王有德

針對(duì)CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定和成像建模及算法研究

王有德

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

針對(duì)最基本的CT系統(tǒng)的成像原理和數(shù)據(jù)處理分析，用投影邊界分析法和插值法對(duì)模型展開(kāi)建立與優(yōu)化，并得到探測(cè)器單元點(diǎn)之間距離、X射線180個(gè)方向、未知介質(zhì)的幾何形狀和吸收率信息。最后運(yùn)用MATLAB對(duì)提出算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。通過(guò)以上方法，成像時(shí)需對(duì)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，并對(duì)未知結(jié)構(gòu)樣品進(jìn)行成像。

投影邊界分析法；插值法；MATLAB；CT系統(tǒng)

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，CT技術(shù)在醫(yī)學(xué)影像、農(nóng)林業(yè)、化工和工業(yè)無(wú)損檢測(cè)等諸多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[1-3]。隨著對(duì)CT系統(tǒng)的研究，出現(xiàn)了許多相關(guān)的研究成果。在傳統(tǒng)的K-SVD算法基礎(chǔ)上，利用雙層字典學(xué)習(xí)方法對(duì)圖像進(jìn)行重建，與傳統(tǒng)方法相比較，這種方法能恢復(fù)更多原始CT圖像的細(xì)節(jié)信息，使圖像的質(zhì)量得到了提升，達(dá)到了更好的重建效果[4]。不同的正則化算法被逐漸應(yīng)用到CT圖像重建，不同算法下的圖像重建效果不同，相比于其他算法雙邊總變分正則化算法[5]的圖像重建效果最好?；谥笖?shù)形式的濾波函數(shù)(EBFF)重建圖像，相比于上述文獻(xiàn)中提出的方法，指數(shù)形式的方法得到的圖像更逼真[6]。更先進(jìn)的科研級(jí)CCD相機(jī)和非晶硅平板探測(cè)器的2種典型三維CT系統(tǒng)和以上2套三維CT在生物醫(yī)學(xué)和工業(yè)無(wú)損檢測(cè)中的部分應(yīng)用結(jié)果也得到了研究[7]。上述文獻(xiàn)僅對(duì)CT圖像重建算法進(jìn)行了優(yōu)化或是對(duì)CT圖像技術(shù)在相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了研究。然而，CT圖像的成像原理和CT系統(tǒng)參數(shù)的標(biāo)定在研究相關(guān)問(wèn)題本質(zhì)，尤其是計(jì)算詳細(xì)數(shù)據(jù)時(shí)是非常重要的，這也正激發(fā)了本文運(yùn)用邊界分析法和插值法對(duì)其進(jìn)行研究。由于CT系統(tǒng)在安裝過(guò)程中存在誤差，對(duì)所建物體影像質(zhì)量有所影響，因此成像時(shí)需對(duì)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

本文以2017年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目為例，對(duì)CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定及成像原理進(jìn)行主要研究。

1 模型假設(shè)

