左 燕 劉雪嬌 彭冬亮

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 杭州 310018)

1 引言

隨著隱身飛機(jī)、反輻射導(dǎo)彈和電子對(duì)抗等技術(shù)發(fā)展，無(wú)源探測(cè)系統(tǒng)具有不主動(dòng)發(fā)射電磁信號(hào)、隱蔽性好、覆蓋范圍廣等優(yōu)點(diǎn)[1]，已廣泛應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤、監(jiān)視、導(dǎo)航和無(wú)線通信等領(lǐng)域。

在無(wú)源探測(cè)系統(tǒng)中，角度信息(Angel Of Arrival,AOA)是基本的觀測(cè)信息之一。基于AOA的定位跟蹤算法相繼提出，包括極大似然估計(jì)(ML)[2]、最小二乘估計(jì)(LS)[3]、偽線性估計(jì)(PLE)[4]、擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)[5]等。大量研究結(jié)果表明：AOA定位性能不僅取決于傳感器量測(cè)精度，還與目標(biāo)-傳感器的幾何位置有關(guān)[6]。當(dāng)測(cè)角傳感器(如紅外傳感器、光電設(shè)備、無(wú)源雷達(dá))部署在多個(gè)無(wú)人機(jī)上，通過(guò)優(yōu)化無(wú)人機(jī)(Unmanned Aerial Vehicles, UAV)位置可以進(jìn)一步提高AOA協(xié)同定位性能[7]，AOA協(xié)同定位下無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃成為研究熱點(diǎn)。

針對(duì)AOA協(xié)同定位問(wèn)題，基于最大化FIM行列式指標(biāo)(D準(zhǔn)則)的最優(yōu)幾何分析[6]和UAV最優(yōu)路徑規(guī)劃[7,8]相繼提出。由于D準(zhǔn)則可能導(dǎo)致大的估計(jì)偏差[8]，基于最小化CRLB的跡指標(biāo)(A準(zhǔn)則)下UAV路徑規(guī)劃隨之提出[9,10]，通過(guò)非線性規(guī)劃優(yōu)化算法[11]在線計(jì)算滿(mǎn)足各種狀態(tài)約束和環(huán)境約束條件的UVA的軌跡，使跟蹤目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)接近CRLB。為滿(mǎn)足無(wú)人機(jī)實(shí)時(shí)在線計(jì)算，參數(shù)化路徑優(yōu)化算法[12]被提出，該算法基于信息增益離線計(jì)算一組傳感器-目標(biāo)最優(yōu)構(gòu)型集合，在線選擇最優(yōu)UAV航跡，該方法只適合單個(gè)UAV。文獻(xiàn)[13]采用歸一化梯度算法計(jì)算UAV最優(yōu)航跡，易陷入局部最優(yōu)。

上述AOA協(xié)同定位問(wèn)題假設(shè)量測(cè)噪聲方差為常數(shù)，而理論[14]和實(shí)驗(yàn)[15]研究顯示AOA量測(cè)噪聲方差是距離的函數(shù)。文獻(xiàn)[16]提出了一種聯(lián)合最小二乘和非線性漸消濾波算法(LS-ISFEKF)。文獻(xiàn)[17]基于廣義CRLB(Generalized CRLB, GCRLB)[14]的跡最小化指標(biāo)分析無(wú)約束下距離相關(guān)噪聲AOA協(xié)同定位最優(yōu)幾何結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[18]提出了一種距離相關(guān)噪聲AOA協(xié)同定位下基于演化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的UAV路徑規(guī)劃。不同于上述研究工作，本文主要?jiǎng)?chuàng)新工作如下：(1)提出了一種聯(lián)合極大似然估計(jì)和變?cè)鲆鎁KF濾波的定位跟蹤算法，適應(yīng)量測(cè)噪聲方差隨距離的變化；(2)基于GCRLB的跡最小化指標(biāo)，分析了距離和角度約束下最優(yōu)傳感器幾何構(gòu)型；(3)考慮距離相關(guān)噪聲特征，以最小化GCRLB的跡為目標(biāo)函數(shù)，建立多約束UAV路徑規(guī)劃模型，結(jié)合罰函數(shù)和LM算法優(yōu)化求解，兼顧性能和效率。

