李紀(jì)三

(南京船舶雷達(dá)研究所 南京 210000)

1 引言

三坐標(biāo)雷達(dá)(3D 雷達(dá))是指能同時(shí)測量目標(biāo)距離、方位和仰角或高度的雷達(dá)，采用相控陣天線的三坐標(biāo)(3D)雷達(dá)是目前3D雷達(dá)的主要品種，但多數(shù)采用的是只在仰角上進(jìn)行電掃描的線性陣列天線，這種1維電掃陣列天線還不能充分發(fā)揮相控陣?yán)走_(dá)的優(yōu)勢，在性能上受到較大的限制，這是由于天線在方位上以機(jī)械方式實(shí)現(xiàn)掃描時(shí)，采用單波束相掃的3D雷達(dá)在搜索狀態(tài)下每個(gè)波束位置上的脈沖照射次數(shù)或波束駐留時(shí)間是有限的，很大程度上影響了雷達(dá)的反雜波性能，盡管天線波束在仰角上具有掃描的靈活性，雷達(dá)探測信號的能量可在仰角方向上合理分配，但所有的靈活性均只能在天線方位波束以機(jī)械方式掃過每個(gè)方位的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)，因而工作方式的自適應(yīng)能力不強(qiáng)，使雷達(dá)性能得不到充分發(fā)揮[1]。

為了滿足對新一代3D雷達(dá)的多任務(wù)、多功能需求，需要采用在方位與仰角上均能靈活掃描的相控陣天線，這種2維電掃相控陣天線安裝在可旋轉(zhuǎn)的天線座上，天線方位上機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為360°，因此在任一方位角位置上，天線波束可在一定的方位與仰角范圍內(nèi)作高速相控掃描。在實(shí)現(xiàn)雷達(dá)信號能量管理方面，具有更多的靈活性。首先，在搜索方面，信號能量可同時(shí)在方位與仰角上進(jìn)行合理分配，有利于實(shí)現(xiàn)集中信號能量(燒穿)工作方式。在雷達(dá)監(jiān)視區(qū)域以外或非重點(diǎn)監(jiān)視區(qū)域，以及在經(jīng)若干次累積檢測均沒有發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的局部方位區(qū)域，當(dāng)天線在方位上機(jī)械旋轉(zhuǎn)掃過時(shí)，可以分配較少的能量資源，而將信號發(fā)射到相鄰的需要檢測目標(biāo)的方位區(qū)域。其次，在目標(biāo)跟蹤方面，根據(jù)目標(biāo)的態(tài)勢和威脅度可采用多種模式自適應(yīng)跟蹤[2]。因此，為發(fā)揮最大的作戰(zhàn)效能，需對跟蹤的目標(biāo)和掃描的空域進(jìn)行實(shí)時(shí)的威脅度評估，并在此基礎(chǔ)上對掃描空域進(jìn)行規(guī)劃，對工作模式進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，對資源進(jìn)行合理調(diào)配，可使之更有效地工作[3-5]。

對跟蹤目標(biāo)的威脅度的評估，國內(nèi)外作了充分的研究，目前常用的評估方法主要包括層次分析法、熵值法、模糊邏輯法和基于最大隸屬度的多屬性決策方法以及證據(jù)、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)理論等[6-9]。而對區(qū)域的威脅度評估研究相對較少，雷達(dá)設(shè)計(jì)師對掃描區(qū)域的劃分也主要在仰角上，在不同的仰角層采用不同的信號波形，如英國的MESAR雷達(dá)[10]。

對區(qū)域的威脅度實(shí)時(shí)評估是2維旋轉(zhuǎn)相控陣?yán)走_(dá)優(yōu)化探測效果的關(guān)鍵，為此本文提出一種旋轉(zhuǎn)相控陣?yán)走_(dá)威脅區(qū)域的評估方法，通過對雷達(dá)最威脅路徑進(jìn)行建模，將某點(diǎn)探測概率的倒數(shù)等價(jià)為目標(biāo)通過該點(diǎn)的速度，探測概率越大，則目標(biāo)通過該點(diǎn)花費(fèi)的時(shí)間越多，反之則目標(biāo)通過該處花費(fèi)的時(shí)間越少，以此將威脅路徑的求解轉(zhuǎn)化為旅行用時(shí)最短問題。

