福建省閩清高級(jí)中學(xué) (350800) 陳國鴻

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心與基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的“四基”、“四能”，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著無法替代的作用.概念學(xué)習(xí)的主要任務(wù)就是要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與概念產(chǎn)生、發(fā)展的過程，不僅需要知道“是什么”，還應(yīng)明確“為什么”.章建躍博士說,“概念教學(xué)的核心是引導(dǎo)學(xué)生開展概括活動(dòng)，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動(dòng)而獲得概括過程.”[1]因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從數(shù)學(xué)概念發(fā)生、發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)、學(xué)生思維的困惑點(diǎn)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升點(diǎn)，設(shè)置恰時(shí)恰點(diǎn)的問題，激發(fā)學(xué)生自主參與，使學(xué)生真正通過自己的思維，深入理解概念的本質(zhì)屬性，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者以新教材《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)(A版)》“函數(shù)的奇偶性”(第一課時(shí))教學(xué)為例，談?wù)勗诟拍罱虒W(xué)中引導(dǎo)學(xué)生突出思維教學(xué)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)思考.

1 教學(xué)案例呈現(xiàn)

1.1 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)“內(nèi)部”情境，引入課題

追問1 換一個(gè)角度觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，還有其他的特征嗎？

生眾：這兩個(gè)函數(shù)圖象都具有對(duì)稱性.

圖1

圖2

追問2 圖1與圖2兩個(gè)函數(shù)圖象都具有對(duì)稱性，那么圖3和圖4這兩個(gè)函數(shù)圖象呢？

圖3

圖4

學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖3右側(cè)有一個(gè)“洞”，不對(duì)稱.有的學(xué)生認(rèn)為圖4對(duì)稱，有的認(rèn)為圖4也不對(duì)稱.

教師利用幾何畫板對(duì)圖4進(jìn)行“對(duì)折”，證實(shí)不對(duì)稱.

追問3 僅僅通過觀察能夠準(zhǔn)確地判斷函數(shù)圖象的對(duì)稱性嗎？怎樣才能精準(zhǔn)地刻畫函數(shù)圖象的對(duì)稱性呢？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置數(shù)學(xué)“內(nèi)部”情境，從學(xué)生熟悉且具有典型對(duì)稱性的二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象入手，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、分析；通過反例激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到用數(shù)量關(guān)系刻畫對(duì)稱性的必要性，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

1.2 從具體到抽象, 催生概念

問題2 請(qǐng)用列表法畫出函數(shù)f(x)=x2與g(x)=2-|x|的圖象,并思考這兩個(gè)函數(shù)圖象有哪些共同特征？

生1：它們都關(guān)于y軸對(duì)稱.

生2：我畫函數(shù)g(x)=2-|x|的圖象時(shí)，只取了6個(gè)特殊點(diǎn)，所以不能肯定g(x)=2-|x|的圖象是否會(huì)關(guān)于y軸對(duì)稱.

師：你取哪幾個(gè)點(diǎn)呢？

生2：(1,1),(-1,1)，(2,0),(-2,0)，(3,-1),(-3,-1).

師：你為什么想到取這6個(gè)點(diǎn)？

生2：因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(-1,1)關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)(2,0)和點(diǎn)(-2,0)，點(diǎn)(3,-1)和點(diǎn)(-3,-1)也分別關(guān)于y軸對(duì)稱.

師：那么應(yīng)怎樣表達(dá)出上述這種函數(shù)關(guān)系呢？

生3：g(-1)=g(1),g(-2)=g(2),g(-3)=g(3).

師：同學(xué)們還能找到像這樣關(guān)系的其它的等式嗎？

師：能否用符號(hào)進(jìn)行概括呢？

生5：g(-x)=g(x).

師：很好！用變量代替常數(shù).對(duì)定義域R中任意的一個(gè)x,g(-x)=g(x)都會(huì)成立嗎?怎樣驗(yàn)證這個(gè)猜想呢?(學(xué)生思考)

生6：對(duì)于定義域R中任意一個(gè)x，由于g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)，因此g(-x)=g(x)成立.

