李子超

[摘 要]高中立體幾何是提升直觀想象核心素養(yǎng)的重要載體.文章以棱錐的外接球問(wèn)題為例，分析解決立體幾何問(wèn)題的本質(zhì)：以長(zhǎng)（正）方體模型為基礎(chǔ)、以立體圖形平面化為核心、以幾何問(wèn)題代數(shù)化為手段，而促進(jìn)學(xué)生突破問(wèn)題難點(diǎn)，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力.

[關(guān)鍵詞]立體幾何問(wèn)題; 直觀想象能力;棱錐;外接球

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）11-0027-03

一、問(wèn)題的提出

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)確定了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個(gè)要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析[1].直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.立體幾何是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力、空間想象能力與一定的推理論證能力的很好的素材[2].而棱錐的外接球問(wèn)題，更能全方位、多角度、深層次地培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力.

在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)“棱錐的外接球問(wèn)題”這一內(nèi)容后，感覺(jué)問(wèn)題抽象難以理解.究其原因是，這類問(wèn)題結(jié)合多個(gè)幾何要素，空間位置關(guān)系較為復(fù)雜，加上學(xué)生對(duì)曲面圖形的直觀感覺(jué)較差，所以覺(jué)得問(wèn)題抽象難以解決.

本文以棱錐的外接球（如果一個(gè)棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么這個(gè)球就叫作棱錐的外接球）問(wèn)題為例，分析解決立體幾何問(wèn)題的本質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生突破問(wèn)題難點(diǎn)，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力.

二、立體幾何問(wèn)題的解題本質(zhì)

立體幾何主要研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置的關(guān)系. 通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)[2].下面以“棱錐的外接球問(wèn)題”為例，分析立體幾何問(wèn)題的解題本質(zhì).

1.長(zhǎng)（正）方體模型是解決立體幾何問(wèn)題的本質(zhì)基礎(chǔ)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2教師教學(xué)用書中指出：“……以長(zhǎng)方體為載體，使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)空間中點(diǎn)、線、平面之間的位置關(guān)系……”[2]由此可見，長(zhǎng)（正）方體模型是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，對(duì)理解立體幾何的關(guān)系起著重要的作用，尤其是解決棱錐的外接球問(wèn)題. 由長(zhǎng)方體和球的對(duì)稱性容易得到結(jié)論1：

如果棱錐的頂點(diǎn)與長(zhǎng)（正）方體的幾個(gè)頂點(diǎn)重合，那么這個(gè)棱錐的外接球與長(zhǎng)（正）方體的外接球相同， 可以把棱錐補(bǔ)成相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)（正）方體，轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)（正）方體的外接球半徑.這種方法就是立體幾何中常用的“補(bǔ)形法”.

分析：該三棱錐的三組對(duì)棱兩兩相等，恰好與長(zhǎng)方體的三組對(duì)面的對(duì)角線等價(jià)，可以三組對(duì)棱分別為長(zhǎng)方體的三組對(duì)面的對(duì)角線補(bǔ)成長(zhǎng)方體.

另外，常見的可以補(bǔ)成長(zhǎng)（正）方體的棱錐還有：

長(zhǎng)（正）方體作為最基本的多面體，所含的線線、線面、面面位置關(guān)系十分豐富，通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)（正）方體模型，幾何直觀性強(qiáng)，思路自然，方法簡(jiǎn)捷.在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)把握好“長(zhǎng)（正）方體模型”這個(gè)本質(zhì)，巧用補(bǔ)形法，能起到化繁為簡(jiǎn)、一目了然的作用.

2.立體圖形平面化是解決立體幾何問(wèn)題的核心思想

平面圖形可以組合成立體圖形，而立體圖形又可以分解抽取出平面圖形.當(dāng)在立體圖形中不便直觀觀察、想象時(shí)，可從立體圖形中分解抽取出部分平面圖形，從而方便直觀觀察、推理論證、計(jì)算等.這就是立體圖形平面化（即降維）的思想.

用一個(gè)平面去截球面，截面是圓面.把棱錐的底面多邊形或側(cè)面三角形的外接圓看成截面圓（即小圓），則球心與截面圓的圓心的連線垂直于截面圓，過(guò)兩心的連線且與截面圓垂直的截面是球的軸截面（即大圓）.牢牢把握住“小圓”和“大圓”這兩個(gè)平面圖形，在平面圖形中求出小圓的半徑[r]和小圓的圓心與球心的距離[d]，利用[R2=d2+r2]得到外接球的半徑[R].這樣，通過(guò)“截面”把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，化繁為簡(jiǎn)，更為直觀.

