程 花

(徐州市第三十四中學(xué) 221008)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種探究性實(shí)踐活動(dòng)，是學(xué)生通過動(dòng)手動(dòng)腦、以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)方式[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》指出，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中逐步積累的[2].學(xué)科素養(yǎng)是在學(xué)科活動(dòng)中形成的，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，對(duì)于學(xué)生適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力的培養(yǎng)有著獨(dú)特的教育價(jià)值.因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是開展學(xué)科核心素養(yǎng)落地教學(xué)的重要載體.

史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，數(shù)學(xué)抽象是舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程，它主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系；從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)所呈現(xiàn)的是原汁原味的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，其目的是發(fā)現(xiàn)結(jié)論、解決問題，它是在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的發(fā)現(xiàn)結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)論的數(shù)學(xué)活動(dòng).同時(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的具身活動(dòng)，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)感悟中體驗(yàn)“做”數(shù)學(xué)的樂趣，感悟數(shù)量關(guān)系中的規(guī)律，從操作中感悟物體的空間關(guān)系，發(fā)展空間想象，完成從物體到圖形，從圖形到數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)結(jié)論的抽象過程.可見，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程本身就是數(shù)學(xué)抽象能力發(fā)展的過程，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體.通過理論思考和實(shí)踐探索，我們認(rèn)為，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的舉措主要包括以下方面.

1 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)直觀的“做”發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

初中學(xué)生形象思維相對(duì)較強(qiáng)，而許多數(shù)學(xué)概念、結(jié)論是比較抽象的，非常不利于學(xué)生的理解.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過動(dòng)手動(dòng)腦的“做”數(shù)學(xué)活動(dòng)，是學(xué)生主動(dòng)參與、積極動(dòng)手動(dòng)腦的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是1個(gè)學(xué)生“做”——在“做”中感受與體驗(yàn)——主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)結(jié)論的活動(dòng)過程.在概念學(xué)習(xí)和結(jié)論活動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)中，教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，通過直觀的“做”，將抽象的概念、結(jié)論通過具體化的教學(xué)活動(dòng)呈現(xiàn)，實(shí)際上，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與被抽象和加工之后的習(xí)題練習(xí)相比，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)的是原汁原味的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，學(xué)生在數(shù)學(xué)現(xiàn)象的體驗(yàn)中，找到數(shù)量與數(shù)量關(guān)系之間的一般規(guī)律與結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，是一次從具體到抽象的過程.

江蘇科學(xué)技術(shù)出版社出版的初中教材《數(shù)學(xué)》(以下簡稱蘇科版《數(shù)學(xué)》)七年級(jí)上冊(cè)在“2.5有理數(shù)的加法與減法”中設(shè)置了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”欄目，該欄目的設(shè)置目的是幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中歸納、概括出有理數(shù)的加法運(yùn)算規(guī)律.具體內(nèi)容是：1.把筆尖先放在數(shù)軸的原點(diǎn)，然后沿著數(shù)軸向左移動(dòng)5個(gè)單位長度，再向右移動(dòng)3個(gè)單位長度，這時(shí)，筆尖停在“-2”的位置上.用數(shù)軸和算式可以將以上過程及結(jié)果分別表示為：

