喬文正，陳國榮，路國運

(1.河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，南京 211100；2.呂梁學(xué)院 建筑系，山西 呂梁 033000； 3.太原理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，太原 030024)

拉壓桿模型(strut-and-tie models，STM)是一種廣泛使用的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)塑性設(shè)計方法，是類桁架模型的一般化。由塑性理論可知，STM的理論依據(jù)是極限分析下限定理[1]。不同于傳統(tǒng)的截面設(shè)計方法，該方法將受壓區(qū)的混凝土抽象為壓桿，將受拉區(qū)的鋼筋抽象為拉桿，將整個結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為抽象為由拉桿、壓桿和結(jié)點組成的拉壓桿模型。STM的空間架構(gòu)特性使得其特別適用于混凝土結(jié)構(gòu)中由幾何或靜力不連續(xù)所產(chǎn)生的D(discontinuity)區(qū)域的設(shè)計，但Schlaich指出STM經(jīng)過適當(dāng)調(diào)整亦可適用于符合伯努力假定的B(Bernoulli)區(qū)域的設(shè)計[2]。

混凝土結(jié)構(gòu)中梁柱節(jié)點就是一個典型的D區(qū)域。由于梁柱節(jié)點復(fù)雜的應(yīng)力分布，傳統(tǒng)的彈性應(yīng)力跡線法或荷載路徑法[3]很難生成合適的拉壓桿模型，且由于設(shè)計者工程經(jīng)驗的差異，可能生成多種形式的STM。隨著拓撲優(yōu)化方法[4-5]的不斷發(fā)展，基于拓撲優(yōu)化的拉壓桿模型逐漸成為一個熱門的研究方向。最初基結(jié)構(gòu)法[6]被用來產(chǎn)生拉壓桿模型，但是該方法可能產(chǎn)生局部或者奇異最優(yōu)解。此后基于性能的優(yōu)化方法(PBO)[7]和固體各向同性懲罰方法(SIMP)[8]等其他連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法也相繼被用來產(chǎn)生拉壓桿模型。然而，在上述兩種拓撲優(yōu)化方法中，拓撲優(yōu)化結(jié)果的邊界不能用表達式顯式地描述，即邊界采用基于單元的黑白像素的方式表示，因此具有隱式的特性。這會造成以下兩方面的問題：一方面，鋸齒狀的模糊邊界難于形成明確的邊界，從而不利于STM的形成；另一方面，隱式的拓撲優(yōu)化方法中，優(yōu)化變量數(shù)與有限單元數(shù)相等。較多的優(yōu)化變量導(dǎo)致優(yōu)化效率較低，這一點在三維構(gòu)件中尤為明顯。

2014年，大連理工大學(xué)郭旭提出了基于可移動變形組件(moving morphable components，MMC)的拓撲優(yōu)化方法[9]。該方法采用拓撲描述函數(shù)來顯式表達優(yōu)化結(jié)果的邊界，并通過一組可移動、變形、交叉和重疊的組件來表示結(jié)構(gòu)的拓撲。本質(zhì)上，MMC拓撲優(yōu)化方法將結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化轉(zhuǎn)化為組件的形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化。近年來，該方法與等幾何分析、增材制造技術(shù)和比例邊界元相結(jié)合，獲得了較大的成功。作為一種顯式的拓撲優(yōu)化方法，該方法具有邊界相對光滑、設(shè)計變量數(shù)較少、不存在灰度單元等優(yōu)點。ZHANG et al[10]提出了一種基于MMC的多種材料的拓撲優(yōu)化方法，并通過一組二維和三維的算例驗證了該方法的有效性和高效性。SUN et al[11]用一組MMC來模擬復(fù)合加筋板的加勁肋，將基于MMC的拓撲優(yōu)化方法用于加勁肋的布局優(yōu)化設(shè)計。CUI et al[12]采用符合基爾霍夫板理論的板單元，研究了基于MMC 拓撲優(yōu)化方法的薄板結(jié)構(gòu)設(shè)計方法。

綜上所述，基于MMC的拓撲優(yōu)化方法雖然在多個領(lǐng)域獲得了成功應(yīng)用，但是在混凝土結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用研究較少。鑒于組件和拉壓桿的相似性，本文將顯式的拓撲優(yōu)化方法與鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中的拉壓桿模型相結(jié)合，以期準(zhǔn)確、高效地生成可靠的STM.此外，在實際工程中，結(jié)構(gòu)上的多種荷載往往不是同時作用的，因此多荷載工況的分析尤為重要。在文獻[13-14]的基礎(chǔ)上，本文通過3種不同荷載作用下混凝土結(jié)構(gòu)梁柱節(jié)點算例，研究了基于MMC的拓撲優(yōu)化的拉壓桿模型，考慮了單荷載和多荷載兩種工況，證實了該方法的可行性、有效性和高效性。

1 基于MMC拓撲優(yōu)化方法

1.1 結(jié)構(gòu)的拓撲描述函數(shù)

先給出一個組件的拓撲描述函數(shù)為：

(1)

式中：x表示設(shè)計域D0中點的位置坐標(biāo)；χi(x)表示第i個組件的拓撲描述函數(shù)，Ωi和?Ωi分別是第i個組件的內(nèi)部區(qū)域和邊界。

為了簡化，本文僅討論平面問題。骨架為直線型且厚度呈二次函數(shù)變化的組件如圖1，組件更多的幾何形式參見文獻[14].

