左 燕 蔣陶然 陳志猛 彭冬亮

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 杭州 310018)

1 引言

外輻射源雷達(dá)利用第三方(廣播、電視、衛(wèi)星、通信基站等外輻射源)發(fā)射的電磁信號(hào)輻射源實(shí)現(xiàn)對(duì)“無(wú)線電靜默”目標(biāo)的探測(cè)與定位，具有隱蔽性高、抗干擾能力強(qiáng)、監(jiān)視范圍廣、成本低等優(yōu)點(diǎn)[1,2]。因此，近年成為雷達(dá)探測(cè)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

外輻射源定位系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)監(jiān)測(cè)通道的回波信號(hào)和參考通道的直達(dá)波信號(hào)進(jìn)行相關(guān)性處理，得到時(shí)差和頻差參數(shù)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位[3]。外輻射源雷達(dá)采用雙基/多基結(jié)構(gòu)，時(shí)差對(duì)應(yīng)外輻射源經(jīng)目標(biāo)反射至觀測(cè)站距離和，即雙基距(Bistatic Range, BR)，頻差則對(duì)應(yīng)雙基距變化率(Bistatic Range Rate,BRR)[4]，聯(lián)合BR和BRR可提高運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位精度。

目前，目標(biāo)輻射源聯(lián)合時(shí)差/頻差定位問(wèn)題已進(jìn)行了廣泛研究[5-7]。而利用BR和BRR的外輻射源目標(biāo)定位問(wèn)題研究則相對(duì)較少。基于BR/BRR的外輻射源目標(biāo)定位求解過(guò)程就是從非線性BR和BRR方程中解算出目標(biāo)位置和速度，它本質(zhì)是一個(gè)高維非線性優(yōu)化問(wèn)題。極大似然(Maximum Likelihood,ML)估計(jì)建立目標(biāo)位置和速度的似然函數(shù)，理論上是最優(yōu)估計(jì)。迭代ML算法通過(guò)迭代搜索獲得目標(biāo)參數(shù)估計(jì)，算法性能受初值影響[8]。隨后一系列代數(shù)解算法相繼提出，包括兩步加權(quán)最小二乘(Two-Stage Weighted Least Squares, 2WLS)[9]、三步加權(quán)最小二乘(Three-Stage Weighted Least Squares,3WLS)[10]、約束總體最小二乘(Constrained Total Least Square, CTLS)[11]。

基于BR/BRR單站多外輻射源運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位需要來(lái)自同一目標(biāo)的所有量測(cè)值是無(wú)偏的。由于外輻射源之間信號(hào)發(fā)射時(shí)鐘不同步，存在時(shí)鐘偏差[12]；受信號(hào)阻塞和多徑影響，外輻射源參考信號(hào)的路徑和直達(dá)波路徑不一致[13]；同時(shí)雷達(dá)觀測(cè)站存在固有系統(tǒng)偏差等因素使得實(shí)際多基外輻射源定位系統(tǒng)中BR和BRR量測(cè)存在固定偏差[14]。忽視偏差的影響會(huì)導(dǎo)致目標(biāo)定位性能嚴(yán)重下降，甚至產(chǎn)生虛假目標(biāo)。文獻(xiàn)[14]提出外輻射源BR定位下誤差校正，隨后文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了外輻射源BR/AOA聯(lián)合定位下誤差校正算法。目前尚無(wú)外輻射源BR/BRR運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位下誤差校正研究。對(duì)此，本文首次提出了一種基于后驗(yàn)迭代關(guān)聯(lián)最小二乘的BR/BRR多運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位和誤差校正新算法。與文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]不同，本文主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)包括：(1)建立了目標(biāo)參數(shù)和BR/BRR偏差聯(lián)合估計(jì)新模型；(2)利用輔助變量與目標(biāo)參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)構(gòu)造了新的等式方程，避免開(kāi)方運(yùn)算；(3)推導(dǎo)了BR/BRR聯(lián)合定位和偏差估計(jì)克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound, CRLB)，并分析了算法估計(jì)理論誤差和全局收斂性。

