柴潔 過榴曉 陳晶 陳良康

（江南大學理學院，無錫 214122）

引言

近年來，隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展和在實際生活中的廣泛應(yīng)用，多智能體系統(tǒng)研究吸引了越來越多各領(lǐng)域?qū)W者們的興趣.而一致性作為多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制中最基本的問題之一，受到許多熱切的關(guān)注.

目前，大多數(shù)文獻是研究多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的完全一致性［1.2］，即多個智能體組成的系統(tǒng)在控制協(xié)議的作用下，它的狀態(tài)變量（如位移、速度等）逐漸趨同.一些學者從另外的角度出發(fā)，考慮智能體之間存在性能和合作任務(wù)上的差異，研究了多智能體系統(tǒng)的非精確一致性問題及其變種，比如文獻［3-5］研究了群一致性問題，即智能體被分為多個群體，同一群體內(nèi)的信息收斂到一致，不同群體間的一致狀態(tài)可以不同.文獻［6］提出一階非線性領(lǐng)導-跟隨多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性的概念，文獻［7］進一步討論了二階多智能體系統(tǒng)的部分狀態(tài)量一致性問題.文獻［8］考慮了蜂擁控制的特殊群集問題，相對群一致性還要考慮蜂擁系統(tǒng)中的分離和聚合兩個原則.而在一些特殊的任務(wù)和環(huán)境中，個體之間還需要達到和保持預先給定的隊形，同時又要適應(yīng)環(huán)境約束，這是多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制中的編隊控制問題［9］，它與一致性有著密切的關(guān)系.

典型的多智能體系統(tǒng)非精確一致性為廣義一致性.文獻［10-13］研究了復雜網(wǎng)絡(luò)的廣義同步現(xiàn)象，即耦合系統(tǒng)的動力學之間存在某種已知或未知的函數(shù)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，文獻［14］提出了線性和非線性的一階多智能體系統(tǒng)廣義一致性的定義.由上述文獻的啟發(fā)，本文擬將一階多智能體系統(tǒng)的廣義一致性概念推廣到二階多智能體系統(tǒng)，理論推導二階多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)線性廣義一致的充分必要條件，進一步，參考文獻［15-20］中對通信協(xié)議的信號延時的存在對系統(tǒng)多智能體實現(xiàn)一致性控制的影響和條件的分析，給出了二階多智能體系統(tǒng)最大容許時滯與固定拓撲圖的Laplacian矩陣特征值之間的關(guān)系.

事實上，廣義一致性是一個更自然的概念，也是作為多智能體系統(tǒng)輸出一致性的一種特例.廣義一致性能夠更自然地描述由多個相互作用分量組成的生物和物理系統(tǒng)中的一些相干現(xiàn)象，具有一定的理論意義和實踐價值.本文考慮二階多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)廣義一致性問題，理論和數(shù)值實驗討論非延遲和延遲通信控制協(xié)議下的系統(tǒng)實現(xiàn)線性廣義一致性的充分必要條件，通過多個仿真實例驗證了結(jié)果的正確性.

1 問題描述

1.1 預備知識

1.2 模型描述

設(shè)有N個一階智能體系統(tǒng)，每個智能體的動態(tài)方程為：

如果對于所有的i=1，2，…，N，hi（x）=x/ki，ki≠0，則稱系統(tǒng)（1）實現(xiàn)線性廣義一致性，如果至少存在一個hi（x）為非線性的，就稱系統(tǒng)（1）實現(xiàn)了非線性廣義一致性.

進一步，本文討論N個智能體的二階多智能體系統(tǒng)，各智能體的動態(tài)方程為：

現(xiàn)在把文獻［14］中一階多智能體系統(tǒng)的廣義一致性定義推廣到了二階情形.

定義1 對于任意初始條件xi（0）∈R，vi（0）∈R，i，j=1，2，…，N，如果滿足

則稱二階多智能體系統(tǒng)（2）實現(xiàn)廣義一致性.

簡單起見，本文只研究線性的廣義一致性問題.

定義2 對于任意初始條件xi（0）∈R，vi（0）∈R，i，j=1，2...N，如果滿足

則二階多智能體系統(tǒng)（2）關(guān)于參數(shù)ki，i=1，2，…，N實現(xiàn)線性的廣義一致性.

注1 當參數(shù)ki，i=1，2，…，N為若干組不同但組內(nèi)相同的參數(shù)，則二階系統(tǒng)可實現(xiàn)分組一致狀態(tài).更特殊的，當參數(shù)ki，i=1，2，…，N有兩組，分別為1和-1，即二階系統(tǒng)達到競爭與合作［15］的反分組狀態(tài).所以，本文提出的二階多智能體系統(tǒng)線性廣義一致概念可視為更一般的情形.

設(shè)計控制協(xié)議如下：

其中，ki，i=1，2，…，N.為N個非零常數(shù).α，β表示耦合參數(shù).由式（2），式（3）和拉普拉斯矩陣的定義，系統(tǒng)等價表示為：

2 主要結(jié)果

2.1 無通信延遲情形

本節(jié)將研究系統(tǒng)（5）關(guān)于參數(shù)ki的線性廣義一致性的實現(xiàn)與耦合參數(shù)α，β及拉普拉斯矩陣L的特征值之間的關(guān)系.令uij（i=1，2，…，N；j=1，2），分別表示矩陣和拉普拉斯矩陣L的特征值.

引理1［21］拉普拉斯矩陣L有一個0的特征值，并且其它特征值均有正實部，當且僅當有向圖G包含一個有向生成樹.