圖1 單個組件的幾何描述Fig.1 Geometric description of a single component

從而可得到χi(x)的具體表達式：

(2)

其中

(3)

式中：x和x'分別為設(shè)計域內(nèi)在整體和局部坐標(biāo)系下點的橫坐標(biāo)；y為設(shè)計域內(nèi)在整體坐標(biāo)系下點的縱坐標(biāo)；x0i和y0i分別為第i個組件在整體坐標(biāo)系下中心點的橫、縱坐標(biāo)；Li和θi分別為第i個組件長軸的一半和從x軸正方向逆時針旋轉(zhuǎn)的傾斜角；參數(shù)p取為6.

從而χS(x)可由下式表達：

(4)

其中

χS(x)=max(χ1(x),…,χnc(x)) .

(5)

式中：nc表示所有組件的個數(shù)，ΩS是所有組件所占的區(qū)域。

1.2 問題列式

按照慣例，將產(chǎn)生最優(yōu)拉壓桿模型轉(zhuǎn)換成求解一個體積約束下最小柔度優(yōu)化問題。

最小化

使得

(6)

2 數(shù)值實現(xiàn)

2.1 有限單元法

有限單元分析中，采用四結(jié)點四邊形單元求解結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移響應(yīng)，彈性模量E采用混凝土的彈性模量?；炷恋奶摂M楊氏模量Ee為：

(7)

其中正則化函數(shù)H(x)為：

(8)

式(6)中的表達式可進一步整理為：

(9)

(10)

(11)

2.2 設(shè)計靈敏度

本文采用移動漸近線法[15]作為最優(yōu)化算法。該算法需要提供靈敏度信息。這里給出目標(biāo)函數(shù)和不等式約束函數(shù)的靈敏度，分別為：

(12)

(13)

式中：a表示任意一個設(shè)計變量。

3 數(shù)值算例

本節(jié)給出MMC拓撲優(yōu)化的混凝土結(jié)構(gòu)梁柱節(jié)點在單荷載和多荷載兩種工況下的算例，說明用MMC拓撲優(yōu)化方法產(chǎn)生拉壓桿模型的可行性和有效性。單荷載工況考慮了兩種不同的受力情況，分別為梁柱節(jié)點僅受彎矩作用和受彎矩和剪力共同作用；多荷載工況為梁柱節(jié)點受到彎矩、剪力和軸力的共同作用。梁柱節(jié)點的幾何尺寸見圖2.在所有工況中，梁柱節(jié)點初始的組件布置都是相同的，均采用24個組件，見圖3.本文的工作是在MATLAB優(yōu)化代碼[13]基礎(chǔ)上進行的。根據(jù)拉壓桿模型的通用做法，粗實線代表拉桿，粗虛線代表壓桿。

圖2 梁柱節(jié)點幾何尺寸Fig.2 Geometric dimensions of beam-column connections

圖3 梁柱節(jié)點初始組件布置Fig.3 Initial layout of components in beam-column connections

為了與其他研究者的工作進行比較，混凝土的楊氏模量取為28 567 MPa，泊松比為0.15.為了研究的簡化，梁和柱的厚度均取為300 mm，體積百分比的上限取為0.4.有限元分析中均采用四結(jié)點平面正方形單元，單元的邊長為25 mm.

3.1 梁柱節(jié)點僅受彎矩作用

梁柱節(jié)點僅受彎矩作用的情況屬于單荷載工況，其所受荷載為M=40 kN·m，F(xiàn)V=0 kN，F(xiàn)N=0 kN.彎矩的施加方式為在距梁上下表面各50 mm處施加一對水平向右和向左的力，大小為100 kN.受彎矩作用的梁柱節(jié)點拓撲過程和相應(yīng)的拉壓桿模型見圖4。經(jīng)過239次迭代后，達到最優(yōu)拓撲，最小柔度目標(biāo)函數(shù)值為51.68 J.

在優(yōu)化過程中，采用了24個組件，設(shè)計變量共168個。由圖4可知，優(yōu)化結(jié)果中邊界并非呈現(xiàn)理想的直線，一方面是由于梁柱節(jié)點區(qū)存在凹角，即所謂的幾何不連續(xù)；另一方面由于計算機繪圖的原因，在組件相交處會存在不同程度的彎曲。柔度目標(biāo)和體積約束函數(shù)的收斂過程見圖5.荷載通過受拉和受壓兩條路徑傳遞到固端支座，在節(jié)點區(qū)有兩個拉桿連接這兩條荷載路徑。