假設(shè)X射線在傳播過(guò)程中能量不受除模型之外的其他影響。

假設(shè)不考慮單束射線的寬度。

假設(shè)經(jīng)過(guò)橢圓長(zhǎng)軸的射線與光的吸收?qǐng)D波峰接近重合。

假設(shè)經(jīng)過(guò)橢圓和小圓橫軸的射線與光的吸收?qǐng)D波峰接近重合。

假設(shè)忽略光的衍射現(xiàn)象。

假設(shè)X射線轉(zhuǎn)動(dòng)180次視為等角度旋轉(zhuǎn)。

假設(shè)標(biāo)定模板中心為質(zhì)點(diǎn)。

2 問(wèn)題一—建模與求解

本節(jié)的主要任務(wù)是對(duì)CT系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，本文對(duì)2種情況進(jìn)行考慮。第一種情況，假設(shè)托盤(pán)中心位置即為系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心的位置，由于共給定512個(gè)探測(cè)器單元，所以此時(shí)旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的探測(cè)器應(yīng)為第256個(gè)探測(cè)單元位置，可此處與波峰并不是對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此得到系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心與托盤(pán)中心不重合的結(jié)論，情況一的假設(shè)不成立。在第二種情況下，假設(shè)系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中心與托盤(pán)中心存在偏離，設(shè)定旋轉(zhuǎn)中心橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、旋轉(zhuǎn)中心與托盤(pán)中心的水平距離和垂直方向距離。根據(jù)水平距離、垂直距離和每個(gè)探測(cè)器單元點(diǎn)距離代數(shù)關(guān)系，計(jì)算出相應(yīng)數(shù)據(jù)，即為旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)。接著，從發(fā)生干涉的數(shù)據(jù)考慮，2條射線射向圓形介質(zhì)時(shí)會(huì)出現(xiàn)有限列數(shù)據(jù)，小圓直徑已知，后者與前者的比值即為檢測(cè)器單元之間的距離。由前面的分析得出結(jié)論：每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)方向，投影最寬的位置應(yīng)該對(duì)應(yīng)射線垂直長(zhǎng)軸的方向，最窄的地方應(yīng)該對(duì)應(yīng)射線平行長(zhǎng)軸的方向。將平行長(zhǎng)軸方向定義為0°方向，將0°與90°的線在圖中表示出來(lái)。通過(guò)MATLAB可計(jì)算出0°與90°所在列號(hào)，得到平均轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)，從而可計(jì)算出180次轉(zhuǎn)動(dòng)的方向。

針對(duì)問(wèn)題一，本文依據(jù)投影原理，對(duì)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行多層次分析，運(yùn)用MATLAB軟件將這些數(shù)據(jù)繪制為標(biāo)定接收強(qiáng)度光波圖，同時(shí)建立了幾何模型，對(duì)幾何模型進(jìn)行分析，得到模板示意圖位置和數(shù)據(jù)中不為0位置大致為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。建立笛卡爾坐標(biāo)系，利用投影邊界法、中心射線法原理以及幾何關(guān)系，通過(guò)設(shè)計(jì)標(biāo)定模板來(lái)接收與數(shù)據(jù)信息對(duì)應(yīng)的物理圖形，進(jìn)而得到旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)、各個(gè)探測(cè)器單元之間的距離。

步驟1 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行位置投影分析并建立幾何模型。

附件2有512行170列數(shù)據(jù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)為零，剩余數(shù)據(jù)都非零。定義零數(shù)據(jù)吸收率為0，非零數(shù)據(jù)吸收率為1。針對(duì)附件1，首先利用EXCEL表格篩選功能，對(duì)所給附件中的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選處理，篩選后得到如圖1所示的圖像。其中，白色表示吸收率為0的部分，粉色則表示吸收率為1的部分。

由于圖1只能反映吸收強(qiáng)度的大致圖像，而不能反居民點(diǎn)映吸收強(qiáng)度的大小。因此，為了更精確反映出各部分對(duì)光的吸收強(qiáng)度，利用MATLAB軟件做插值，繪制出了如圖2所示的模板在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的邊緣圖像。圖像中顏色的深淺反映了吸收強(qiáng)度的大小，即圖像顏色越深，標(biāo)定模板對(duì)光的吸收強(qiáng)度越大，反之，對(duì)光的吸收強(qiáng)度越小[8]。

圖1 附件2數(shù)據(jù)的邊緣

圖2 旋轉(zhuǎn)過(guò)程邊緣圖像

根據(jù)X射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理公式[8]，建立以下公式：

式中：表示X射線強(qiáng)度衰減率，表示穿過(guò)介質(zhì)的射線長(zhǎng)度。

當(dāng)X射線具有的能量一定時(shí)，衰減系數(shù)隨著射線穿過(guò)介質(zhì)材料不同而變化。比如軟組織的衰減率比骨骼小，因此X射線能量在骨骼中衰減得更快些。

其中，Δ表示每個(gè)探測(cè)器單元點(diǎn)之間的距離。此公式中每個(gè)單元點(diǎn)之間距離等于小圓介質(zhì)的直徑與附件二有限列數(shù)據(jù)的列數(shù)的比值。

由上述2個(gè)公式聯(lián)立可得出每個(gè)探測(cè)器單元點(diǎn)之間的距離Δ=0.2857。

步驟2 繪制特殊位置的標(biāo)定模板對(duì)光波的吸收?qǐng)D。

根據(jù)步驟1中對(duì)數(shù)據(jù)的分析，將探測(cè)器得到的512行數(shù)據(jù)進(jìn)行編號(hào)，得到探測(cè)器在219號(hào)和235號(hào)吸收率最大。對(duì)應(yīng)的吸收強(qiáng)度是在139次和61次，然后用MATLAB對(duì)這2個(gè)特殊位置做光波吸收?qǐng)D(橢圓長(zhǎng)軸光波圖見(jiàn)圖3，通過(guò)圓形和橢圓形最大長(zhǎng)度光波圖見(jiàn)圖4)。

