王偉能 楊曉東 張偉

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124）

引言

超材料是指一些具有超常物理性質(zhì)的人造材料，一般是自然界中所沒有的.聲子晶體作為一種新型超材料，在近些年受到廣泛關(guān)注.聲子晶體具有能帶特性，波在能帶結(jié)構(gòu)通帶范圍內(nèi)可以傳播，在禁帶內(nèi)則被抑制［1］.振動(dòng)和聲音都可以通過彈性波的形式傳播，因此聲子晶體為振動(dòng)控制和噪聲抑制提供了新的方法手段，問題也可轉(zhuǎn)化為對聲子晶體中彈性波的調(diào)控研究.

聲子晶體的概念是在周期結(jié)構(gòu)的研究基礎(chǔ)上類比光子晶體提出的.Sigalas［2］將球形散射體置于一種基體材料中并組成三維周期結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)彈性波在其中的傳播存在帶隙現(xiàn)象.Kushwaha［3］等在研究鎳鋁二維周期復(fù)合材料時(shí)首次明確提出了聲子晶體的概念，并且給出了結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙.對聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)調(diào)控方法，主要是改變結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)型，或使用能與其他物理場發(fā)生耦合的材料.Wang等［4］用有限元仿真對三維周期彈性體進(jìn)行了研究，通過施加外力使材料變形來改變結(jié)構(gòu)的帶隙范圍，材料的彈性性質(zhì)使得帶隙的改變具有往復(fù)性.Bergamini［5］設(shè)計(jì)了一種壓電陶瓷聲子晶體梁，改變通過壓電陶瓷的電流頻率，即可獲得不同的色散關(guān)系.Zhang［6］等人對力和磁場作用下的二維磁致伸縮聲子晶體板進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)增大磁場強(qiáng)度會拓寬原有帶隙寬度并且產(chǎn)生新的帶隙，而增加預(yù)緊力會抵消磁場對能帶結(jié)構(gòu)的影響.這些調(diào)控方法依賴于材料屬性或其它物理場，有的調(diào)節(jié)帶隙范圍窄，有的調(diào)節(jié)具有延時(shí)性.而通過其它方式，如參激調(diào)節(jié)、陀螺調(diào)節(jié)，則具有實(shí)時(shí)調(diào)控的能力，且能獲得較大的禁帶.Yang等［7］人研究了一維彈簧質(zhì)量聲子晶體，將高頻振動(dòng)作為參數(shù)激勵(lì)提供偽剛度，實(shí)現(xiàn)了采用參數(shù)激勵(lì)調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)帶隙.邸士杰［8］提出了一種陀螺和質(zhì)量塊交替連接的一維聲子晶體模型，分析了陀螺轉(zhuǎn)速、連接剛度等對結(jié)構(gòu)帶隙的影響.Brun等［9，10］將陀螺引入二維周期晶格，發(fā)現(xiàn)陀螺的參數(shù)可以控制結(jié)構(gòu)的色散性質(zhì)，并提出用這種材料來設(shè)計(jì)屏蔽裝置和指定方向的波導(dǎo)，但其所推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)方程并不能全面地體現(xiàn)陀螺的影響.Zhou［11］將離散陀螺周期結(jié)構(gòu)的研究拓展到了陀螺連續(xù)體，并通過連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的Hermit質(zhì)量密度張量建立了聲學(xué)陀螺連續(xù)介質(zhì)的表面方程，解釋了單向波產(chǎn)生的原因.李夏臨［12］等研究了一種無約束的二維陀螺聲子晶體，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的參數(shù)可以改變帶隙.

本文對二維陀螺聲子晶體的波進(jìn)行調(diào)控研究，用拉格朗日方程推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，根據(jù)Bloch定理求解色散關(guān)系，分析陀螺轉(zhuǎn)速對色散關(guān)系的影響，指出波的傳播方向隨頻率的變化趨勢，并對理論帶隙進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證.

1 二維三角陀螺聲子晶體

本文所研究的二維三角陀螺聲子晶體模型如圖1所示，單元體為一個(gè)上端連接質(zhì)點(diǎn)、下端鉸接的陀螺，各個(gè)單元體通過質(zhì)點(diǎn)間的彈性連接組成平面正三角排列周期結(jié)構(gòu)，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)之前陀螺轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點(diǎn)組成的平面.每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為M0，質(zhì)點(diǎn)間的彈性連接長度為l、剛度為c、質(zhì)量忽略不計(jì).假設(shè)陀螺章動(dòng)角較小，質(zhì)點(diǎn)只在平面內(nèi)平移，不隨陀螺自轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)動(dòng).