2 BR/BRR聯(lián)合定位問(wèn)題

假設(shè)由M個(gè)外輻射源和1個(gè)觀測(cè)站構(gòu)成的單站多外輻射源雷達(dá)對(duì)P個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位。不失一般性以觀測(cè)站位置為原點(diǎn) Sr=[0,0]T建立量測(cè)坐標(biāo)系。

目標(biāo)p 到觀測(cè)站的距離和距離變化率分別為

目標(biāo)p 到 外輻射源m 的距離和距離變化率分別為

目標(biāo)到達(dá)觀測(cè)站和外輻射源的雙基距BR和雙基距變化率BRR的觀測(cè)方程分別為其中，d0m,p=Rp+rm,p和 d ˙0m,p= R˙p+ r˙m,p分別為BR和BRR真實(shí)值，Δ dm和Δ d˙m分別為BR和BRR固定偏差，ndm,p和 nfm,p分別為BR和BRR量測(cè)噪聲。

將上述BR和BRR觀測(cè)方程描述為矩陣形式

外輻射源BR/BRR聯(lián)合定位和誤差校正問(wèn)題是一個(gè)高維非線性優(yōu)化問(wèn)題，它根據(jù)多組BR和BRR觀 測(cè)值聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)位置和速度，以及固定偏差。

3 誤差校正下目標(biāo)定位算法

3.1 目標(biāo)參數(shù)和固定偏差聯(lián)合估計(jì)

將式(9)和式(10)聯(lián)立，其矩陣形式為

式(11)的加權(quán)最小二乘解為

式中，權(quán)重W =E[BeeTBT]-1=(BQBT)-1。

采用攝動(dòng)分析方法，計(jì)算估計(jì)誤差協(xié)方差為

3.2 關(guān)聯(lián)最小二乘估計(jì)

上述估計(jì)過(guò)程假設(shè)輔助變量 Rp和與目標(biāo)位置和速度變量相互獨(dú)立，忽略了變量之間的關(guān)聯(lián)性。為了進(jìn)一步提高目標(biāo)定位精度，建立關(guān)聯(lián)最小二乘(Dependent Least Squares, DLS)估計(jì)模型。

根據(jù)式(1)和式(2)輔助變量的定義，可得

其中

則關(guān)聯(lián)最小二乘估計(jì)解為

采用攝動(dòng)分析法，計(jì)算估計(jì)誤差協(xié)方差為

3.3 誤差校正下迭代后驗(yàn)估計(jì)

將固定偏差估計(jì)值Δ dm和Δ d˙m代入BR和BRR量測(cè)方程進(jìn)行校正。根據(jù)校正后的BR和BRR進(jìn)行迭代后驗(yàn)估計(jì)，第l +1次迭代量測(cè)信息為

最后，獲得BR和BRR固定誤差估計(jì)值為

步驟(b) 根據(jù)式(21)和式(22)校正BR和BRR量測(cè)值，令k =0 ，l =l+1，轉(zhuǎn)步驟2。

步驟(c) 根據(jù)式(23)和式(24)計(jì)算BR固定偏差Δdm和BRR固定偏差Δ d˙m。輸出目標(biāo)位置和速度 ，以及BR和BRR固定偏差。

4 理論性能分析

4.1 估計(jì)誤差協(xié)方差和CRLB

令觀測(cè)向量 q =[dT, d˙T]T，目標(biāo)狀態(tài)向量為，估計(jì)向量θ =[rT,ΔdT,Δ d˙T]T，則θ 估計(jì)誤差CRLB可以表示為

由式(20)和式(25)知，估計(jì)誤差協(xié)方差和CRLB均為求逆形式。將式(20)求逆運(yùn)算前的形式展開(kāi)

(2) 采用誤差校正下后驗(yàn)迭代估計(jì)，BR固定偏差和BRR固定偏差逐漸趨于零，則G′≈G，誤差校 正后估計(jì)誤差精度可達(dá)到CRLB。