通過(guò)“截面”把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，利用截面的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為解三角形的外接圓半徑問(wèn)題.通過(guò)平面化“降維”來(lái)解決立體幾何問(wèn)題，是立體幾何問(wèn)題的解題核心思想.我們?cè)儆眠@種思想來(lái)推導(dǎo)一個(gè)一般性結(jié)論（結(jié)論2）：

3.幾何問(wèn)題代數(shù)化是解決立體幾何問(wèn)題的有效手段

“數(shù)”和“形”是不可分割的統(tǒng)一體，數(shù)、形相互溝通、相互印證.以“數(shù)”研究“形”，把復(fù)雜、抽象的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有序可算的代數(shù)問(wèn)題，使得問(wèn)題有路可循，易于解決.而坐標(biāo)是幾何問(wèn)題代數(shù)化重要的工具，對(duì)于許多抽象的立體幾何問(wèn)題，借助坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算，可實(shí)現(xiàn)空間幾何代數(shù)化，簡(jiǎn)化復(fù)雜抽象的幾何關(guān)系，從而使問(wèn)題易于解決.

分析：直線[MN]與球[O]的關(guān)系難找，從圖形的角度解題較難.根據(jù)正四面體的對(duì)稱性，可嘗試把正四面體補(bǔ)成正方體，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系簡(jiǎn)化幾何關(guān)系，從而化解難點(diǎn).

三、把握立體幾何問(wèn)題的本質(zhì)，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力

高中立體幾何是培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生直觀想象能力的重要載體，在處理這個(gè)模塊的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，教師要把握好“以長(zhǎng)（正）方體模型為基礎(chǔ)”“以立體圖形平面化為核心”“以幾何問(wèn)題代數(shù)化為手段”這幾個(gè)立體幾何問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力.

長(zhǎng)方體是立體幾何最基本的幾何體，它不但全面展現(xiàn)了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，而且學(xué)生較為熟悉，理解掌握得較好，是展開空間想象的重要依托，是研究立體幾何問(wèn)題最基礎(chǔ)的模型.在日常立體幾何的教學(xué)中，教師要把握住“長(zhǎng)方體模型”這個(gè)基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)想、類比、構(gòu)造長(zhǎng)方體模型，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的、形象的、直觀的模型，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力.例如，在處理線面、面面平行（垂直）有關(guān)定理、性質(zhì)時(shí)，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)長(zhǎng)方體模型，把抽象、復(fù)雜的位置關(guān)系簡(jiǎn)化在典型、熟知的長(zhǎng)方體空間中，以顯露內(nèi)在聯(lián)系，以簡(jiǎn)馭繁，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力.

立體幾何是平面幾何的延伸與拓展，兩者相互轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)內(nèi)容的補(bǔ)充和問(wèn)題的解決.選取或構(gòu)造恰當(dāng)?shù)钠矫?，使得?wèn)題在這個(gè)平面上獲得突破性進(jìn)展，甚至全部解決[3]，這就是立體幾何平面化思想，是研究立體幾何問(wèn)題的核心本質(zhì).把握這一本質(zhì)，教師在立體幾何的教學(xué)中要有目的地、系統(tǒng)性地滲透立體幾何平面化思想，不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)平面圖形的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，以培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力.其實(shí)，立體圖形的“直觀圖”就是平面化的一種成果，很多教師在平常的教學(xué)中喜歡用“多媒體”等工具讓學(xué)生“眼觀”“空想”，而從不讓學(xué)生動(dòng)手畫圖，這對(duì)于學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)與發(fā)展幫助有限.教師應(yīng)切實(shí)讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，引導(dǎo)學(xué)生在“平面”上體現(xiàn)出“空間”，從而深刻體悟空間關(guān)系，培養(yǎng)與發(fā)展直觀想象能力.

向量和坐標(biāo)是用代數(shù)方式來(lái)研究立體幾何問(wèn)題的重要工具，當(dāng)立體幾何問(wèn)題由于條件隱晦、圖形關(guān)系復(fù)雜、技巧性強(qiáng)、處理難度較大時(shí)，可通過(guò)向量或坐標(biāo)系將幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)計(jì)算加以解決，使得解決問(wèn)題的思路變得清晰簡(jiǎn)單.向量和坐標(biāo)的運(yùn)用，既簡(jiǎn)化了復(fù)雜抽象的幾何關(guān)系，又為解決問(wèn)題提供了更為靈活的思路和途徑，簡(jiǎn)捷明快，化難為簡(jiǎn)[4].

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 史寧中.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的關(guān)鍵問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018（1）：8-10.

[2]? 劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2教師教學(xué)用書[M].北京：人民教育出版社，2015.

[3]? 謝曉強(qiáng).立體幾何中的平面化思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2004（6）：13-15.

[4]? 陳晨， 沈楓， 宋憶寧，等.用代數(shù)方法解決平面幾何問(wèn)題[J].科海故事博覽·科技探索， 2014（1）：35.

（責(zé)任編輯 陳 昕）