(dòng)功率譜的影響展開研究。 結(jié)果表明， 等價(jià)地震動(dòng)功率譜對(duì)于不同的功率譜初始形式以及不同的結(jié)構(gòu)阻尼比（0.03-0.07）具有一致性。