本文采用快速行進(jìn)法求解旅行用時(shí)最短滿足的離散的程函方程，將雷達(dá)所在處作為源點(diǎn)，每點(diǎn)的探測概率作為該點(diǎn)的速度，從源點(diǎn)到達(dá)任一點(diǎn)的最短用時(shí)滿足程函方程，將程函方程離散后并用快速行進(jìn)法求解，得到了所有點(diǎn)到源點(diǎn)的最短用時(shí)，然后計(jì)算每點(diǎn)最短用時(shí)的梯度，利用梯度下降法，回溯找出目標(biāo)點(diǎn)到源點(diǎn)的路徑，該路徑即為目標(biāo)到源點(diǎn)的最短路徑。在雷達(dá)警戒區(qū)域的邊界上，每隔1°設(shè)置1個(gè)目標(biāo)的初始點(diǎn)，計(jì)算出每點(diǎn)到達(dá)雷達(dá)源點(diǎn)的最短路徑，并對每條路徑進(jìn)行探測概率積分求和，最小的對應(yīng)著最威脅路徑，最威脅路徑所在的方位區(qū)域即為最威脅區(qū)域。

2 雷達(dá)的檢測概率

雷達(dá)的最威脅路徑的計(jì)算，可以等價(jià)為導(dǎo)彈的路徑規(guī)劃問題，即導(dǎo)彈從雷達(dá)的警戒區(qū)域的邊界上某點(diǎn)A飛向雷達(dá)，總存在一條路徑，相對于其他的路徑，使得導(dǎo)彈最不容易被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)[11]，那么這條路徑就是導(dǎo)彈對應(yīng)初始點(diǎn)A的最優(yōu)路徑。對于雷達(dá)來說，導(dǎo)彈的最優(yōu)路徑就是雷達(dá)的最威脅路徑。雷達(dá)在警戒區(qū)域的某點(diǎn)對導(dǎo)彈的發(fā)現(xiàn)能力通常用發(fā)現(xiàn)概率或者檢測概率 PD描述，檢測概率與目標(biāo)的信噪比正相關(guān)。在加性高斯噪聲情況下，保持恒虛警率進(jìn)行目標(biāo)檢測時(shí)，目標(biāo)檢測概率與信噪比的關(guān)系近似滿足式(1)(回波信號單幀檢測，不做積累等處理)[12]

其中， SNR 為以dB為單位的信噪比；PF為虛警率，一般取PF=10-6；PD為目標(biāo)檢測概率，補(bǔ)余誤差函數(shù)為

檢測概率與雷達(dá)的信噪比正相關(guān)，雷達(dá)的信噪比越大則檢測概率越大，為了求出雷達(dá)在某處的檢測概率，需要求出雷達(dá)在此處的信噪比，文獻(xiàn)[13]給出了涵蓋目標(biāo)態(tài)勢影響、環(huán)境態(tài)勢影響并考慮雷達(dá)接收機(jī)噪聲、系統(tǒng)損耗、脈沖積累的信號處理方式等主要因素的信噪比計(jì)算公式。

3 快速行進(jìn)法計(jì)算雷達(dá)最威脅路徑

3.1 最威脅路徑

雷達(dá)的最威脅路徑，等價(jià)于來襲導(dǎo)彈的最優(yōu)路徑，即導(dǎo)彈沿著該路徑抵達(dá)雷達(dá)，最不容易被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)。如果一條路徑檢測概率的積分小于另外一條路徑，則認(rèn)為這條路徑對雷達(dá)來說的威脅度大于另外一條路徑，因此雷達(dá)的最威脅路徑可表示為在警戒區(qū)域φ 內(nèi) 路徑c 的檢測概率積分最小

