謝 波，肖東升

(1.合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院，安徽 合肥 238000；2.西南石油大學(xué) 土木工程與測(cè)繪學(xué)院，四川 成都 610500)

在測(cè)量平差時(shí)，如果控制網(wǎng)沒(méi)有起算數(shù)據(jù)，則此時(shí)建立的間接平差模型的系數(shù)矩陣列秩虧，法方程系數(shù)矩陣也會(huì)出現(xiàn)秩虧。為了得到秩虧的間接平差模型的最小二乘唯一解，進(jìn)行大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理時(shí)往往會(huì)利用參數(shù)間存在的一些已知的先驗(yàn)信息建立約束條件，此時(shí)建立的平差模型為約束秩虧間接平差模型[1-4]。

約束秩虧間接平差模型廣泛應(yīng)用于大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，其算法引起較多研究。目前，其算法主要分為：①對(duì)參數(shù)估計(jì)修正的有偏估計(jì)方法，如嶺估計(jì)和主成分估計(jì)[5-8]。由于引入了未知的嶺參數(shù)、需要確定主成分的個(gè)數(shù)等，是一個(gè)迭代計(jì)算過(guò)程；②對(duì)秩虧間接平差模型的法方程系數(shù)修正的虛擬觀測(cè)法[9-10]、參數(shù)分類法[11-12]、正則化法[13-15]、截?cái)嗥娈愔捣╗16-17]。該類方法需要確定虛擬觀測(cè)值的權(quán)、正則化因子和截?cái)嗥娈愔祩€(gè)數(shù)等，計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜；③對(duì)約束秩虧間接平差模型的分塊法方程系數(shù)矩陣求逆的廣義逆矩陣法[18-19]、直接法[20-21]等。該方法具有相對(duì)計(jì)算簡(jiǎn)單、結(jié)果準(zhǔn)確等特點(diǎn)，但是缺少更深入研究。

本文提出利用矩陣運(yùn)算推導(dǎo)約束秩虧間接平差模型的分塊法方程系數(shù)矩陣求逆的直接顯性表達(dá)式，并提出消除秩虧間接平差模型的法方程系數(shù)矩陣秩虧的虛擬觀測(cè)算法，用數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證直接顯性表達(dá)式和虛擬觀測(cè)算法的正確性。該方法為約束秩虧間接平差模型的算法提供了新的方法和思路。

1 約束秩虧間接平差模型的一般解析式

約束秩虧間接平差模型表示為：

(1)

(2)

式中:V為n維觀測(cè)誤差向量，E(V)=0，D(V)=σ2P-1，B為誤差方程的n×u設(shè)計(jì)矩陣，R(B)=t

利用條件極值的拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)建函數(shù)：

φ=VTPV+2KT(CX-WX)=min .

(3)

式中：K為對(duì)應(yīng)于約束方程的聯(lián)系數(shù)向量。為求φ的極小值，將其對(duì)x求偏導(dǎo)并令其等于零，則可以得到法方程：

NX-W+CTK=0 .

(4)

式中：N=BTPB，W=BTPL。N為u×u階秩虧矩陣，R(N)=R(B)=t

聯(lián)立式(2)和式(4)，得到約束秩虧間接平差模型的總法方程為：

(5)

式中：由于C為行滿秩矩陣，且R(C)=s≥u-t，根據(jù)分塊矩陣的性質(zhì)[22]，系數(shù)矩陣的凱利逆存在，解得：

(6)

子塊矩陣N的凱利逆不存在，因此，常規(guī)的分塊矩陣的求逆式不能直接應(yīng)用。

設(shè)

(7)

滿足

(8)

則

NQ11+CTQ21=Iu,

(9)

(10)

(11)

CQ12=Is.

(12)

將式(11)左乘CT后和式(9)相加，可得：

(N+CTC)Q11+CTQ21=Iu.

