張平 彭亮 徐文彬

【摘 要】計數(shù)是小學數(shù)學的重要內(nèi)容。十進制計數(shù)的規(guī)則包含兩個要素，十進位和位值制，其本質(zhì)是以自然數(shù)1為基本計數(shù)單位，滿十就產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位。小數(shù)是自然數(shù)數(shù)系的擴展，它沿用了自然數(shù)的計數(shù)方式。從測量的本質(zhì)來理解小數(shù)計數(shù)問題，不僅能使學生厘清小數(shù)計數(shù)中的一些問題，還有助于他們更好地把握小數(shù)計數(shù)的本質(zhì)，領悟測量的思想，培養(yǎng)數(shù)感。

【關鍵詞】測量視角;小數(shù);計數(shù);計數(shù)單位;教學改進

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）18-0038-04

【作者簡介】1.張平，江蘇省張家港市崇真小學（江蘇張家港，215631）副校長，高級教師;2.彭亮，南京曉莊學院（南京，211171）教師教育學院講師，教育學博士;3.徐文彬，南京師范大學（南京，210097）課程與教學研究所常務副所長，教授，博士生導師。

計數(shù)既關涉學生對數(shù)的意義的理解，也關涉其數(shù)感的培養(yǎng)。十進制計數(shù)用0～9這樣十個符號加上位值制進行自然數(shù)和小數(shù)的計數(shù)，這是人類最偉大、最奇妙的創(chuàng)造之一，也是世界范圍內(nèi)應用最廣泛的計數(shù)方式。但就如此簡單的計數(shù)而言，如果我們忽略了其中的某些計數(shù)規(guī)則，則極有可能會造成一些邏輯上的混淆。譬如，有人認為500的計數(shù)單位是“百”，1.23的計數(shù)單位是“0.01”（百分之一）。正因為有如此“理解”，在小數(shù)教學中遇到“請將1.23改寫成用0.001（千分之一）作單位的數(shù)”的問題時，很多人會認為，其結(jié)果應該是“1.230”。其實，這些錯誤都源于對“基本計數(shù)單位”和“最小計數(shù)單位”的混淆。據(jù)此，我們需要從測量的視角來深入認識和理解小數(shù)的計數(shù)和計數(shù)單位，以期幫助學生深入理解小數(shù)的意義，進而培養(yǎng)其數(shù)感。

一、測量的理解

測量問題可能是人類最早的數(shù)學問題。所謂測量，是按照某種規(guī)律，用數(shù)據(jù)來描述觀察到的現(xiàn)象。更具體地說，測量是對事物的屬性做出量化描述，是對非量化事物的量化過程。量化就是把待測定的量用同一個標準進行比較的過程。一般來說，測量包括四個要素——測量對象、測量標準（計量單位）、測量方法和測量的準確度。[1]

測量是人類認識世界的重要工具，使人類探索世界的成果具有穩(wěn)固性，因而是人類文明建構(gòu)的基礎。有了測量，就有了對量的把握、理解及應用;離開測量，單純地談論量是沒有實質(zhì)意義的。人們用來作為計量標準的量叫作標準量或單位量，進行比較的方法促使測量方法和測量工具誕生了，測量得到的結(jié)果需要用數(shù)學語言來表征。測量結(jié)果的表征一般是由數(shù)據(jù)及其單位組成，這是由測量的目的和方法決定的。首先，測量本質(zhì)上是對事物做出量化的描述，測量結(jié)果就是事物與測量標準（測量單位）進行比較的結(jié)果，其實質(zhì)就是一個比值;其次，測量同一個事物，可以用不同的單位，測量的標準不同，得出的結(jié)果也不同，因而一般情況下，“數(shù)據(jù)加單位”才能將測量結(jié)果表達清楚。如一個人的身高可以用168厘米表示，也可以用1.68米表示，兩種不同的結(jié)果表達的是同一個人的身高。那么，測量同一個對象為什么會有不同的測量單位呢？一是因為事物是復雜多樣的，人們?nèi)绻?guī)定測量一個對象只能有一個測量單位，可能會帶來很多不便;二是用一個標準測量，很多時候并不能正好測量完，會多出一部分或少了一部分。因此，人們會在規(guī)定一個基本測量標準的基礎上再按照一定的規(guī)則制定出一些其他相應的測量單位。