實(shí)驗(yàn)中，“向左移動(dòng)5個(gè)單位長度”和“向右移動(dòng)3個(gè)單位長度”就是一次物理背景的抽象，這里用“左”、“右”表示意義相反的量，實(shí)現(xiàn)了一次“數(shù)”到“數(shù)量”的抽象，兩次連續(xù)運(yùn)動(dòng)后筆尖停留在的位置，實(shí)現(xiàn)了一次“數(shù)量”關(guān)系到“加法運(yùn)算”的抽象.教師在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，從一次實(shí)驗(yàn)過程的演示，到學(xué)生多次實(shí)驗(yàn)的操作，從嘗試每一次實(shí)驗(yàn)過程，到用算式表達(dá)實(shí)驗(yàn)的過程與結(jié)果，實(shí)際上也是一次“特殊到一般”的思維發(fā)展，是實(shí)現(xiàn)“單一”到“一類”的歸納，實(shí)現(xiàn)“若干個(gè)事物的共同屬性”的歸納，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的逐次逐級(jí)提高的過程.教學(xué)中，從體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的物理屬性“筆尖的調(diào)動(dòng)”，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象“有理數(shù)的加法運(yùn)算法則”的過程中，學(xué)生的思維發(fā)展經(jīng)歷了數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，事物的具體背景到一般規(guī)律的抽象，數(shù)學(xué)術(shù)語對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的表征.反映了數(shù)學(xué)抽象的高度概括性和結(jié)論一般性，學(xué)生從實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，也體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)抽象的層次發(fā)展過程：直觀描述到數(shù)學(xué)符號(hào)表征.在直觀的“做”數(shù)學(xué)中，實(shí)現(xiàn)發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力.

2 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)抽象的“思”發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指在一定的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)理論的指導(dǎo)下，經(jīng)過某種預(yù)先的組織、設(shè)計(jì)，借助于一定的技術(shù)手段，進(jìn)行數(shù)學(xué)化實(shí)際操作，包括對(duì)客觀事物的數(shù)量化特性進(jìn)行觀察、抽樣、測(cè)試、逼近、仿真等，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)和科學(xué)問題的一類科學(xué)研究方法[3].具體來說，中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則是借助一定的工具，在數(shù)學(xué)化的思維指導(dǎo)下，通過實(shí)際操作開展的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，從動(dòng)手動(dòng)腦的操作到符號(hào)、數(shù)學(xué)術(shù)語等數(shù)學(xué)化思維的過程，實(shí)際上已經(jīng)完成了問題的數(shù)學(xué)抽象，從直觀的操作、觀察表象層面，演化到事物本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)問題思考，呈現(xiàn)的是思維發(fā)展從“物”到“形”的抽象思考過程.從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)出的事物表象(包括物理背景，自然語言的表達(dá))到數(shù)學(xué)問題(數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)學(xué)術(shù)語)表征，這是一次數(shù)學(xué)抽象思維的過程，實(shí)驗(yàn)所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題表象出的特殊性屬性到事物共同的一般特性的發(fā)現(xiàn)，完成的是數(shù)學(xué)抽象由淺及深的層級(jí)發(fā)展，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程為人的思維發(fā)展從具體都抽象再到概括，又回到具體的不斷提升、循環(huán)發(fā)展提供了物質(zhì)載體，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)抽象的“思”中得以提升.

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)在“6.7用相似三角形解決問題”中設(shè)置了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”欄目，該欄目設(shè)置的目的是通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，探索在平行光的照射下，不同物體的物高與影長之間的關(guān)系.

實(shí)驗(yàn)：在學(xué)校操場(chǎng)上分別豎起長度不同的甲、乙、丙三根木桿，在同一時(shí)刻分別測(cè)量這三根木桿在陽光下的影長，并將有關(guān)數(shù)據(jù)填入下表：

木桿木桿長度桿影長度木桿長度桿影長度甲乙丙

通過觀察、測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)與同學(xué)交流.

事實(shí)上，教材中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)觀察、測(cè)量、交流就完成了數(shù)學(xué)結(jié)論的抽象歸納.事物本質(zhì)屬性的發(fā)現(xiàn)應(yīng)該始于抽象的“思”，終于表象的“理”，為此，該數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還需要在數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展中繼續(xù)做深入研究.我們可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，再從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象中繼續(xù)延伸到數(shù)學(xué)理論的抽象，引導(dǎo)學(xué)生深入思考“如何用數(shù)學(xué)推理的方式說明，同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長成比例？”，引導(dǎo)學(xué)生通過理論推理論證發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，再次從“物”到“形(用相似三角形解決問題)”的抽象思考.由此可見，從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)直觀的“做”，到抽象的“思”，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展發(fā)揮著獨(dú)特的作用.