圖3 橢圓長(zhǎng)軸光波

圖4 通過(guò)2種介質(zhì)最大長(zhǎng)度光波圖

根據(jù)波峰考慮，CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心與托盤(pán)中心存在偏離，在水平方向上距離為Δ，在垂直方向上距離為Δ。根據(jù)幾何關(guān)系公式：

水平方向偏離值等于探測(cè)器單元點(diǎn)個(gè)數(shù)與每個(gè)探測(cè)器單元點(diǎn)之間距離的乘積。從而便可得到如下在水平方向上偏離值：

垂直方向偏離值等于探測(cè)器單元點(diǎn)個(gè)數(shù)與每個(gè)探測(cè)器單元點(diǎn)之間距離的乘積。那么就可得到在垂直方向上的偏離值：

CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心橫坐標(biāo)為一半模板長(zhǎng)與水平方向偏離值的差。由于是差值，因此該點(diǎn)在水平方向是在托盤(pán)中心的左面：

CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心縱坐標(biāo)為一半模板寬與垂直方向偏離值。因?yàn)椴钪凳峭ㄟ^(guò)加法得到，所以該系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在垂直方向托盤(pán)中心的上方。

根據(jù)公式(3)~(6)，求得系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)(39.7148，55.714)。

步驟3 結(jié)合前面分析，用MATLAB和CAD軟件對(duì)附件2和附件1做出幾何模型。將2個(gè)模型在平面做出關(guān)聯(lián)(詳見(jiàn)圖5)。

圖5 幾何模型投影圖

由分析可得出結(jié)論：每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)方向，投影最寬的位置應(yīng)該對(duì)應(yīng)射線垂直長(zhǎng)軸的方向，最窄的地方應(yīng)該對(duì)應(yīng)射線平行長(zhǎng)軸的方向。將平行長(zhǎng)軸方向定義為0°方向，將0°與90°的線在圖中表示出來(lái)。通過(guò)MATLAB可計(jì)算出0°與90°所在列號(hào)，得到平均轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)，從而可計(jì)算出180次轉(zhuǎn)動(dòng)的方向。

由于MATLAB只能單一做出幾何模型，所以結(jié)合CAD作圖更能生動(dòng)形象具體表示這180個(gè)方向的存在范圍。通過(guò)MATLAB可以計(jì)算出0°所在列號(hào)為151，-90°所在的列號(hào)為58，即90°旋轉(zhuǎn)了93次，可計(jì)算出平均每次轉(zhuǎn)動(dòng)0.9677°。由此可計(jì)算出180次轉(zhuǎn)動(dòng)的方向。方向結(jié)果詳見(jiàn)表1和表2。

表1 前90組X射線方向

探測(cè)單元編號(hào)角度探測(cè)單元編號(hào)角度探測(cè)單元編號(hào)角度探測(cè)單元編號(hào)角度探測(cè)單元編號(hào)角度探測(cè)單元編號(hào)角度1-146.122716-131.607231-117.091746-102.576261-88.060776-73.54522-145.15517-130.639532-116.12447-101.608562-87.09377-72.57753-144.187318-129.671833-115.156348-100.640863-86.125378-71.60984-143.219619-128.704134-114.188649-99.673164-85.157679-70.64215-142.251920-127.736435-113.220950-98.705465-84.189980-69.67446-141.284221-126.768736-112.253251-97.737766-83.222281-68.70677-140.316522-125.80137-111.285552-96.7767-82.254582-67.7398-139.348823-124.833338-110.317853-95.802368-81.286883-66.77139-138.381124-123.865639-109.350154-94.834669-80.319184-65.803610-137.413425-122.897940-108.382455-93.866970-79.351485-64.835911-136.445726-121.930241-107.414756-92.899271-78.383786-63.868212-135.47827-120.962542-106.44757-91.931572-77.41687-62.900513-134.510328-119.994843-105.479358-9073-76.448388-61.932814-133.542629-119.027144-104.511659-89.996174-75.480689-60.965115-132.574930-118.059445-103.543960-89.028475-74.512990-59.9974