式(3)是典型的在區(qū)域內(nèi)求極值問題，可用泛函的變分來求解，泛函的變分計(jì)算過程為

自變量x 在 區(qū)間[ a, b]內(nèi) 存在一個(gè)函數(shù)y (x)，并且滿足邊界條件

并使泛函

取極值。

式(5)的泛函極值條件為δ V =0，即

根據(jù)式(5)，最威脅路徑的泛函可寫為

其中， g(x,y) 為在點(diǎn)( x,y) 的檢測概率，a 為雷達(dá)所在的點(diǎn)， b為導(dǎo)彈的位置，V 為整個(gè)路徑上檢測概率的積分，求得 V最小值對應(yīng)的路徑即為導(dǎo)彈從b 飛向a 的最威脅路徑。

根據(jù)最小作用原理[11]

聯(lián)立式(13)和式(14)平方相加可得

計(jì)算出所有網(wǎng)格點(diǎn)的 V 后，利用梯度下降法可以 回溯出積分最短的路徑。

3.2 快速行進(jìn)法求解程函方程

Sethian[14]于1996年首次提出快速行進(jìn)法(fast marching method)，通過數(shù)值方法求解程函方程(eikonal equation)的近似解，以解決界面的傳播問題，將上節(jié)中的程函方程重寫為

其中， φ是2維或3維區(qū)域，τ 是區(qū)域邊界。在界面?zhèn)鞑栴}中，V (x)的 物理意義是到達(dá)點(diǎn)x 時(shí) 間，g(x)是界面在點(diǎn) x處的局部傳播速度的倒數(shù)，也可以理解為在此點(diǎn)代價(jià)函數(shù)。在計(jì)算雷達(dá)的最短路徑中，V(x)為 源點(diǎn)到初始點(diǎn)的檢測概率積分，g (x)為檢測概率。

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，利用差分法對式(17)進(jìn)行離散可得

Δx, Δy 是在x 軸 和y 軸的網(wǎng)格寬度。

如果令

則離散的程函方程化簡為

快速行進(jìn)法計(jì)算的流程如圖1所示[15,16]：(1)首先初始化源點(diǎn)O點(diǎn)的值，假設(shè)O點(diǎn)坐標(biāo)為 x3,3；(2)將O點(diǎn)相鄰的節(jié)點(diǎn)即x2,3, x3,2, x3,4, x4,3移入窄帶區(qū)，用迎風(fēng)法(upwind methods)計(jì)算窄帶區(qū)各節(jié)點(diǎn)的可能值[17]；(3)從窄帶區(qū)中找出值最小的節(jié)點(diǎn)(假設(shè)是節(jié)點(diǎn) x3,2)，節(jié)點(diǎn)x3,2移入上風(fēng)區(qū)；(4)將節(jié)點(diǎn)x3,4點(diǎn) 周圍的x3,1, x4,2, x2,2移入窄帶區(qū)，并計(jì)算其可能值；(5)從窄帶區(qū)中找出值最小的節(jié)點(diǎn)(假設(shè)是節(jié)點(diǎn)x2,3) ，移入上風(fēng)區(qū)；(6)將節(jié)點(diǎn)x2,3點(diǎn)周圍的節(jié)點(diǎn) x1,3, x2,4移 入窄帶區(qū)，并用節(jié)點(diǎn)x2,3的值計(jì)算其可 能值。

3.3 梯度下降法回溯最短路徑

圖1 快速行進(jìn)法步驟

本文用于求解最威脅路徑的梯度下降法，也稱作最速下降法，是求解無約束優(yōu)化問題的經(jīng)典方法?？梢詫⒇?fù)梯度方向作為1維搜索的方向，用于解決優(yōu)化問題，因此這種方法被稱作梯度下降法。