二、測量視角下的計數(shù)和計數(shù)單位

數(shù)源于量，計數(shù)與計量的原理是一致的。正因如此，計數(shù)也包括四個要素，即計數(shù)對象、計數(shù)單位、計數(shù)方法和精確度。如自然數(shù)的計數(shù)對象是物體個數(shù)，自然數(shù)的基本單位是1，在此基礎上，根據(jù)計數(shù)的需要，自然數(shù)的計數(shù)單位還有十、百、千等。自然數(shù)的計數(shù)方法是十進制和位值制，即“滿十進一”，同一個數(shù)在不同的數(shù)位上表示不同的值。需求不同，對自然數(shù)計數(shù)結(jié)果的精確度要求也不同，如256086600四舍五入到萬位大約是25609萬，四舍五入到千位大約是256087千。

我國古代的小數(shù)是在計量中產(chǎn)生的。最早關于十進制計量單位的記載是賈誼的《新書·六術》篇：“數(shù)度之始，始于微細，有形之物，莫細于毫，是故立一毫以為度始，十毫為發(fā)，十發(fā)為厘，十厘為分。”[2]這里把“數(shù)”與“度”的最小單位都歸于毫，開了后世數(shù)學家用度量單位表示小數(shù)位值的先河。明確從數(shù)學上提出小數(shù)的是我國古代數(shù)學家劉徽，他在處理開放不盡問題時建議采用一種微數(shù)方法：“微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數(shù)，不足言之也?！盵3]這段話的意思是：微數(shù)不需要借助單位來標識其“零”位值，一退再退皆以10的整數(shù)次冪為分母，可避免通分引起的微數(shù)變化?？梢?，我國古代的小數(shù)計數(shù)延續(xù)了自然數(shù)的計數(shù)方式，也是十進制和位值制。

三、測量視角下小數(shù)計數(shù)教學存在的問題及其分析

小數(shù)計數(shù)看似和自然數(shù)計數(shù)一樣簡單，卻存在著一些誤區(qū)。譬如，1.23可以表示為由1個1加2個0.1再加3個0.01所組成。但很多人會認為1.23的計數(shù)單位是0.01，理由是1.23這個小數(shù)最小的有效數(shù)位是百分位，百分位的計數(shù)單位是百分之一。據(jù)此，將1.23改寫成以0.001作單位的數(shù)，應該寫成1.230。然而，如此改寫會在邏輯上出現(xiàn)以下混亂：

一是從測量的視角來看，測量結(jié)果一般應由數(shù)據(jù)和測量單位組成，計數(shù)也應如此，計數(shù)所得的數(shù)應是計數(shù)對象與計數(shù)單位（或標準）比較而產(chǎn)生的。正因如此，1.23的計數(shù)單位如果是0.01，那么其結(jié)果如若改寫成“數(shù)據(jù)加標準”的樣式，則應該為1.23（0.01），即“1.23個0.01”。而1.23的實際大小應該是“1.23個1”。由此可見，1.23的實際大小若用0.01來計數(shù)，則應該是“123個0.01”，這顯然與1.23個0.01相差甚遠。

二是將1.23改寫成計數(shù)單位是0.001的數(shù)時，如果寫成1.230，那么從數(shù)的大小上比較，1.23=1.230。此時，如果1.23認定的計數(shù)單位是0.01，而1.230認定的計數(shù)單位是0.001，那么，0.01和0.001顯然是兩個不同的計數(shù)單位。在測量上，用兩個不同的計數(shù)單位測量同一個對象，其得到的數(shù)肯定是不相等的，正如人民幣1元，用元測量的結(jié)果是1元，用角測量的結(jié)果則是10角。反向推之，如果測量所得的數(shù)（據(jù)）相同，則只可能是用同一個標準進行的測量，這樣才能保證測量結(jié)果的唯一性。如上所述，用0.01和0.001測量，測量單位不同，而結(jié)果相同，那就不能保證測量結(jié)果的唯一性。