表2 后90組X射線方向

探測(cè)單元編號(hào)角度探測(cè)單元編號(hào)角度探測(cè)單元編號(hào)角度探測(cè)單元編號(hào)角度探測(cè)單元編號(hào)角度探測(cè)單元編號(hào)角度 91-57.0943106-42.5788121-28.0633136-14.5155151016614.5155 92-56.6654107-41.6111122-27.0956137-13.54781520.967716715.4832 93-55.1589108-40.6434123-26.1279138-12.58011531.935416816.4509 94-54.1912109-39.6757124-25.1602139-11.61241542.903116917.4186 95-53.2235110-38.708125-24.1925140-10.64471553.870817018.3863 96-52.2558111-37.7403126-23.2248141-9.6771564.838517119.354 97-51.2881112-36.7726127-22.2571142-8.70931575.806217220.3217 98-50.3204113-35.8049128-21.2894143-7.74161586.773917321.2894 99-49.3527114-34.8372129-20.3217144-6.77391597.741617422.2571 100-48.385115-33.8695130-19.354145-5.80621608.709317523.2248 101-47.4173116-32.9018131-18.3863146-4.83851619.67717624.1925 102-46.4496117-31.9341132-17.4186147-3.870816210.644717725.1602 103-45.4819118-30.9664133-16.4509148-2.903116311.612417826.1279 104-44.5142119-29.9987134-15.4832149-1.935416412.580117927.0956 105-43.5465120-29.031135-14.5155150-0.967716513.547818028.0633

3 問(wèn)題二—建模與求解

針對(duì)問(wèn)題二，運(yùn)用MATLAB對(duì)附件2數(shù)據(jù)處理并計(jì)算得到入射角度。根據(jù)X射線強(qiáng)度衰減與圖像重建原理，并進(jìn)行radon變換[9]。根據(jù)radon函數(shù)得到的吸收強(qiáng)度圖像顏色深淺判斷介質(zhì)為不規(guī)則的，并能找出橢圓4個(gè)邊界點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得未知介質(zhì)在托盤(pán)中的位置。結(jié)合MATLAB生成介質(zhì)吸收強(qiáng)度圖，運(yùn)用插值法計(jì)算得到10個(gè)點(diǎn)的吸收率。

步驟1 利用問(wèn)題1的方法，對(duì)未知介質(zhì)進(jìn)行位置預(yù)判斷。

圖6 Radon變換平面示意圖

將附件3中的數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB中，利用radon函數(shù)生成未知物質(zhì)在該平面上的吸收強(qiáng)度圖像，如圖6所示。

圖中白色圓圈為托盤(pán)中心位置，以白色圓點(diǎn)為起始點(diǎn)，向左平移50，向右平移50，向上平移50，向下平移50所形成的白色方框即為正方形托盤(pán)所在位置。藍(lán)色部分為吸收強(qiáng)度為0。

將附件3的數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中，利用imagesc函數(shù)生成未知介質(zhì)吸收強(qiáng)度圖，見(jiàn)圖7。

圖7 未知介質(zhì)吸收強(qiáng)度圖

此圖反映X射線穿過(guò)未知介質(zhì)不同位置對(duì)其吸收強(qiáng)度的不同，顏色深表示該點(diǎn)吸收強(qiáng)度大，反之強(qiáng)度小。

根據(jù)圖6可以判斷，藍(lán)色部分為吸收強(qiáng)度為0的點(diǎn)，可視為空氣所在位置，無(wú)吸收(吸收率為0)，為了確定位置物體中心，將圖6圖像二值化，得到圖8。利用MATLAB找出橢圓中的4個(gè)邊界點(diǎn)坐標(biāo)。

圖8 二值化后圖像

根據(jù)X射線能量衰減規(guī)律與圖像重建原理，X射線強(qiáng)度和入射強(qiáng)度公式可表達(dá)為：

此公式表示X射線穿過(guò)均勻的材料介質(zhì)時(shí)，能量衰減率與能量本身呈正比。

其中，0表示X射線入射強(qiáng)度。此公式表示當(dāng)X射線的能量一定時(shí)，衰減系數(shù)會(huì)隨著射線穿過(guò)介質(zhì)材料的不同而發(fā)生指數(shù)趨勢(shì)的變化。

計(jì)算圖8中紅色區(qū)域距離橢圓中心的距離，根據(jù)幾何關(guān)系，計(jì)算出未知介質(zhì)中心相對(duì)于模板托盤(pán)中心的位置，從而可得未知介質(zhì)的坐標(biāo)(1,1)。將附件中的數(shù)據(jù)導(dǎo)入，經(jīng)MATLAB計(jì)算，得出中心坐標(biāo)為(204.5, 211.5)。

步驟2 利用坐標(biāo)變換及插值法，求出吸收率。

由圖6可知該不規(guī)則物體為一個(gè)非均勻介質(zhì)的物體[10]，用MATLAB做出附件1收率的幾何模型，吸收率由圖中不同顏色表示，見(jiàn)圖9。