引理2［22］二階多智能體（5）能夠?qū)崿F(xiàn)線性廣義一致性，當且僅當矩陣含有一個特征值0（二重），并且其它特征值含有負實部.此外，如果二階線性廣義一致性實現(xiàn)，則當t→∞時有：

這里ξ是拉普拉斯矩陣L關(guān)于特征值0的唯一非負左特征向量，滿足ξT1N=0.

定理1 二階多智能體系統(tǒng)（5）實現(xiàn)線性廣義一致性，當且僅當：

1）有向圖G包含一個有向生成樹；

3）K為可逆矩陣，即ki≠ 0，i=1，2，…，N.（6）證明 作矩陣的特征多項式：

這里λi（i=1，2，…，N）表示拉普拉斯矩陣L的特征值.

由此可知：矩陣L有一個代數(shù)重數(shù)為m的0特征值，當且僅當矩陣有一個代數(shù)重數(shù)為2m的0特征值.由引理1和引理2，只需要證明：Re（λi）>0，（i=2，3，…，N），且條件2）成立，當且僅當Re（uij）<0，（i=2，3，…，N；j=1，2）.

消除d可得到

證畢.

注2 由定理1知，耦合參數(shù)α，β及拉普拉斯矩陣L的特征值對系統(tǒng)一致性的實現(xiàn)起著十分重要的作用，且若hi（x）是線性函數(shù)，即hi（x）=x/ki，ki≠0，則理論上系統(tǒng)線性廣義一致性的實現(xiàn)與ki的取值無關(guān).

2.2 有通信延遲情形

在系統(tǒng)（2）中，假設(shè)設(shè)計控制協(xié)議中帶有通信延時：

這里，τ>0為時間延遲常數(shù).令

則系統(tǒng)（2）和（8）的等價矩陣形式為：

這里，

計算系統(tǒng)（9）的特征方程為

由系統(tǒng)（9）的特征方程很容易得出：L有一個代數(shù)重數(shù)為m的0特征值.當且僅當g（u）=0有一個2m重零根.給出以下3個引理：

引理4［23］對于指數(shù)多項式

引理5［22］假設(shè)有向圖G包含一個有向生成樹.u是gi（u）=0，2≤i≤N的解，那么當τ∈ψ時，du/dτ存在，并且Re（du/dτ）|τ∈ψ>0.

其中，

證明 因為有向圖G包含一個有向生成樹，并且滿足定理1中的2）、3）式，故由定理1知，當τ=0時，系統(tǒng)（9）能夠?qū)崿F(xiàn)線性廣義一致性.再由引理2知g（u）=0含有一個零根（二重），并且其它根含有負實部.當τ從0變化到τ0時，由引理3知一個純虛根會出現(xiàn).由引理4和引理5知，當0≤τ<τ0時，g（u）=0有一個零根（二重），且其它根含有負實部，系統(tǒng)（9）實現(xiàn)線性廣義一致性，而當τ>τ0時，至少存在一個具有正實部的根，故當τ>τ0時無法實現(xiàn)一致性.證畢.

注3 定理2在定理1的基礎(chǔ)上給出了延遲通信的二階多智能體系統(tǒng)滿足線性廣義一致性的充要條件，即延遲參數(shù)τ要小于一個臨界值，且給出了這個最小臨界值τ0的具體求法.由于τ0的求解與拉普拉斯矩陣L特征值的實部與虛部有關(guān)，實際特征值的精度對τ0的計算影響很大，所以，實際操作中，可以適當提高計算精度，減少誤差帶來的影響.

3 數(shù)值仿真

3.1 系統(tǒng)無時延情形

圖1 有向加權(quán)圖GFig.1 Directed weighted graphG

圖2 當α=0.1，β=0.15時系統(tǒng)位置和速度狀態(tài)軌跡圖Fig.2 Position and velocity state trajectory of the system with α=0.1，β=0.15

圖3 當α=0.1，β=0.15時系統(tǒng)全局誤差演化圖Fig.3 Evolution of the system global error withα=0.1，β=0.15

圖4 當α=0.1，β=0.05時系統(tǒng)全局誤差演化圖Fig.4 The Evolution of the system global error with α=0.1，β=0.05

3.2 系統(tǒng)有時延情形

系統(tǒng)（9）中取參數(shù) N=5，n=1，α=0.1，β=0.5，非零線性廣義參數(shù)和連接拓撲圖同上.由定理2計算可得控制協(xié)議中最大時間延遲τ0=0.822.當τ=0.7時，多智能體在各自參數(shù)下的投影狀態(tài)軌跡如圖5所示，系統(tǒng)（9）能夠?qū)崿F(xiàn)關(guān)于參數(shù)的線性廣義一致性.而當τ=0.9不滿足定理2的充要條件，此時由圖6可知系統(tǒng)（9）不能達到線性廣義一致性.

圖5 當α=0.1，β=0.5，τ=0.7時系統(tǒng)位置和速度狀態(tài)軌跡圖Fig.5 The position and velocity state trajectory of the system withα=0.1，β=0.5，τ=0.7

圖6 當α=0.1，β=0.5，τ=0.9時系統(tǒng)位置和速度狀態(tài)軌跡圖Fig.6 The position and velocity state trajectory of the system with α=0.1，β=0.5，τ=0.9

4 小結(jié)

本文研究了二階多智能體系統(tǒng)關(guān)于多參數(shù)的線性廣義一致性，在有向網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)下設(shè)計了有效的控制協(xié)議，獲得了系統(tǒng)在有時延和無時延兩種情況下實現(xiàn)線性廣義一致性的充分必要條件，并運用代數(shù)圖論和穩(wěn)定性等理論給出了證明.在接下來的工作中作者將討論二階多智能體系統(tǒng)的非線性廣義一致性以及廣義群一致性等問題.