韓彥偉 張子建

（1.河南科技大學(xué)土木工程學(xué)院，洛陽(yáng) 471023）（2.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016）

引言

隨著汽車、高鐵、軌道交通等車輛系統(tǒng)的運(yùn)行速度大幅提高，導(dǎo)致行駛車輛的非線性振動(dòng)演化與機(jī)理問題引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.在車輛的道路行駛過程中，由于路面不平會(huì)引起車體的振動(dòng)，如垂向振動(dòng)、前后俯仰振動(dòng)及左右搖擺振動(dòng)等，這些振動(dòng)會(huì)降低車輛的操作穩(wěn)定性、乘坐舒適性、駕駛的安全性，增加油耗、減少使用壽命.當(dāng)車輛高速行駛時(shí)，車體的振動(dòng)越加強(qiáng)烈，導(dǎo)致各項(xiàng)性能愈來愈差.為解決這些問題，一種方法是通過提升路面的平順度，從而減少路面激勵(lì)輸入；另一種方法是在輪胎與車身之間安裝彈簧阻尼懸架系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)路面激勵(lì)的隔離，從而實(shí)現(xiàn)減震和降噪.其中非線性懸架模型研究與應(yīng)用是非常重要和有效的方法，成為了車輛工程領(lǐng)域的學(xué)術(shù)焦點(diǎn)之一.

非線性車輛懸架系統(tǒng)的復(fù)雜非線性振動(dòng)特性得到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注.李韶華［1］研究了具有非線性剛度和Bingham阻尼的單自由度懸架系統(tǒng)亞諧共振和奇異性.孫蓓蓓［2］分析了橡膠懸架兩自由度立方非線性剛度車輛系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)、轉(zhuǎn)遷集及分岔等非線性動(dòng)力學(xué)特性.高大威［3］考慮雙頻激勵(lì)作用下的三次非線性剛度與阻尼單自由度懸架系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)及混沌追蹤控制方法.朱峰［4］給出了五次阻尼非線單自由度非線性系統(tǒng)的混沌特性及其對(duì)穩(wěn)定性的影響.丁繼斌［5］利用AMEsim仿真方法研究了油氣懸架模型兩自由度車輛系統(tǒng)的亞諧波和超諧波共振特性.牛治東［6］得到了隨機(jī)激勵(lì)作用下遲滯非線性單自由度懸架系統(tǒng)的混沌振動(dòng)及混沌振動(dòng)臨界條件.

綜上所述，現(xiàn)有研究多集中在單、兩自由度系統(tǒng)的垂直方向振動(dòng)特性，而對(duì)垂向與俯仰方向的非線性耦合振動(dòng)較少涉及［7-9］.另外，立方剛度非線性與立方阻尼非線性均是對(duì)原系統(tǒng)的近似逼近，無法實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性車輛系統(tǒng)的精確描述.因此，本文基于運(yùn)動(dòng)非線性機(jī)制，建立大幅振動(dòng)條件下垂向和俯仰耦合的精確非線性動(dòng)力學(xué)模型，基于該模型可精確研究非線性車輛系統(tǒng)的復(fù)雜振動(dòng)響應(yīng).

1 力學(xué)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示，行駛車輛系統(tǒng)模擬在不平道路上行駛車輛的振動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)圖.關(guān)于力學(xué)模型中參數(shù)設(shè)定如下：車輛的簧載質(zhì)量為m，相對(duì)質(zhì)心O的俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC，前、后懸架彈簧支撐剛度分別為k1和k2，前、后懸架阻尼器的阻尼系數(shù)分別為c1和c2，車輛行駛速度為v，汽車質(zhì)心橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為x和y，轉(zhuǎn)動(dòng)角為θ，質(zhì)心O到前、后軸的距離分別為l1和l2，軸距為l=l1+l2，路面波長(zhǎng)為l3，路面波幅h0.

圖1 兩自由度車輛模型Fig.1 The model of two degree-of-freedom vehicle

車輛前輪和后輪的垂向位移分別為y1和y2，假設(shè)路面波形狀為：

式中，s=vt為行駛距離.