為了進行直觀的比較，采用了SIMP的拓撲優(yōu)化方法對該算例進行了研究。圖6為SIMP方法的最優(yōu)拓撲結(jié)果。在優(yōu)化結(jié)果中存在灰度單元，而且邊界是鋸齒狀的。表1為一個典型迭代步MMC和SIMP方法的CPU時間比較。在傳統(tǒng)的SIMP方法中，設(shè)計變量數(shù)與有限單元數(shù)量相同，即1 360個。由表1可知，兩種方法中有限元分析和靈敏度分析所用時間相差不大，MMA所用時間則相差較大。可見MMC方法使得優(yōu)化求解效率會得到極大的提升。

圖4 僅受彎矩作用梁柱節(jié)點優(yōu)化過程和拉壓桿模型Fig.4 Optimization process and STM in beam-column connections under bending moment

圖5 目標(biāo)和約束函數(shù)收斂過程曲線Fig.5 Convergence history curves of objective and constraint functions

圖6 SIMP方法最優(yōu)拓撲結(jié)果Fig.6 Optimal topology by SIMP method

表1 一個典型迭代步MMC和SIMP方法CPU時間比較Table 1 A comparison of CPU time for a typical iterative step between MMC and SIMP approaches

3.2 梁柱節(jié)點受彎矩和剪力共同作用

考慮到梁端在豎向荷載下可以產(chǎn)生彎矩和剪力，梁柱節(jié)點受彎矩和剪力共同作用仍可按單荷載工況考慮，其所受荷載為M=40 kN·m，F(xiàn)V=80 kN，F(xiàn)N=0 kN.剪力施加位置同3.1節(jié)中力偶的施加位置，施加方式為豎直向上各40 kN.受彎矩和剪力共同作用的梁柱節(jié)點拓撲過程和相應(yīng)的拉壓桿模型見圖7.經(jīng)過693次迭代后，達到最優(yōu)拓撲，最小柔度目標(biāo)函數(shù)值為284.80 J.

圖7 受彎矩和剪力共用作用梁柱節(jié)點優(yōu)化過程和拉壓桿模型Fig.7 Optimization process and STM in beam-column connections under bending moment and shear force

隨著荷載數(shù)目的增多，結(jié)構(gòu)中應(yīng)力分布更加復(fù)雜，迭代所需次數(shù)也增多。與3.1節(jié)不同的是，剪力的存在，使得結(jié)構(gòu)受力機理也發(fā)生變化。在拉壓桿模型中表現(xiàn)為增加了一個傾斜的拉桿來抵抗豎向的剪力。

3.3 梁柱節(jié)點受彎矩、剪力和軸力共同作用

考慮到梁柱節(jié)點在水平荷載作用下會產(chǎn)生軸向力，梁柱節(jié)點受彎矩、剪力和軸力共同作用的情況可視為多荷載工況，其所受荷載為M=40 kN·m，F(xiàn)V=80 kN，F(xiàn)N=80 kN.為了簡化，柔度組合系數(shù)取1.彎矩和剪力的施加方法同3.2節(jié)，軸力的施加位置同3.2節(jié)中剪力的施加位置，施加方式為水平向右各40 kN.受彎矩、剪力和軸力共同作用的梁柱節(jié)點拓撲過程和相應(yīng)的拉壓桿模型分別見圖8和圖9.經(jīng)過396次迭代后，達到最優(yōu)拓撲，最小柔度目標(biāo)函數(shù)值為366.62 J.

圖8 受彎矩、剪力和軸力共用作用梁柱節(jié)點優(yōu)化過程Fig.8 Optimization process in beam-column connections under bending moment, shear force, and axial force

圖9 受彎矩、剪力和軸力共用作用梁柱節(jié)點拉壓桿模型Fig.9 Strut-and-tie models of beam-column connections under bending moment, shear force, and axial force

為了使用的方便，在形成拉壓桿模型過程中對模型的結(jié)點位置進行了一定程度的簡化。圖9(b)中數(shù)字0表示該桿件所受軸力為0.由于軸力的存在，荷載傳遞路徑有所不同。相比于3.2節(jié)的STM，用位于柱上端一個斜向的拉桿來承受由軸力引起的柱中剪切應(yīng)力。

4 結(jié)論

將基于MMC的拓撲優(yōu)化方法應(yīng)用到混凝土結(jié)構(gòu)拉壓桿模型中，以梁柱節(jié)點的拉壓桿模型為例研究了3種不同荷載情況下的節(jié)點拉壓桿模型，考察了這一方法的可行性、有效性和高效性，得到以下結(jié)論：

1) 作為一種基于構(gòu)件的拓撲優(yōu)化方法，基于MMC的拓撲優(yōu)化方法從機理上適合于形成可靠的梁柱節(jié)點拉壓桿模型。

2) 由于顯式的特性，基于MMC拓撲優(yōu)化的結(jié)果克服了傳統(tǒng)的隱式拓撲優(yōu)化的缺點，如灰度單元、網(wǎng)格依賴性、鋸齒的邊界等。此外，由于設(shè)計變量數(shù)的大幅減少，極大地提高了優(yōu)化求解效率。

3) 基于MMC的拓撲優(yōu)化方法不僅適用于單荷載工況，也適用于多荷載工況，所產(chǎn)生的梁柱節(jié)點拉壓桿模型符合力學(xué)原理，合理可靠。