(13)

同理，將式(12)左乘CT再和式(10)相加，可得：

(14)

可得：

(15)

式中：由于C為行滿秩且R(C)=s≥u-t，根據(jù)矩陣秩分解的性質(zhì)[23]，矩陣N+CTC，C(N+CTC)CT的凱利逆必存在，左邊的四分塊矩陣的凱利逆存在，可以直接應(yīng)用常規(guī)的分塊矩陣的求逆式，得到分塊矩陣的逆矩陣為：

(16)

分塊矩陣

(17)

將式(17)帶入式(6)，可得：

(18)

展開：

(N+CTC)-1CT[C(N+CTC)CT]-1C(N+

CTC)-1}BTPL+(N+CTC)-1CT[C(N+

CTC)CT]-1WX，

(19)

即為約束秩虧間接平差模型參數(shù)估計(jì)的一般顯性表達(dá)式。

2 約束秩虧間接平差模型的虛擬觀測(cè)法

和約束間接平差模型的參數(shù)估計(jì)公式比較，約束秩虧間接平差模型的參數(shù)估計(jì)和其在形式上完全一致，只是秩虧的法方程系數(shù)N被N+CTC代替了。因此，將約束條件看做虛擬觀測(cè)，和秩虧間接平差模型的誤差方程組合新的誤差方程：

(20)

(21)

設(shè)

(22)

可簡(jiǎn)化為：

(23)

方程系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為：

ΒTPΒ+CTC=N+CTC，

(24)

ΒTPL+CTWX=W+CTWX.

(25)

新的誤差方程和約束方程再構(gòu)成約束間接平差模型，解算得：

(26)

結(jié)果和約束秩虧間接平差模型的結(jié)果一致。因此，在約束秩虧間接平差模型解算時(shí)，將約束條件看做虛擬觀測(cè)，和秩虧間接平差模型組合成新的誤差方程之后，再和約束條件進(jìn)行約束間接平差，其參數(shù)估計(jì)的結(jié)果不變。本文算法為約束秩虧間接平差模型的虛擬觀測(cè)法。

3 案例與分析

為驗(yàn)證本文推導(dǎo)的求逆公式和虛擬觀測(cè)算法的正確性，本文選取某水準(zhǔn)網(wǎng)為例進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。如圖1所示，點(diǎn)A，B為已知的高程點(diǎn)HA=6.250 m，HB=7.250 m，點(diǎn)P1,P2,P3為待求的高程點(diǎn)，已知數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表1。

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)

表1 觀測(cè)數(shù)據(jù)和已知數(shù)據(jù)

現(xiàn)分別用間接平差模型、約束秩虧間接平差模型的求逆公式法和虛擬觀測(cè)法3種不同方法來(lái)解算待求點(diǎn)P1,P2,P3的高程。

方法一：用間接平差模型解算上述平差問(wèn)題?？紤]A,B為已知點(diǎn)，設(shè)P1,P2,P3點(diǎn)的高程為未知參數(shù)x3，x4，x5，將所有觀測(cè)值的改正數(shù)表示成未知參數(shù)的誤差方程：

BX-L.

(27)

按觀測(cè)距離定義觀測(cè)值的權(quán)，并令1 km的觀測(cè)高差為單位權(quán)，則觀測(cè)值的權(quán)陣為：

P=diag[1/2.0 1/2.0 1/4.0 1/2.0

1/2.0 1/4.0 1/4.0].

(28)

根據(jù)最小二乘原理，解算得：

(29)

方法二：用約束秩虧間接平差模型的求逆公式法解算上述平差問(wèn)題。設(shè)A,B,P1,P2,P3點(diǎn)的高程為未知參數(shù)，將所有觀測(cè)值的改正數(shù)表示成未知參數(shù)的誤差方程：

(30)

未知參數(shù)的系數(shù)矩陣為列秩虧矩陣。

A,B為已知點(diǎn)，組成約束方程：

(31)

按觀測(cè)距離定義觀測(cè)值的權(quán)，并令1 km的觀測(cè)高差為單位權(quán)，則觀測(cè)值的協(xié)因數(shù)陣為：

P=diag[1/2.0 1/2.0 1/4.0 1/2.0

1/2.0 1/4.0 1/4.0].