表 1 給出車輛系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍［10，11］，包括汽車簧載質(zhì)量、汽車轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、懸架剛度、懸架阻尼、軸距、速度、路面波幅和波長(zhǎng)及幾何尺寸等.

表1 汽車系統(tǒng)的參數(shù)列表Table 1 Parameters of vehicle system

設(shè)車輛系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能及瑞利耗散函數(shù)分別為：

其中，y?=dy/dt，θ?=dθ/dt分別為車輛質(zhì)心的垂向速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；Q1和Q2廣分別為垂向廣義力和轉(zhuǎn)向的廣義力矩.

引入Lagrange函數(shù)：

既有保守力又有非保守力的Lagrange方程為：

將函數(shù)表達(dá)式（3）代入Lagrange方程（4）式，建立車輛行駛系統(tǒng)的兩自由度非線性運(yùn)動(dòng)微分方程：

采用如下無量綱參數(shù)變換關(guān)系式：

將車輛振動(dòng)系統(tǒng)（5）進(jìn)行無量綱參數(shù)處理，得到非線性車輛系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動(dòng)方程：

令Y′=U，θ′=ω，方程（7）可變換為如下一階方程組的形式：

系統(tǒng)（8）是一個(gè)帶有正弦和余弦三角函數(shù)的非線性振動(dòng)耦合系統(tǒng)，具有復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)行為.

1.2 非線性恢復(fù)力、勢(shì)能及相圖分析

系統(tǒng)（8）的無量綱非線性恢復(fù)力包括：垂直方向的恢復(fù)力fF和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的恢復(fù)力矩fM.其分別為：

如圖2所示，給出了非線性力函數(shù)（9）的曲面圖，當(dāng)參數(shù)β、γ和ρ的不同取值，圖2（a，b）給出了回復(fù)力fF與俯仰角θ和垂向?yàn)閅之間為曲面關(guān)系，表明在兩個(gè)振動(dòng)方向上有較強(qiáng)的耦合回復(fù)力關(guān)系.圖2（c，d）給出了力矩fM與俯仰角θ和垂向?yàn)閅之間也是曲面關(guān)系，但是在兩個(gè)振動(dòng)方向上的耦合力矩較弱.

圖2 非線性力曲面圖.（a，b）垂向恢復(fù)力，（c，d）轉(zhuǎn)動(dòng)力矩Fig.2Nonlinear forces.（a，b）vertical force，（c，d）rotational torque

系統(tǒng)（8）的無量綱勢(shì)能函數(shù)為：

圖3給出了無量綱勢(shì)能函數(shù)（11）的曲面圖.圖3（a）為不考慮重力的勢(shì)能曲面特性圖，圖3（b）給出了有重力情況下的勢(shì)能曲面.

圖3 勢(shì)能曲線圖Fig.3 Potential energy swryaces

積分車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程（8），可得到自由振動(dòng)系統(tǒng)相軌跡方程為：

其中積分常數(shù)E為系統(tǒng)的總機(jī)械能，不同的機(jī)械能E對(duì)應(yīng)于不同的相軌跡超曲面.

1.3 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

令速度、加速度、角速度與角加速度均為零，定義平衡點(diǎn)集為：

對(duì)應(yīng)的本征值方程為：

展開上式，得到：

令其系數(shù)分別為：

根據(jù)穩(wěn)定性條件和Routh-Huritz判據(jù)，計(jì)算行列式：

利用式（18），可以分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響規(guī)律.圖4給出了參數(shù)平面（β，γ）中穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域的分界曲線.當(dāng)參數(shù)（β，γ）取值在曲線的上部為穩(wěn)定區(qū)域，而在曲線的下部則為不穩(wěn)定區(qū)域.

圖4 參數(shù)（β，γ）平面中穩(wěn)定區(qū)域圖Fig.4 Stability diagram in parameters（β，γ）plane

2 自由振動(dòng)

2.1 近似線性系統(tǒng)自由振動(dòng)

針對(duì)非線性車輛系統(tǒng)（8）的自由振動(dòng)，只保留y，θ及其導(dǎo)數(shù)得一次項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到自由振動(dòng)系統(tǒng)的線性運(yùn)動(dòng)微分方程為：

或者寫為矩陣形式：

其中a=1+γ，b=c=1-γβ，d=1+γβ2.