3 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象的方法

學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中逐步形成的.數(shù)學(xué)抽象有四個(gè)表現(xiàn)：形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，形成數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系[4].我們認(rèn)為，從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的呈現(xiàn)到數(shù)學(xué)抽象的形成，可以按照如下框架引導(dǎo)：

例如，蘇科版《數(shù)學(xué)》在七年級(jí)下冊(cè)“7.4認(rèn)識(shí)三角形”中設(shè)置了以下“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”欄目：從長度分別為3cm、4cm、5cm、6cm和9cm的小木棒中任意取3根，能否搭成一個(gè)三角形？試一試.

根據(jù)上述框架，教學(xué)過程如下：

辨別：有長度的小木棒.

分化：小木棒的長度對(duì)搭三角形有影響.

抽象：長度不等的線段.完成一次數(shù)學(xué)抽象.

抽象：構(gòu)成三角形的三條線段，與線段的長度有關(guān).完成一次數(shù)與形的抽象.

概括：不是任意的小木棒都可以搭成三角形，當(dāng)兩條線段的長度小于或等于第三條線段時(shí)，小木棒就不能首尾相接.

抽象：兩條線段的長度之和大于第三條線段時(shí)，三條線段可以構(gòu)成三角形.

概括：三角形兩條邊的和大于第三邊.a+b>c.

在教學(xué)中，學(xué)生實(shí)驗(yàn)要經(jīng)歷失敗與成功的對(duì)比，在反復(fù)的操作“試錯(cuò)”與“成功”的操作對(duì)比中，從操作“物”到反思“數(shù)”，從對(duì)比“數(shù)”到符號(hào)化概括“形”中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)到數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展.在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，教師按照思維的發(fā)展特點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)逐級(jí)發(fā)展，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下，開展數(shù)學(xué)思考活動(dòng)的目的.

4 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生在概括中提升數(shù)學(xué)抽象能力

概括是把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結(jié)出來進(jìn)行觀察的思維方法，概括涉及一類對(duì)象[5].概括是從多個(gè)對(duì)象的考察中，尋找共同的相同屬性，思維本質(zhì)上是一種尋求共性.一般來說，學(xué)生的概括能力越強(qiáng)，總結(jié)出的結(jié)論就越深刻，越明確.概括水平直接反映學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)知程度.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生發(fā)現(xiàn)并概括事物的本質(zhì)屬性提供了學(xué)習(xí)直觀印象，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，在概括中領(lǐng)悟特殊到一般的數(shù)學(xué)化思維，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效策略.

例如，蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)在“5.2平面直角坐標(biāo)系”中設(shè)置了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”欄目，活動(dòng)內(nèi)容是：通過學(xué)生操作，把一些簡單圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，進(jìn)行圖形的平移、翻折運(yùn)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)的坐標(biāo)來描述運(yùn)動(dòng)后圖形的位置，探索運(yùn)動(dòng)后的圖形與原來的圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系.

實(shí)驗(yàn)1：在平面直角坐標(biāo)系中，依次連接以下各點(diǎn)(最后一點(diǎn)不再與其他點(diǎn)連接)，將得到一個(gè)怎樣的圖形？(0.5, 4)，(0， 0)，(1， 3)，(2， 3)，(3， 2)，(3， 0)，(1， -1)，(2， -1)，(1， -3)，(0， -1)，(-1，-3)，(-2， -1)，(-1， -1)，(-3， 0)，(-3， 2)，(-2， 3)(-1， 3).(0， 0)，(-0.5， 4).