(32)

根據(jù)本文推導(dǎo)的約束秩虧間接平差模型的參數(shù)估計(jì)式(19)計(jì)算得：

[x1x2x3x4x5]′=

{(N+CTC)-1-(N+CTC)-1CT[C(N+

CTC)CT]-1C(N+CTC)-1}BTPL+

(N+CTC)-1CT[C(N+CTC)CT]-1WX=

(33)

x3,x4,x5為待求點(diǎn)的高程：

方法三：用約束秩虧間接平差模型的虛擬觀測(cè)法解算上述平差問(wèn)題。設(shè)A,B,P1,P2,P3點(diǎn)的高程為未知參數(shù)x1,x2,x3,x4,x5，在方法二中約束秩虧間接平差模型基礎(chǔ)上，將約束方程看做虛擬觀測(cè)，和秩虧間接平差模型組成新的誤差方程：

(34)

按觀測(cè)距離定義觀測(cè)值的權(quán)，并令1 km的觀測(cè)高差為單位權(quán)，令已知點(diǎn)的權(quán)陣為單位權(quán)陣，則觀測(cè)值和虛擬觀測(cè)值的權(quán)陣為：

P′=diag[1/2.0 1/2.0 1/4.0 1/2.0

1/2.0 1/4.0 1/4.0 1 1].

(35)

新誤差方程和原約束方程根據(jù)約束間接平差模型的參數(shù)估計(jì)式，計(jì)算得：

[x1x2x3x4x5]′=

{(B′TP′B′)-1-(B′TP′B′)-1CT[C(B′TP′B′)-1×

CT]-1C(B′TP′B′)-1}B′TP′L′+(B′TP′B′)-1CT×

[C(B′TP′B′)-1CT]-1WX=

(36)

從上述計(jì)算過(guò)程和結(jié)果可見：

1)約束秩虧間接平差模型的求逆式法、虛擬觀測(cè)法和間接平差模型對(duì)未知點(diǎn)P1,P2,P3的參數(shù)估計(jì)[x3x4x5]的結(jié)果完全一樣，證明本文推導(dǎo)的求逆公式和提出的虛擬觀測(cè)算法是正確的。

2)間接平差模型為平差計(jì)算最常用的方法，其數(shù)學(xué)模型和計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但是未區(qū)分平差系統(tǒng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)和基準(zhǔn)數(shù)據(jù)兩類不同性質(zhì)的數(shù)據(jù)。約束秩虧間接平差模型區(qū)分了觀測(cè)數(shù)據(jù)和基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，約束方程為平差系統(tǒng)提供參考基準(zhǔn)，在研究觀測(cè)值的內(nèi)部符合精度、基準(zhǔn)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)的影響、基準(zhǔn)數(shù)據(jù)的兼容性等方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。

3)虛擬觀測(cè)法的約束方程作為誤差方程加入到秩虧間接平差模型中，消除了秩虧間接平差模型的法方程系數(shù)矩陣的秩虧，從而將約束秩虧間接平差模型轉(zhuǎn)換為約束間接平差模型，達(dá)到方便計(jì)算目的。

4 結(jié)束語(yǔ)

在解算約束秩虧間接平差模型時(shí)，對(duì)參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行修正和對(duì)秩虧間接平差模型的法方程系數(shù)進(jìn)行修正的計(jì)算方法比較復(fù)雜，應(yīng)用虛擬觀測(cè)值算法為約束秩虧間接平差模型的算法提供了一條新的思路和方法。通過(guò)將約束條件看做虛擬觀測(cè)，和原有的秩虧間接平差模型組合成新的誤差方程，再和約束條件組成約束間接平差模型進(jìn)行解算，從而在形式上消除了秩虧間接平差模型的法方程系數(shù)矩陣的秩虧，這樣可以采用分塊矩陣求凱利逆的方法求得參數(shù)估計(jì)。該方法和本文算法的計(jì)算結(jié)果是一樣的，為解算約束秩虧間接平差模型的提供了一條簡(jiǎn)單精確的算法。