2 距離相關(guān)噪聲AOA協(xié)同定位

在實(shí)際應(yīng)用中測(cè)角傳感器裝載在多個(gè)UAV上，通過(guò)控制UAV運(yùn)動(dòng)方向使得傳感器到達(dá)最佳探測(cè)位置，從而獲得對(duì)目標(biāo)更加精確的量測(cè)信息，減小定位誤差。在傳統(tǒng)UAV路徑規(guī)劃框架[7]的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了距離相關(guān)噪聲AOA協(xié)同定位方法總體框架(見(jiàn)圖1)。給定距離相關(guān)噪聲AOA量測(cè)，利用ML和變?cè)鲆鎁KF獲得目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)值，計(jì)算距離相關(guān)噪聲AOA協(xié)同定位GCRLB指標(biāo)。以GCRLB跡最小化為目標(biāo)函數(shù)，建立多約束路徑規(guī)劃模型，結(jié)合罰函數(shù)和LM算法優(yōu)化求解得到UAV的最優(yōu)航向角，控制UAV運(yùn)動(dòng)到最優(yōu)航路點(diǎn)。

2.1 距離相關(guān)噪聲量測(cè)模型

2維空間下M個(gè)測(cè)角傳感器分別部署在M個(gè)UAV上對(duì)目標(biāo)定位。令目標(biāo)位置Star=[xtar,ytar]T，速度傳感器i的 位置Si=[xi,yi]T，速度則傳感器i獲得角度量測(cè)值

其中， θi為傳感器i測(cè) 量的方位角，且- π ＜θi≤π。ni為 加性量測(cè)噪聲，服從零均值，方差為高斯分布，即ni～N(0,)。

在實(shí)際應(yīng)用中，傳感器方位角量測(cè)噪聲方差與信號(hào)的信噪比SNR有關(guān)[14]。當(dāng)傳感器工作參數(shù)相同時(shí)，SNR僅取決于傳感器和目標(biāo)的距離，傳感器i的量測(cè)噪聲方差可以描述為[15]

圖1 距離相關(guān)噪聲AOA協(xié)同定位框架

2.2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

其中，F(xiàn)k為 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；ek為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)噪聲，服從 均值為零，協(xié)方差為Q 的高斯分布。

2.3 ML-VUKF算法

考慮AOA量測(cè)噪聲方差隨目標(biāo)-傳感器距離變化特點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種聯(lián)合ML估計(jì)和變?cè)鲆鎁KF算法(記為ML-VUKF算法)，具體如下：

(1) 初始值：采用ML估計(jì)算法[2]確定目標(biāo)初始狀態(tài)X ˉk|k。

(2) 生成Sigma點(diǎn)εnk及其權(quán)重wn

其中， N 為Sigma點(diǎn)的維數(shù)；λ 為標(biāo)度參數(shù)，它確定圍繞狀態(tài)向量Xk均值的Sigma點(diǎn)的分布。

(3) 預(yù)測(cè)：計(jì)算Sigma點(diǎn)的一步預(yù)測(cè)，及相應(yīng)量測(cè)預(yù)測(cè)值。

(4) 計(jì)算增益：根據(jù)目標(biāo)一步預(yù)測(cè)值更新量測(cè)噪聲方差，以此更新濾波器增益。

式(10)和式(11)中， R?r為距離相關(guān)量測(cè)噪聲方差。由于目標(biāo)非合作，用目標(biāo)一步預(yù)測(cè)值X ˉk+1|k代替目標(biāo)位置真實(shí)值，計(jì)算 R?r。利用式(12)計(jì)算增益，該值是目標(biāo)-傳感器距離的隱函數(shù)。

(4) 狀態(tài)更新：根據(jù)新的量測(cè)更新目標(biāo)狀態(tài)和狀態(tài)協(xié)方差。

3 GCRLB指標(biāo)下最優(yōu)傳感器位置分析

3.1 GCRLB性能指標(biāo)

考慮量測(cè)噪聲與距離相關(guān)的特點(diǎn)，采用廣義CRLB指標(biāo)(GCRLB)[14]，以GCRLB的跡最小化為指標(biāo)進(jìn)行傳感器和目標(biāo)最優(yōu)幾何分布構(gòu)型。

在高斯噪聲假設(shè)下，距離相關(guān)量測(cè)噪聲下AOA目標(biāo)定位FIM為[14]

其中，

FIM的行列式為

GCRLB定義為FIM的逆[14]

GCRLB的跡為

3.2 無(wú)約束最優(yōu)傳感器位置分析

以GCRLB的跡最小化為定位性能指標(biāo)，分析傳感器-目標(biāo)的最佳位置。將 A, B1和 B2具體形式代入式(24)，展開(kāi)可得

式中，φij=θj-θi為 傳感器i和 傳感器j 的夾角。

(1) 給定任意距離 ri， 分析傳感器最佳角度φij。最小化GCRLB的跡等價(jià)于優(yōu)化問(wèn)題

取sin 2φij=0,j /=i,i=1,2,···,M時(shí)，最 優(yōu) 角度與距離 ri無(wú) 關(guān)，最優(yōu)交會(huì)角為φij=±π/2(j /=i)。