圖1 三角陀螺聲子晶體Fig.1 Triangular gyroscope phononic crystals

定義圖中處于x方向第m列（列的平面方向與x軸成60度角）、y方向第n行的質(zhì)點(diǎn)（m，n），在x方向的位移為 xm，n、y方向的位移為 ym，n.取陀螺-質(zhì)點(diǎn)單元進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，對章動(dòng)角采取線性化假設(shè)，由拉格朗日方程可推得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為：

2 色散性質(zhì)分析

假設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是時(shí)諧的，即：

其中，M=dig[M，M]為質(zhì)量矩陣，G=iGR為陀螺矩陣，C為剛度矩陣：

下面分析陀螺項(xiàng)系數(shù)G的取值對能帶結(jié)構(gòu)的影響，取M=1、c=1、l=1，圖2為G分別取0.5、1.5和2時(shí)的色散曲面以及對應(yīng)的沿不可約布里淵區(qū)邊界的色散曲線，不可約布里淵區(qū)示意圖位于G取0.5的色散曲線圖右上角.色散圖中有兩支色散曲面，當(dāng)G取值較小時(shí)，兩支曲面具有頻率重疊部分，當(dāng)G增大時(shí)，兩支曲面逐漸分離且變得扁平，曲面間出現(xiàn)帶隙.由于陀螺項(xiàng)系數(shù)G正比于陀螺轉(zhuǎn)速，在陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)軸長度等固有屬性確定的情況下，可以通過調(diào)節(jié)陀螺轉(zhuǎn)速，控制結(jié)構(gòu)禁帶是否出現(xiàn)，以及出現(xiàn)時(shí)的帶寬，從而通過或抑制指定頻段的波.

圖2 G不同取值的色散性質(zhì)Fig.2 Dispersion properties of different value of G

圖3是G取0.5時(shí)色散曲面的等頻率截線，其中（a）對應(yīng)下支，（b）對應(yīng)上支，曲線的法向?yàn)閷?yīng)頻率的波的傳播方向.當(dāng)波的頻率較低時(shí)，曲線為圓形，法線向四周各向同性散開，波可向各個(gè)方向同等傳播.當(dāng)波的頻率較高時(shí)，截線法線集中于六個(gè)方向，表示波也集中在這六個(gè)方向傳播.但上下曲面的高頻范圍的六個(gè)傳播方向角度不同.

圖3 G=0.5色散曲面截線Fig.3 G=0.5 Contours of dispersion surfaces

3 帶隙的數(shù)值驗(yàn)證

二維聲子晶體中波的傳播方向有無數(shù)個(gè)，因此我們選定一個(gè)方向進(jìn)行帶隙驗(yàn)證，圖4為G取4時(shí)的x軸方向色散曲線，兩支色散曲線中間有較寬的帶隙.對方程（1）使用MATLAB進(jìn)行求解，在結(jié)構(gòu)中間質(zhì)點(diǎn)施加一個(gè)圓形軌跡位移激勵(lì)，激勵(lì)頻率范圍從0到6，觀測x軸方向上與激勵(lì)點(diǎn)有一定距離的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)的最大位移.由于結(jié)構(gòu)是有限的，為避免波的反射，觀測時(shí)間范圍不超過波到達(dá)邊界的時(shí)間.

圖4 G=4 x方向色散曲線Fig.4 G=4 Dispersion curves along x direction

圖5是不同頻率的激勵(lì)時(shí)觀測到的最大位移與激勵(lì)的幅值比r的變化曲線，當(dāng)波的頻率處在禁帶（包括帶隙）范圍內(nèi)時(shí)，波的傳播受到了明顯抑制，而通帶內(nèi)波的傳播效果明顯優(yōu)于禁帶.從數(shù)值驗(yàn)證的結(jié)果來看，通過調(diào)節(jié)三角陀螺聲子晶體的陀螺轉(zhuǎn)速，可獲得能帶帶隙以抑制波的傳播，且波受到抑制的頻率范圍與理論獲得的帶隙吻合良好.

圖5 不同頻率的波響應(yīng)曲線Fig.5 Response of waves of different frequencies

4 結(jié)論

本文對一種三角陀螺聲子晶體進(jìn)行了力學(xué)建模，得到了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程及色散關(guān)系，發(fā)現(xiàn)陀螺的存在會對二維彈簧質(zhì)量聲子晶體結(jié)構(gòu)起到一個(gè)附加質(zhì)量的作用，并對質(zhì)點(diǎn)施加了陀螺力.存在兩支色散曲面，通過對陀螺轉(zhuǎn)速的調(diào)節(jié)，可以控制其間的帶隙，從抑制指定頻率范圍的波.色散曲面等頻截線表明，對應(yīng)于兩支曲面的波，當(dāng)頻率較低時(shí)，波向各個(gè)角度同等傳播，當(dāng)頻率較高時(shí)，波有六個(gè)集中的傳播方向，但上下曲面的傳播方向角度不同.數(shù)值驗(yàn)證結(jié)果顯示，波在一定頻段內(nèi)受到了明顯抑制，頻率范圍與理論獲得的帶隙吻合良好，證明了理論獲得的帶隙確實(shí)存在，且精度較高.