考慮f(x)的泰勒展開式

如果函數(shù)值想要下降得最快，則需要?f(xk)Δxk取最小值，即

也就是說，此時(shí)x的變化方向(Δ xk的方向)跟梯度? f(xk)的方向恰好相反。

取步長為αk=α||?f(xk)||，于是牛頓迭代公式變?yōu)?/p>

此時(shí) α是一個(gè)固定值，稱為學(xué)習(xí)率，通常取0 .1，該方法稱為固定學(xué)習(xí)率的梯度下降法。

4 仿真計(jì)算

4.1 檢測概率圖的生成

雷達(dá)的探測區(qū)域半徑為 300 km，雷達(dá)在坐標(biāo)(300 km, 300 km)處，令Δ x, Δy 在x 軸 和y 軸的網(wǎng)格寬度為 Δ x=Δy =1 km，由于真實(shí)的雷達(dá)檢測概率涉及雷達(dá)的詳細(xì)參數(shù)，為了重點(diǎn)驗(yàn)證算法的有效性，本文模擬生成雷達(dá)周圍的探測概率圖，警戒探測區(qū)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的檢測概率設(shè)置為

其中， rand(1)為0～1之間的隨機(jī)數(shù)。在方位0°,90°, 180°和270°上設(shè)置了4個(gè)低檢測概率帶來模擬雷達(dá)的最威脅路徑，其檢測概率設(shè)置為

整個(gè)探測區(qū)域的檢測概率的分布如圖2所示。

5 快速行進(jìn)法計(jì)算走時(shí)

利用第3節(jié)介紹的快速行進(jìn)法計(jì)算從雷達(dá)源點(diǎn)開始到達(dá)任意點(diǎn)的走時(shí)V (x)， 網(wǎng)格上每點(diǎn)的V 值，如圖3所示，整個(gè)仿真區(qū)域?yàn)閤(0 km, 600 km)，y(0 km, 600 km)，雷達(dá)位于(300 km, 300 km)，在圖中計(jì)算出的V 值范圍(0～300)用顏色灰度表示。

圖2 檢測概率分布

圖3 警戒區(qū)域每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的V值

將每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的檢測概率設(shè)置為1，則 V的計(jì)算如圖4所示，當(dāng)設(shè)置每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的代價(jià)函數(shù)或者速度相同時(shí)，波面是按自由空間波傳播的形式向外傳播的，即離源點(diǎn)相同距離的網(wǎng)格點(diǎn)的V 值也相同。在圖5中，設(shè)置了每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的代價(jià)函數(shù)不同，并且在4個(gè)方向，代價(jià)函數(shù)較小， V值在這幾個(gè)方向相同距離段上也較小，與實(shí)際情況也是相符的。檢測概率越小，波前行的代價(jià)越小，則對應(yīng)的行進(jìn)速度也越快。設(shè)置了4條低檢測概率的通道，從計(jì)算中可以看出，在4個(gè)方位上相同距離段上的走時(shí)最小。設(shè)置了導(dǎo)彈的初始點(diǎn)在坐標(biāo)(520 km,560 km)，利用第4節(jié)介紹的最速下降法，回溯到雷達(dá)源點(diǎn)(300 km, 300 km)的最短路徑，路線結(jié)果如圖5所示。由圖5可以看出，導(dǎo)彈在接近雷達(dá)的過程中，會(huì)逐漸靠近0°這個(gè)低檢測概率帶，最后從方位0°方向到達(dá)雷達(dá)。

圖4 相同檢測概率的V 值

圖5 初始點(diǎn)(520, 560)的最短路徑

為了尋找雷達(dá)整個(gè)探測區(qū)域所有的威脅路徑以評估區(qū)域的威脅等級，在警戒區(qū)域的邊界上，按照方位1.5°間隔，設(shè)置了240個(gè)初始點(diǎn)，如圖6所示的圓上的點(diǎn)，圓心為雷達(dá)所在的位置，采用圖5計(jì)算出的 V值，利用最速下降法，求解這240個(gè)點(diǎn)最威脅路徑，圖6中的白線便是路徑，圖6的灰度值代表 V值與圖5相同，路徑大都匯聚在0°, 90°,180°和 270°這4個(gè)低檢測帶附近，與本文設(shè)置的低檢測概率通道一致，可以認(rèn)為這4個(gè)通帶區(qū)域威脅度較高，需要雷達(dá)調(diào)配更多的時(shí)間和能量資源來探測。將每條路徑的檢測概率進(jìn)行了求和，結(jié)果如圖7所示，在0°, 90°, 180°和 270°附近有區(qū)間的極小 值存在。