(2) 給定任意角度 φij， 分析傳感器i最佳距離ri。 將ai, bi, ci, di具體形式代入式(25)可得

上述函數(shù)f2(ri)隨 著距離ri的減小而減小，因此固 定傳感器之間夾角，傳感器距目標(biāo)越近越好。

3.3 約束最優(yōu)傳感器位置分析

考慮傳感器最小探測(cè)安全距離約束以及UAV運(yùn)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)角度約束，分析角度約束和距離約束條件下傳感器最優(yōu)幾何位置。

求導(dǎo)得到最優(yōu)性條件

最優(yōu)交會(huì)角為φij=π/M, GCRLB的跡最優(yōu)值為

(1) 當(dāng)π /2 ≤θmax-θmin≤2π時(shí)，最優(yōu)性條件

(2) 當(dāng) π/M ≤θmax-θmin≤π/2 時(shí)， M個(gè)傳感器最優(yōu)分布滿(mǎn)足式(33)的條件

(3) 當(dāng)0 ≤θmax-θmin≤π/M時(shí)，對(duì)非線性目標(biāo)函數(shù)(式(31))在區(qū)間[ θmin,θmax]進(jìn)行梯度下降搜索[17]可 得最優(yōu)傳感器位置數(shù)值解。

4 AOA協(xié)同定位下UAV路徑優(yōu)化

在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，針對(duì)距離相關(guān)噪聲特性，以GCRLB的跡最小化[14,18]為目標(biāo)函數(shù)，考慮UAV運(yùn)行過(guò)程中運(yùn)動(dòng)約束、通信和避碰約束、探測(cè)約束等，建立多約束AOA協(xié)同定位UAV路徑規(guī)劃模型。

其中， v 為UAV飛行速度，φi(k) 為 第i個(gè)UAV的航向角，φ (k)=[φ1(k),φ2(k),···,φM(k)]T; φmax為最大允許轉(zhuǎn)彎率， rdmax為UAV對(duì)目標(biāo)的最大安全探測(cè)距離，rsmax和rsmin分別為UAV之間最大安全避碰距離和最小通信距離；式(34)為目標(biāo)函數(shù)；式(35)為UAV運(yùn)動(dòng)模型；式(36)為UAV轉(zhuǎn)彎率限制；式(37)為UAV對(duì)目標(biāo)最大安全探測(cè)距離約束；式(38)和式(39)分別為UAV之間最小通信約束和最大安全避碰約束。

該問(wèn)題是帶約束的非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造罰函數(shù)將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題

無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題(式(40))可以采用梯度下降法[13]或牛頓法[7]迭代求解。牛頓法收斂快，但黑塞矩陣的逆求解時(shí)間復(fù)雜度高。梯度下降法時(shí)間復(fù)雜度低，但收斂速度慢，易陷入局部極小。本文采用LM算法[19]，它是梯度下降法和高斯牛頓法的自適應(yīng)結(jié)合，當(dāng)解遠(yuǎn)離最優(yōu)值時(shí)梯度下降，在最優(yōu)解鄰域時(shí)快速收斂，滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)場(chǎng)景的實(shí)時(shí)性。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真場(chǎng)景設(shè)置如下[7]：3個(gè)可移動(dòng)傳感器對(duì)1個(gè)目標(biāo)進(jìn)行定位。目標(biāo)位置[10000, 3000] m，采樣間隔T = 1 s。3個(gè)傳感器分別裝載在3個(gè)UAV平臺(tái)。UAV1的初始位置為[1000, 1000] m, UAV2的初始位置為[2000, 0] m, UAV3的初始位置為[1000,-1000] m。3個(gè)UAV的運(yùn)動(dòng)速度均為40 m/s。UAV最大允許轉(zhuǎn)彎率φmax=4°，UAV對(duì)目標(biāo)的最大安全探測(cè)距離rdmax為20 km，UAV之間最大安全避碰距離rsmax為 7500 m，最小通信距離rsmin為200 m。所有UAV上部署精度相同測(cè)角傳感器。考慮傳感器測(cè)角量測(cè)噪聲服從零均值高斯分布，且量測(cè)方差距離相關(guān)。3個(gè)傳感器參考距離 r0為1500 m，參考距離對(duì)應(yīng)的信噪比 SNR0為30 dB，路徑損耗系數(shù)α為0.01。