令系統(tǒng)（20）的解為：

將式（21）代入方程（20），得到特征行列式：

式（22）給出了振動(dòng)頻率與系統(tǒng)參數(shù)之間的確定性關(guān)系，是關(guān)于ω2的二次代數(shù)方程，稱為系統(tǒng)的特征方程，可以解出兩個(gè)根為：

一階固有頻率ω1和二階固有頻率ω2由a、b、c、d確定，其中a、b、c、d由系統(tǒng)參數(shù)β、γ唯一確定.

將ω1和ω2分別代入系統(tǒng)（22），得到振幅比為：

得到一階和二階振型分別為

圖5（a）為振幅比隨參數(shù)β的變換趨勢(shì)圖，容易看出，系數(shù)β等于1是一個(gè)模態(tài)轉(zhuǎn)換點(diǎn).圖5（b）為振幅比隨參數(shù)γ的變換趨勢(shì)圖，同樣，系數(shù)γ等于1是一個(gè)模態(tài)轉(zhuǎn)換點(diǎn).圖5（c）為振幅比r1與參數(shù)β，γ關(guān)系圖，圖5（d）為振幅比r2與參數(shù)β，γ關(guān)系圖.

圖5 振幅比與參數(shù)的關(guān)系.°代表r1，*代表r2Fig.5 Relationship of ratio of amplitued and parameters.°denoted r1，*denoted r2

2.2 非線性性近似系統(tǒng)的自由振動(dòng)

針對(duì)車輛系統(tǒng)（8）的自由振動(dòng)，如果保留x，θ及其導(dǎo)數(shù)得三次項(xiàng)，化簡(jiǎn)為非線性自由振動(dòng)系統(tǒng)：

利用諧波平衡法，令系統(tǒng)（26）的一階諧波解近似解為：

將解（27）代入非線性自由振動(dòng)方程（26），得到振幅A1，A2與自由振動(dòng)頻率之間的關(guān)系，即幅頻方程為：

將式（29）代入方程（28），得到：

給定φ的值，可以得到振動(dòng)頻率ω、振幅A1和A2，導(dǎo)出如下：

設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)為 α=1，β=0.5，γ=0.5，并且令φ在適當(dāng)?shù)娜≈捣秶?，圖6給出了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，結(jié)果顯示，非線性汽車振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率ω和模態(tài)參數(shù)均隨振幅的變化而變化，得到ω=0.75和ω=1.45兩個(gè)固有頻率.

圖6 振幅與自由振動(dòng)頻率的關(guān)系圖Fig.6 Relationship of amplitude and frequency of free vibration

3 強(qiáng)迫振動(dòng)

當(dāng)考慮到路面對(duì)車輛的激勵(lì)作用，導(dǎo)出強(qiáng)迫振動(dòng)車輛系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程：

車輛系統(tǒng)（32）是一個(gè)復(fù)雜的非線性耦合動(dòng)力學(xué)方程，無法直接用理論方法進(jìn)行求解，本文利用數(shù)值積分的方法研究系統(tǒng)的振幅-速度響應(yīng)特性圖.

3.1 阻尼對(duì)響應(yīng)的影響

設(shè)定汽車系統(tǒng)參數(shù)分別為m=1200kg，IC=1500kg·m2，k1=k2=20kN/m，l1=1.2m，l2=1.3m，l3=60m，h0=0.1m，容易得到無量綱參數(shù)為ω1=ω2=19.90 rad/s，α=0.868，β=1.08，γ=1.0，λ=41.667，ρ=0.049，ξ1=ξ2=0.0484，a=0.0833.

圖7給出將阻尼分別設(shè)定為c1=c2=1000（紅色圓圈○代表A1，紅色加號(hào)+代表A2），c1=c2=1500（綠色三角形Δ代表A1，綠色星形*代表A2），c1=c2=2000（藍(lán)色方形□代表A1，藍(lán)色五角星★代表A2），得到速度振幅響應(yīng)圖.研究表明，振幅A1最大值分別為0.9，0.6和0.45，增大阻尼可以有效的減小振幅A1；而對(duì)振幅A2則減小效果較小，最大振幅分別為0.45，0.29和0.28.