4.2 收斂性分析

θ =[Star,,R,,Δd,Δ ˙d]T

式中，

將式(34)代入式(9)和式(10)可得

將式(35)和式(36)寫成矩陣形式

將式(38)展開(kāi)，化為式(39)形式

5 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過(guò)仿真測(cè)試評(píng)估所提算法的定位性能，仿真場(chǎng)景設(shè)置[14]如下：場(chǎng)景中10個(gè)固定外輻射源，1個(gè)接收站，8個(gè)目標(biāo)隨機(jī)分布在 6 0 km×60 km的平面，空間幾何分布圖見(jiàn)圖1。8個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)速度分別為(-0.3,0.1), (0.6, 0.3), (0.1, -0.2), (0.2, -0.2),(0.3, 0.5), (-0.2, -0.2),(-0.2, -0.2),(-0.3, -0.4), 單位為m/s。假設(shè)每對(duì)T-R組合能探測(cè)到所有目標(biāo)。BR和BRR量測(cè)噪聲分別服從零均值標(biāo)準(zhǔn)差為σd和 σf的高斯分布。BR和BRR的固定偏差分別為Δ d 和Δ d˙。進(jìn)行蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)，蒙特卡羅次數(shù)設(shè)置為1000。

圖1 目標(biāo)-接收站-發(fā)射源位置

其次，研究不同量測(cè)噪聲下目標(biāo)定位性能。設(shè)BR和BRR固定偏差分別為30 m和3 m/s。量測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差 σe= [1, 10, 100, 400, 1000, 2000] m,BR和BRR量測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差分別為σd=σe, σf=0.1σe。將本文所提迭代后驗(yàn)DLS算法與迭代ML算法[8]比較，仿真結(jié)果如圖3至圖5所示。

圖2 算法全局收斂率

圖3 不同量測(cè)誤差條件下8個(gè)目標(biāo)位置估計(jì)RMSE

圖3和圖4分別給出不同量測(cè)誤差噪聲下8個(gè)目標(biāo)位置和速度估計(jì)誤差RMSE。與迭代ML算法相比，本文算法對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)位置和速度估計(jì)精度更高，其RMSE達(dá)到CRLB。當(dāng)σe大于1000 m時(shí)，本文算法開(kāi)始偏離CRLB，其中目標(biāo)5的定位誤差RMSE略微偏離CRLB，原因是目標(biāo)定位精度受“外輻射源-目標(biāo)-觀測(cè)站”的空間幾何位置的影響。

圖5給出不同量測(cè)噪聲下BR偏差和BRR偏差估計(jì)誤差RMSE。與迭代ML算法相比，本文算法誤差校正精度更高。當(dāng) σe小于400 m時(shí)，所提算法估計(jì)性能接近CRLB。誤差校正誤差遠(yuǎn)小于量測(cè)誤差，本文算法可實(shí)現(xiàn)較好的誤差校正。

圖4 不同量測(cè)誤差條件下8個(gè)目標(biāo)速度估計(jì)RMSE

圖5 不同量測(cè)誤差條件下固定偏差估計(jì)RMSE

6 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了固定偏差下單站多外輻射源BR/ BRR多運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位問(wèn)題，提出了一種基于誤差校正的迭代后驗(yàn)DLS算法。該方法選擇合適的輔助變量建立多個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)參數(shù)和BR/BRR固定偏差聯(lián)合估計(jì)新方程，利用輔助變量和目標(biāo)參數(shù)的等式關(guān)系設(shè)計(jì)改進(jìn)DLS算法，通過(guò)后驗(yàn)迭代進(jìn)行誤差校正進(jìn)一步提高算法定位精度和全局收斂性。理論分析和仿真結(jié)果顯示：

(2) 量測(cè)噪聲較大( σe≤1000 m)時(shí)，本文算法目標(biāo)位置和速度定位精度均能達(dá)到CRLB。

(3) 量測(cè)噪聲適中( σe≤400 m)時(shí)，本文算法對(duì)偏差估計(jì)精度達(dá)到CRLB，實(shí)現(xiàn)較好誤差校正。