首先，比較不同AOA定位跟蹤算法。將本文所提ML-VUKF與ML-MEKF[5]和LS-ISFEKF[16]算法進(jìn)行比較，蒙特卡洛次數(shù)為1000，圖2給出不同定位跟蹤算法下目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)誤差MSE比較曲線。

其次，研究相同精度測(cè)角傳感器AOA協(xié)同定位下路徑優(yōu)化性能。將本文所提基于GCRLB的路徑優(yōu)化算法(記為本文算法)與基于CRLB的路徑優(yōu)化算法[7](記為優(yōu)化算法[7])和常規(guī)直線軌跡飛行策略(記為直線軌跡)進(jìn)行比較，圖3至圖5分別給出3種UAV路徑優(yōu)化算法下UAV飛行航跡，圖6給出3種UAV路徑優(yōu)化算法下定位誤差MSE比較曲線。

圖2 不同AOA跟蹤算法下估計(jì)誤差MSE

圖3 直線飛行策略下UAV飛行航跡

圖4 優(yōu)化算法[7]下UAV飛行航跡

圖5 本文算法下UAV飛行航跡

圖6 不同算法下定位誤差MSE

圖7給出不同傳感器個(gè)數(shù)下定位誤差MSE比較曲線，隨著傳感器個(gè)數(shù)的增加目標(biāo)定位誤差MSE減小。對(duì)多個(gè)同類(lèi)傳感器組網(wǎng)，增加傳感器個(gè)數(shù)有望提升目標(biāo)定位精度。

最后，研究不同精度測(cè)角傳感器AOA協(xié)同定位下路徑優(yōu)化性能?？紤]不同精度的測(cè)角傳感器，UAV1, UAV2和UAV3上部署的測(cè)角傳感器在參考距離下的量測(cè)方差分別為 1°, 0 .8°和0 .1°。圖8給出不同量測(cè)精度下AOA協(xié)同定位UAV下飛行航跡。將其余相同精度(均為 1°)測(cè)角傳感器AOA協(xié)同定位下UAV飛行軌跡(見(jiàn)圖5)比較，傳感器測(cè)角精度 影響最佳傳感器位置分布。

6 結(jié)束語(yǔ)

圖7 不同傳感器個(gè)數(shù)下定位誤差MSE

圖8 不同測(cè)角精度傳感器協(xié)同定位下UAV飛行航跡

本文研究距離相關(guān)噪聲AOA協(xié)同定位下UAV路徑優(yōu)化問(wèn)題。首先針對(duì)AOA量測(cè)噪聲方差隨距離變化的特性，設(shè)計(jì)了一種ML-VUKF估計(jì)算法對(duì)目標(biāo)定位。其次，基于GCRLB的跡最小指標(biāo)分別分析了無(wú)約束和距離/角度約束條件下無(wú)人機(jī)和目標(biāo)最優(yōu)幾何分布構(gòu)型。最后，考慮UAV運(yùn)行中實(shí)際約束建立UAV路徑規(guī)劃模型，并采用基于罰函數(shù)和LM算法優(yōu)化求解。通過(guò)定位算法的改進(jìn)和UAV路徑優(yōu)化，提高距離相關(guān)噪聲AOA協(xié)同定位性能。理論分析和仿真結(jié)果顯示：

(1) 給出了角度和距離約束下最優(yōu)傳感器位置分布：傳感器和目標(biāo)的最優(yōu)距離為允許的最短距離rmin；當(dāng)角度約束θmax-θmin≥π/M 時(shí)， M個(gè)傳感器的最優(yōu)交會(huì)角為 π/2 ；若θmax-θmin＜π/M，則采用迭代下降搜索算法在區(qū)間[ θmin,θmax]進(jìn)行梯度下降搜索找到傳感器最優(yōu)位置數(shù)值解。

(2) 基于GCRLB跡最小化指標(biāo)UAV路徑優(yōu)化策略下AOA定位性能優(yōu)于基于CRLB跡最小化指標(biāo)下路徑優(yōu)化算法[7]。傳感器與目標(biāo)的距離越近，量測(cè)噪聲方差接近固定值，兩者算法定位性能接近。傳感器的個(gè)數(shù)增加可以提高AOA定位精度。

本文提出基于GCRLB的UAV路徑優(yōu)化問(wèn)題為單步?jīng)Q策。考慮當(dāng)前決策對(duì)長(zhǎng)期定位性能的影響，開(kāi)展基于GCRLB的多步?jīng)Q策下路徑優(yōu)化問(wèn)題是下一步需要研究的工作。