三是將1.23的計數(shù)單位認定為0.01，顯然與自然數(shù)的計數(shù)方式相違背。自然數(shù)的計數(shù)方式只有當單位是1時會省略不寫，如2800，這樣的寫法表示計數(shù)單位是1，即表示“2800個1”。如果要用百作單位，就應該寫成“28百”。同理，1.23的計數(shù)單位如果是0.01，就應該寫成“123個0.01”。

那么，如何理解1.23的計數(shù)單位呢？從測量的角度來看，我們或可從以下幾方面來進行分析與思考：

一是1.23作為計數(shù)的結(jié)果，可以表示為1個1加2個0.1再加3個0.01，也可以表示成1.23個1，即1個1加0.2個1再加0.03個1。如此，1.23個1這樣的結(jié)果就表示，測量對象與測量標準1比較的結(jié)果是1.23，這與1.23的實際大小相符合。

二是1.23的計數(shù)單位是1，還可以寫成12.3個0.1，也可以寫成123個0.01，即1.23個1=12.3個0.1=123個0.01。用不同的計數(shù)單位測量同一個對象，其數(shù)據(jù)是不同的，但表示的結(jié)果是相等的，保證了計數(shù)結(jié)果的唯一性。

三是1.23的計數(shù)單位是1，這與自然數(shù)的計數(shù)方式一致，即“1”是基本的自然數(shù)計數(shù)單位，也是小數(shù)的基本計數(shù)單位，其他單位都可以看作其在基本計數(shù)單位“1”的基礎上的拓展?；居嫈?shù)單位“1”約定可以省略，這也與自然數(shù)的書寫方式相吻合。

四是將1.23改寫成用0.001作單位的數(shù)，從測量的視角來看，應該理解為1.23個1與0.001相比較的結(jié)果是多少。因此，其結(jié)果應該寫成1230個0.001，就如58090000改寫成以萬作單位的數(shù)是5809萬一樣。如此，自然數(shù)與小數(shù)的計數(shù)規(guī)則就是統(tǒng)一的，而且符合數(shù)學追求統(tǒng)一性的特征。

由此可見，為了避免上述“邏輯混亂”，我們似乎可以在小數(shù)計數(shù)中引入“基本計數(shù)單位”和“最小計數(shù)單位”這兩個概念。譬如1.23，其基本計數(shù)單位應該是1，其最小計數(shù)單位則應該是0.01，其中也有計數(shù)單位0.1。此外，整數(shù)計數(shù)中的最小計數(shù)單位和基本計數(shù)單位均為1。

其實，測量視角下的理解與古人在小數(shù)計數(shù)單位上的理解是一致的。我國古代數(shù)學巨著《數(shù)理精蘊》中就有這樣的記載：“凡數(shù)單位后有奇另者，必作點于單位上以志之，如有金三百四十五兩六錢七分，命兩為單位則于五上作點志之，又如有米六石五斗四升三合，命石為單位則于六上作點志之?！盵4]意思是：三百四十五兩六錢七分，小數(shù)點點在五上，表示用“兩”作單位。六石五斗四升三合，小數(shù)點點在六上，表示用“石”作單位。顯然，古人所說的345.67金的單位是“兩”而非“分”，6.543米的單位是“石”而非“合”。筆者在測量視角下所理解的小數(shù)的（基本）計數(shù)單位1與其不謀而合。

四、測量視角下小數(shù)教學的改進策略

由上述分析可見，測量視角有助于我們深入認識和理解計數(shù)問題，而且能夠統(tǒng)一小學數(shù)學中的自然數(shù)、小數(shù)乃至分數(shù)，從而提升學生對數(shù)的認識。