圖7 振幅與速度關(guān)系圖Fig.7 Relationship of amplitude and velocity

3.2 路面波幅對(duì)響應(yīng)的影響

設(shè)定參數(shù)分別為m=1200kg，IC=1500kg·m2，k1=k2=20kN/m，c1=c2=1500Ns/m，l1=1.2m，l2=1.3m，l3=50m，得無量綱參數(shù)為 ω1=ω2=19.90rad/s，α=0.868，β=1.08，γ=1.0，λ=41.667，ρ=0.049，ξ1=ξ2=0.0484.

圖8給出波幅分別為h0=0.05（紅色圓圈○代表A1，紅色加號(hào)+代表A2），h0=0.1（綠色三角形Δ代表A1，綠色星形*代表A2），h0=0.15（藍(lán)色方形□代表A1，藍(lán)色五角星★代表A2）的速度振幅響應(yīng)圖，結(jié)果顯示：增大路面波幅h0將導(dǎo)致振幅A1增大，最大振幅分別為0.3，0.6和0.9；同樣導(dǎo)致振幅A2的，增大振幅分別為0.18，0.29和0.38.

圖8 振幅與速度關(guān)系圖Fig.8 Relationship of amplitude and velocity

3.3 路面波長(zhǎng)對(duì)響應(yīng)的影響

設(shè)參數(shù)分別為m=1200kg，IC=1500kg·m2，k1=k2=20kN/m，c1=c2=1500Ns/m，l1=1.2m，l2=1.3m，h0=0.1m，則有無量綱參數(shù)為ω1=ω2=12.90 rad/s，α=0.868，β=1.08，γ=1.0，λ=83.333，ρ=0.049，ξ1=ξ2=0.0484，a=0.0833.

圖9給出不同路面波長(zhǎng)時(shí)，即l3=30（紅色圓圈○代表A1，紅色加號(hào)+代表A2），l3=60（綠色三角形Δ代表A1，綠色星形*代表A2），l3=90（藍(lán)色方形□代表A1，藍(lán)色五角星★代表A2），分別得到速度振幅響應(yīng)圖.容易發(fā)現(xiàn)，增大路面波長(zhǎng)對(duì)振幅A1減和振幅A2的影響，振幅A1共振速度分別為V=6，11及17，振幅A2共振速度分別為V=5，10及15，結(jié)果表明，路面波長(zhǎng)越大共振速度越大，這與工程實(shí)際是相符的.

圖9 振幅與速度的關(guān)系圖Fig.9 Relationship of amplitude and velocity

4 小結(jié)

針對(duì)行駛中的車輛系統(tǒng)，建立了新型兩自由度非線性耦合振動(dòng)車輛系統(tǒng)，通過理論分析與數(shù)值研究得到如下結(jié)論：

（1）在運(yùn)動(dòng)非線性機(jī)制基礎(chǔ)上，建立了上下沉浮和前后俯仰的車輛力學(xué)模型，利用Lagrange方程推導(dǎo)出系統(tǒng)的精確運(yùn)動(dòng)微分方程，帶有三角函數(shù)的非線性方程可以精確地刻畫車輛系統(tǒng)的非線性特性.

（2）對(duì)于線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)，分析得到振幅比隨系統(tǒng)參數(shù)的變換曲線，發(fā)現(xiàn)振幅比在1處有一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)；對(duì)于非線性近似系統(tǒng)的自由振動(dòng)，利用諧波平衡法得到幅頻響應(yīng)曲線，發(fā)現(xiàn)在0.75和1.45處兩個(gè)固有頻率.

（3）針對(duì)車輛系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，利用數(shù)值仿真分析系統(tǒng)的振幅-速度響應(yīng)關(guān)系圖，研究結(jié)果表明：阻尼越大振幅響應(yīng)越小、路面波幅越大響應(yīng)振幅越大及系路面波長(zhǎng)越大共振速度越大.