師：生6從代數(shù)角度運(yùn)用函數(shù)解析式進(jìn)行驗(yàn)證，很有見地.我們稱這樣的函數(shù)為偶函數(shù).

問題3 我們知道如果函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么對(duì)于任意的x∈R，函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x)；反過來，若對(duì)于任意的x∈R，函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x)，那么f(x)的圖象一定關(guān)于y軸對(duì)稱嗎？

生7：如果函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x)，在f(x)的圖象上任取一點(diǎn)P(x,f(x))，則點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P′(-x,f(x)) ，由f(-x)=f(x)得點(diǎn)P′的坐標(biāo)可以寫P′(-x,f(-x)) ，顯然該點(diǎn)也在f(x)圖象上，故f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

師：太棒了！因此，“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”與“對(duì)于任意的x∈R，函數(shù)f(x)的解析式滿足f(-x)=f(x)”等價(jià).對(duì)于這種函數(shù)，大家知道定義域有什么特點(diǎn)嗎？

生眾：函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

問題4 請(qǐng)從“數(shù)”的角度給出偶函數(shù)的定義.

(師生共同歸納偶函數(shù)的定義)

問題5 類比偶函數(shù)的定義，同學(xué)們能給出奇函數(shù)的定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：從數(shù)與形兩個(gè)角度對(duì)偶函數(shù)進(jìn)行刻畫，引導(dǎo)學(xué)生在自身實(shí)踐體會(huì)的基礎(chǔ)上，抽象概括出偶函數(shù)概念，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)鮮活的“生長性”，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力.

1.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用，深化理解

例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：

設(shè)計(jì)意圖：鞏固奇(偶)函數(shù)概念，并引導(dǎo)學(xué)生從例1歸納得到：由函數(shù)的奇偶性可把函數(shù)分為四類.

問題6 大家能歸納出判斷函數(shù)奇偶性需要幾個(gè)步驟嗎？

例2 (1)判斷函數(shù)f(x)=x3+x的奇偶性；(2)圖5是f(x)=x3+x的一部分圖象，你能根據(jù)f(x)的奇偶性將圖象補(bǔ)充完整嗎？

圖5

拓展對(duì)于函數(shù)f(x)=x3+x，是否可以通過添加某些項(xiàng)，使得f(x)=x3+x仍是奇函數(shù)呢？既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)？既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生并不熟悉函數(shù)f(x)=x3+x的圖象，通過拓展，引導(dǎo)學(xué)生從解析式入手,探求f(-x)與f(x)的關(guān)系,利用定義進(jìn)行判斷，深化對(duì)函數(shù)奇偶性概念的理解.

1.4 總結(jié)反思，提升高度

問題7 回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，我們是如何對(duì)函數(shù)奇偶性進(jìn)行研究的？

問題8 大家對(duì)偶函數(shù)和奇函數(shù)的特征有那些認(rèn)識(shí)？能總結(jié)出偶函數(shù)和奇函數(shù)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？

問題9 如果奇(偶)函數(shù)在(0,+∞)單調(diào)遞增，同學(xué)們可以得到它在(-∞,0)上的單調(diào)性嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行反思，比較偶函數(shù)和奇函數(shù)的異同，領(lǐng)悟函數(shù)的奇偶性在研究問題中的作用，在總結(jié)反思中提升學(xué)生的思維高度.這樣，學(xué)生收獲的不僅僅是一個(gè)定義，而要深遠(yuǎn)得多.