1.要適時滲透測量思想。

法國數(shù)學家龐加萊說：“如果沒有測量空間的工具，我們便不能構(gòu)造空間。”[5]從根本上說，測量是人們認識世界事物的數(shù)學方法，也是每個人的一項基本數(shù)學素養(yǎng)。因此，一些國家在小學階段的數(shù)學學習中有專門的測量內(nèi)容體系。在我國的小學數(shù)學教材中，雖然沒有專門的測量內(nèi)容體系，但基本內(nèi)容十分豐富，都安排在相關領域;雖然測量的內(nèi)容不同，但其都是通過一定的標準來度量物體的某些屬性，將物體的一些屬性數(shù)量化。因此，對于測量中標準統(tǒng)一的必要性、測量單位的系統(tǒng)性、測量結(jié)果的精確度等數(shù)學思想方法，需要在小數(shù)教學中加以必要的滲透，這將有助于學生真正認識或理解小數(shù)。

2.要注意從測量的視角引導學生理解小數(shù)計數(shù)單位的意義。

測量得以實現(xiàn)，關鍵是要有標準;計數(shù)得以實現(xiàn)，離不開單位。我國小學數(shù)學教材主要是根據(jù)知識間的聯(lián)系和學生的認知水平分階段引入測量單位的。譬如，長度單位一般在第一學段，面積單位一般在第二學段，體積單位一般在第三學段。這種安排盡管力求符合學生的認知發(fā)展水平，但還不夠。其實，從上述分析的測量視角來貫穿這些分階段安排，也許更符合學生日常生活中的實際認知過程。從測量的視角來理解小數(shù)計數(shù)單位的意義，需要關注以下三個方面：一是感受計數(shù)單位的測量價值，如1.23既可以是1.23個1，也可以是12.3個0.1，更可以是123個0.01;二是讓學生經(jīng)歷計數(shù)單位的形成過程，如在認識小數(shù)時，把1平均分成10份，其中的2份如何表示呢？讓學生大膽去猜想，去嘗試創(chuàng)造新的單位;三是讓學生真切體會為什么要選擇合適的計數(shù)單位來進行計數(shù)，如認識大數(shù)時，我國的人口就不適合用較小的計數(shù)單位來計數(shù)。

3.要注意培養(yǎng)學生的數(shù)感。

在測量和計數(shù)教學中，培養(yǎng)學生的數(shù)感十分重要。小學生對數(shù)的理解主要建立在其對量的認識的基礎之上。學生有很多對量進行比較（測量）的生活經(jīng)驗，并由此慢慢積累起大量的數(shù)的經(jīng)驗。在測量教學或測量視角下的小數(shù)教學中，要讓學生經(jīng)歷由量到數(shù)的過程。在這個過程中，尤其要注重學生估計意識和估算能力的培養(yǎng)，讓學生在測量中通過對量的估計逐步積累起數(shù)量經(jīng)驗，加深數(shù)與量之間的聯(lián)系，再通過不斷抽象，慢慢加深對數(shù)的意義的認識以及對數(shù)的大小的理解，從而逐步建立、豐富、完善數(shù)感。

綜上所述，任何小學數(shù)學的課程或教學改革，抑或小學數(shù)學教師的專業(yè)發(fā)展，首先必然意味著對數(shù)學自身的理解的逐步深入與逐漸拓展。否則，任何所謂的創(chuàng)新必然是“夢幻的現(xiàn)實”，均無實現(xiàn)的絲毫可能。

【參考文獻】

[1]李德唐.現(xiàn)代測試技術[M].北京：中國海洋出版社，2017：1-2.

[2]王渝生.中國算學史[M].上海：上海人民出版社，2006：175.

[3]郭書春.論中國古代數(shù)學家[M].北京：海豚出版社，2017：115.

[4]潘有發(fā).初等數(shù)學史話[M].西安：陜西人民教育出版社，1995：414.

[5]史寧中.數(shù)學思想概論：第5輯[M].長春：東北師范大學出版社，2012：107.