6 基于區(qū)域威脅度的資源調(diào)度仿真

具有2維相掃能力的相控陣?yán)走_(dá)，如圖8所示，通過在方位上提前掃描和方位上回掃，可以在方位和仰角兩個(gè)維度上調(diào)配資源，資源調(diào)配的力度和靈活性更大。

圖6 所有方位上的最短路徑

圖7 每個(gè)方位上的威脅路徑檢測概率積分

圖8 波束偏掃示意圖

相比于固定面陣相控陣?yán)走_(dá)，旋轉(zhuǎn)相控陣?yán)走_(dá)有以下特點(diǎn)[17]：天線通過360°機(jī)械旋轉(zhuǎn)覆蓋整個(gè)探測區(qū)域，固定相控陣?yán)走_(dá)采用3個(gè)或4個(gè)面陣共同覆蓋整個(gè)探測區(qū)域，因此旋轉(zhuǎn)相控陣?yán)走_(dá)成本更低，功耗更??；對任一方位，旋轉(zhuǎn)相控陣?yán)走_(dá)在2/3的時(shí)間天線波束照射不到，跟蹤的數(shù)據(jù)率不能連續(xù)漸變，只能離散取值。

為了提升旋轉(zhuǎn)相控陣?yán)走_(dá)的作戰(zhàn)效能，需要根據(jù)其掃描特點(diǎn)，合理地設(shè)計(jì)工作方式和資源調(diào)度策略，在雷達(dá)的探測區(qū)域內(nèi)，不同區(qū)域的雜波環(huán)境和態(tài)勢不同，為提升探測效果，可將探測區(qū)域在方位上分成若干個(gè)資源調(diào)度扇區(qū)，每個(gè)資源調(diào)度扇區(qū)分為若干個(gè)任務(wù)子扇區(qū)，同時(shí)根據(jù)第4節(jié)計(jì)算的任務(wù)子扇區(qū)的威脅度，不同的威脅度采用不同的數(shù)據(jù)率，或者根據(jù)威脅度分配不同的時(shí)間能量資源[2-4,18,19]。

在局部任務(wù)負(fù)載較重的情況下，較大的資源分區(qū)能夠使資源分配更優(yōu)化，使局部較大的負(fù)載量向兩邊釋放。天線勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，較大的分區(qū)必然要通過天線的偏掃來完成任務(wù)，天線的偏移量過多，會(huì)造成能量的損失和精度的下降。確定分區(qū)大小要考慮的因素：天線的轉(zhuǎn)速、警戒的數(shù)據(jù)率、調(diào)度間隔大小、波束偏移的限制[20,21]，分區(qū)大小計(jì)算如下。

相控陣?yán)走_(dá)按照調(diào)度間隔編排任務(wù)，天線選擇一圈的時(shí)間為T_circle(通常為1 s, 2 s和4 s)，調(diào)度間隔T_interval(通常取值為50 ms, 100 ms)，每個(gè)調(diào)度間隔對應(yīng)的任務(wù)區(qū)間φ 為

如果T_circle取值為4s，T_interval取值為100 ms，則一個(gè)調(diào)度間隔對應(yīng)的天線轉(zhuǎn)過的區(qū)域?yàn)?°。每個(gè)資源調(diào)度扇區(qū)包含著整數(shù)個(gè)調(diào)度間隔，根據(jù)上面的分析，資源調(diào)度扇區(qū)大小要適中，所以每個(gè)資源扇區(qū)可選擇調(diào)度間隔數(shù)為：3, 4和5，對應(yīng)著扇區(qū)大小為27°, 36°和45°，整個(gè)警戒區(qū)域360°對應(yīng)的扇區(qū)數(shù)為360°/27°=13.3, 360°/36°=10,360°/45°=8。整個(gè)警戒區(qū)域的扇區(qū)數(shù)最好為整數(shù)，則扇區(qū)大小可選為：36°和45°。