圖9 附件1的吸收率

此圖反映不同顏色具有不同吸收率，但并不能反映具體數(shù)值。于是用MATLAB對(duì)變化后的數(shù)據(jù)做出幾何模型，見(jiàn)圖10。

圖10 附件1數(shù)據(jù)中坐標(biāo)變化后的吸收率

由圖10可知顏色深吸收率大，反之顏色淺吸收率小，最大吸收率為=1(表示變換前吸收率)，'=0.5('表示變換后吸收率)。根據(jù)吸收率公式：

(9)

其中，表示吸收率比值。由此公式可以得到，圖8中藍(lán)色區(qū)域的吸收率為0，橙色區(qū)域的吸收利率為1，紅色橢圓區(qū)域較大的部分吸收率為1.3，較小部分的吸收率為1.2，重疊部分的吸收率為1.5。

利用下面公式對(duì)附件3中10個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行變換：

已知角'=29.663，=198.7114，=216.6240。其中，表示橫坐標(biāo)變換常數(shù)，表示縱坐標(biāo)變換常數(shù)。

得到變換后點(diǎn)的坐標(biāo)如表3所示，由表可以看出10點(diǎn)的位置，通過(guò)對(duì)吸收強(qiáng)度矩陣中位置的查找，并使用插值法求出10點(diǎn)在吸收強(qiáng)度中的值如表3。

表3 坐標(biāo)變換

原坐標(biāo) 變換后的坐標(biāo) 吸收強(qiáng)度 xyx'y'Q'Q 101816.3792188.39960.00860.0172 34.525105.4620166.32920.00280.0058 43.533147.9214175.17860.48250.9652 4575.5228.8226305.24370.00110.0024 48.555.5203.8892236.49400.49360.9872 5075.5244.4408296.27720.00210.0044 5676.5264.9760288.64070.00390.0078 65.537223.8150148.22040.56101.1222 79.518233.473267.76450.01550.0312 98.543.5338.5521109.34460.02350.0470

結(jié)論：運(yùn)用MATLAB和圖形幾何關(guān)系得出物質(zhì)中心位置為(204.5, 211.5)，幾何形狀為一個(gè)大橢圓物體在一側(cè)有2個(gè)小橢圓孔，10個(gè)點(diǎn)的吸收率為0.0172、-0.0058、0.9652、0.0024、0.9872、-0.0044、0.0078、1.1222、0.0312、0.0470。

4 結(jié)論與展望

基于以往文獻(xiàn)，研究了如何在給定數(shù)據(jù)下求得CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心位置、各個(gè)探測(cè)器單元之間的距離、該CT系統(tǒng)使用的X射線的180個(gè)方向角度、未知介質(zhì)的幾何形狀以及10個(gè)位置處的吸收率的問(wèn)題。特別地，對(duì)于確定旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)使用曲線積分處理。進(jìn)而，運(yùn)用投影邊界法，將圓形介質(zhì)直徑與不發(fā)生干涉介質(zhì)的有限數(shù)據(jù)列數(shù)做比值，求得探測(cè)器單元之間的距離。其次，運(yùn)用radon變換和radon逆變換的數(shù)學(xué)知識(shí)求出未知介質(zhì)幾何形狀。最后利用MATLAB軟件確定未知介質(zhì)10個(gè)位置的吸收率。但本模型中考慮的X射線的旋轉(zhuǎn)角度不能達(dá)到真正意義上的90°，因此克服這一誤差問(wèn)題仍亟待解決。本文提出的邊界分析法已成功應(yīng)用于商業(yè)領(lǐng)域，因此對(duì)于想步入這一行列的單位及個(gè)人，系統(tǒng)地研究此算法是必要的，對(duì)其發(fā)展具有深遠(yuǎn)意義。

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Research on Parameter Calibration and Imaging Modeling and Algorithm of CT System

WANG You-de

（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

In this paper, according to the imaging principle and data processing analysis of the most basic CT system, the projection boundary analysis method and interpolation method are used to develop and optimize the model, and the distance between the detector unit points, 180 directions of X-ray, geometric shape and absorption rate of unknown media are obtained. Finally, the proposed algorithm is simulated and verified by MATLAB. Through the above methods, parameters need to be calibrated during imaging, the unknown structure of the sample imaged.

projection boundary analysis; interpolation method; MATLAB; CT system

O29

A

1674-3261(2021)02-0084-06

10.15916/j.issn1674-3261.2021.02.004

2020-10-07

王有德(1965-)，男，吉林吉林人，副教授，碩士。

責(zé)任編校：孫 林