學(xué)生通過在平面直角坐標(biāo)系中描出多個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，連接各點(diǎn)，對(duì)照?qǐng)D形中各點(diǎn)的關(guān)系，對(duì)照?qǐng)D形形狀，建立“坐標(biāo)”到“點(diǎn)”，“點(diǎn)”到“圖”的數(shù)學(xué)抽象，在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“圖”的對(duì)稱反映出“點(diǎn)”的對(duì)稱，“點(diǎn)”的對(duì)稱反映出“坐標(biāo)”的對(duì)稱之間關(guān)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生抽象概括，發(fā)展從特殊到一般，從一般到特殊的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

實(shí)驗(yàn)2：觀察所畫圖形，填空：

(1)點(diǎn)(1， -3)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(2)點(diǎn)(-1， 3)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(3)一般地，點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

這個(gè)實(shí)驗(yàn)是典型的特殊到一般思維訓(xùn)練過程.學(xué)生從一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱，考察多個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱，從這樣多個(gè)考察對(duì)象中發(fā)現(xiàn)共同特征，通過數(shù)學(xué)化概括出平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的對(duì)稱的一般特征.其中，學(xué)生對(duì)多個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)變換歸納(多個(gè)考察對(duì)象)抽象出變換后點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律(共同數(shù)學(xué)屬性)，得出一般性結(jié)論并用數(shù)學(xué)符號(hào)加以表達(dá).實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，學(xué)生在操作中感知，在感知中概括，在概括中感悟特殊到一般的發(fā)展，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力逐步升級(jí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力發(fā)展提供了物化載體.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景中的操作、觀察、對(duì)比，為概括思維提供了形象化表達(dá)素材，學(xué)生在概括化表達(dá)中，體驗(yàn)思維特殊到一般的發(fā)展過程.

5 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生在比較分析中提升數(shù)學(xué)抽象能力

比較分析是常用的數(shù)學(xué)方法，是通過對(duì)多個(gè)考察對(duì)象的對(duì)比，分析找出事物的一般性規(guī)律或獨(dú)特性特征的研究方法.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，事物呈現(xiàn)的特征可能是多樣的或不明確的，教師通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析，尋找事物的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)的眼光觀察事物，并且用數(shù)學(xué)語言(數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)術(shù)語、幾何圖形等)表達(dá)事物，形成數(shù)學(xué)結(jié)論，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象.

例如，蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)在“4.3用一元一次方程解決問題”中設(shè)置了以下“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”欄目：準(zhǔn)備一本月歷，兩人一組游戲：(1)在月歷的同一行上任意圈出相鄰的5個(gè)數(shù)，并把這5個(gè)數(shù)的和告訴同學(xué)，讓同學(xué)求出這5個(gè)數(shù)；(2)在月歷上任意找出一個(gè)數(shù)以及它的上、下、左、右的4個(gè)數(shù)，把這5個(gè)數(shù)的和告訴同學(xué)，讓同學(xué)求出這5個(gè)數(shù).

在實(shí)驗(yàn)中，教師引導(dǎo)學(xué)生比較分析月歷的特征：左右相鄰的數(shù)字之間，上下相鄰的數(shù)字之間分別有怎樣的關(guān)系，通過比較分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)月歷中的數(shù)字規(guī)律，對(duì)于月歷的直觀描述抽象比較容易.接著，教師引導(dǎo)學(xué)生從月歷的直觀表象中，將比較分析的規(guī)律用字母抽象，從“數(shù)”到“字母”的抽象，再通過字母表達(dá)出比較分析出的相鄰數(shù)字規(guī)律，完成“字母”到“代數(shù)式”的抽象，通過代數(shù)式表達(dá)5個(gè)數(shù)的和，抽象出“和”的一般規(guī)律.在這個(gè)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生在比較分析中完成數(shù)學(xué)抽象的逐級(jí)、逐步提升.

學(xué)科素養(yǎng)是在學(xué)科教學(xué)活動(dòng)中形成的，是學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)的集中體現(xiàn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有情境性和體驗(yàn)性特征，這些特征決定了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是教師講授和學(xué)生刷題無法替代的教學(xué)活動(dòng)和學(xué)習(xí)方式，決定了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體.