綜合考慮計(jì)算的復(fù)雜度和調(diào)度的實(shí)時(shí)性，可取資源調(diào)度扇區(qū)大小為45°，每個(gè)資源調(diào)度扇區(qū)內(nèi)包含調(diào)度間隔個(gè)數(shù)M=5。每個(gè)資源調(diào)度扇區(qū)再劃分為若干個(gè)任務(wù)子扇區(qū)，每個(gè)任務(wù)扇區(qū)單獨(dú)計(jì)算威脅度，然后根據(jù)威脅度確定搜索的數(shù)據(jù)率?？紤]到工程的實(shí)現(xiàn)的簡單性要求的考慮，每個(gè)任務(wù)調(diào)度子扇區(qū)與調(diào)度間隔內(nèi)天線轉(zhuǎn)過的角度可選擇一致，子扇區(qū)的大小為9°，即每個(gè)資源調(diào)度扇區(qū)包含著任務(wù)子扇區(qū)的個(gè)數(shù)為N=5，資源調(diào)度扇區(qū)和任務(wù)子扇區(qū)的關(guān)系如圖9所示。

圖9 扇區(qū)分區(qū)示意圖

如圖10所示，對旋轉(zhuǎn)相控陣?yán)走_(dá)分區(qū)資源調(diào)度進(jìn)行了仿真，系統(tǒng)按調(diào)度扇區(qū)分配時(shí)間資源，在搜索的方式下，每個(gè)調(diào)度扇區(qū)的總時(shí)間資源除去精跟、確認(rèn)、失跟捕獲等高優(yōu)先級任務(wù)后，剩余的時(shí)間均勻地分配給任務(wù)子扇區(qū)，根據(jù)子扇區(qū)的威脅度確定搜索數(shù)據(jù)率，根據(jù)數(shù)據(jù)率確定本圈需要掃描的子扇區(qū)。若每個(gè)扇區(qū)預(yù)先留出突發(fā)任務(wù)的駐留時(shí)間，在無突發(fā)任務(wù)時(shí)又會(huì)造成極大的浪費(fèi)，而且無法估計(jì)任務(wù)的個(gè)數(shù)，為此可采取扇區(qū)資源延遲補(bǔ)償策略，將本扇區(qū)的突發(fā)任務(wù)占有時(shí)間，移到下個(gè)扇區(qū)進(jìn)行均衡。

圖10 資源調(diào)度仿真圖

7 結(jié)論

雷達(dá)警戒區(qū)的威脅度評估是旋轉(zhuǎn)相控陣?yán)走_(dá)資源調(diào)度需要解決的關(guān)鍵問題之一，本文將雷達(dá)警戒區(qū)威脅度的評估問題，轉(zhuǎn)化為求解雷達(dá)最威脅路徑，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為最短路徑問題，即路徑上檢測概率的積分最小，利用快速行進(jìn)法計(jì)算走時(shí)，然后通過最速下降法回溯出最威脅路徑，將威脅路徑所在的區(qū)域標(biāo)記為最威脅區(qū)，通過增加威脅區(qū)的數(shù)據(jù)率來提高該區(qū)威脅目標(biāo)的探測概率。經(jīng)仿真驗(yàn)證，威脅度評估方法合理有效，且在工程應(yīng)用上有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義；對于多功能相控陣?yán)走_(dá)，可根據(jù)區(qū)域威脅度自適應(yīng)調(diào)度波束實(shí)現(xiàn)對高威脅區(qū)進(jìn)行加密搜索，從而實(shí)現(xiàn)對相控陣?yán)走_(dá)資源的優(yōu)化管理。