2 教學(xué)反思

2.1 精心設(shè)置問題串，孕育核心素養(yǎng)

“問題串”是指教師立足概念建構(gòu)的邏輯性，圍繞課堂教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)置的一組驅(qū)動(dòng)性問題.恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問，能更簡潔有效地驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、啟迪思維.因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)深入挖掘數(shù)學(xué)教材中隱性的精神價(jià)值和營養(yǎng)成分，依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”原理，創(chuàng)設(shè)思維含量高、指向性明確的驅(qū)動(dòng)性問題，使這些問題成為引發(fā)學(xué)生思考的誘因，成為課堂有效生成的驅(qū)動(dòng)力.這對(duì)于形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方式，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要作用.本課例立足概念建構(gòu)的邏輯性，以初中已學(xué)過的圖形對(duì)稱為載體，從學(xué)生熟悉的幾個(gè)特殊函數(shù)入手，精心設(shè)計(jì)層次清晰的遞進(jìn)式問題串，順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展，循序漸進(jìn)地展開探究，層層深入.在引導(dǎo)學(xué)生主體參與中，讓動(dòng)手操作、動(dòng)腦思維和語言表達(dá)有機(jī)結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的引入、生成、應(yīng)用與反思等階段.通過親身體驗(yàn)，學(xué)生不僅品嘗到了“發(fā)現(xiàn)”的樂趣，而且理清了“函數(shù)奇偶性”概念的本質(zhì)屬性，優(yōu)化了思維品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了“低起點(diǎn)，高落點(diǎn)”的教學(xué)目標(biāo).

2.2 凸顯思維過程，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的思維過程，是將數(shù)學(xué)概念中凝結(jié)的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)打開，借助若干典型實(shí)例，通過觀察、比較、抽象、概括等思維活動(dòng)，親歷數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)、抽象和概括過程.因此概念教學(xué)應(yīng)通過學(xué)習(xí)活動(dòng)，突出學(xué)生的思維過程，啟發(fā)學(xué)生 “想什么” “怎么想”，讓學(xué)生經(jīng)歷從自然語言、圖形語言到符號(hào)語言的“數(shù)學(xué)化”過程，也是一個(gè)將函數(shù)圖象數(shù)量化的思維過程，從理解、感悟到“再創(chuàng)造”的過程中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).本課例有效設(shè)計(jì)學(xué)生的思維活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突.通過不斷追問，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”角度思考，構(gòu)建出函數(shù)模型f(-x)=f(x)，將圖象的對(duì)稱性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的數(shù)量關(guān)系問題，并逐步將學(xué)生的思維引向深入，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)角度給出嚴(yán)格證明，完成對(duì)“函數(shù)奇偶性”概念的建構(gòu).這樣的概念生成過程是自然而鮮活的，還原了“春風(fēng)化雨、潤物無聲”的本來面目.在數(shù)學(xué)應(yīng)用環(huán)節(jié)，通過問題與拓展，讓學(xué)生通過添加項(xiàng)，構(gòu)造不同的函數(shù)，學(xué)生通過思維的交鋒與碰撞，加速了概念的內(nèi)化，發(fā)展了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

2.3 重視總結(jié)反思，生長核心素養(yǎng)

課堂總結(jié)并非是讓學(xué)生簡單地復(fù)述本節(jié)課內(nèi)容，而是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行反思，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的內(nèi)化和掌握、對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)與感悟，使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決數(shù)學(xué)問題，并提煉出研究相關(guān)問題的一般方法.本課例通過三個(gè)明確的問題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性的研究過程進(jìn)行總結(jié)反思，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性之間的聯(lián)系、總結(jié)研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法；使學(xué)生能夠建立起對(duì)函數(shù)的整體性認(rèn)識(shí)，并體會(huì)到利用函數(shù)的奇偶性，可收到“事半功倍”之功效，從而深刻體會(huì)研究“函數(shù)奇偶性”的必要性.學(xué)生在總結(jié)反思中，知識(shí)與能力自然遷移，從“見山是山”的淺層認(rèn)識(shí)提升到“山外有山”的境界，思維向更高層次發(fā)展，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以落地生根.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐步形成與發(fā)展的.在概念教學(xué)中，教師應(yīng)精心組織課堂教學(xué)活動(dòng)，打造“重親身體驗(yàn)、重思維參與、重知識(shí)建構(gòu)”的活力課堂，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供“支點(diǎn)”與“腳手架”，引領(lǐng)他們?cè)谔骄炕顒?dòng)中有效提升思維深度與解決問題的能力，從而讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.